2019届二轮复习第二讲临界知识学案（全国通用）
展开第二讲 临界知识
从形式上跳出已学知识的旧框框，在试题中临时定义一种新知识，要求学生快速处理，及时掌握，并正确运用，充分考查学生独立分析问题与解决问题的能力．
【例1】 对于具有相同定义域D的函数f(x)和g(x)，若存在函数h(x)＝kx＋b(k，b为常数)对任给的正数x，存在相应的x0∈D使得当x∈D且x>x0时，总有x→∞时，f(x)－g(x)→0，则称直线l：y＝kx＋b为曲线y＝f(x)和y＝g(x)的“分渐近线”．给出定义域均为D＝{x|x>1}的三组函数如下：
①f(x)＝x2，g(x)＝；②f(x)＝10－x＋2，g(x)＝；③f(x)＝，g(x)＝2(x－1－e－x)，其中曲线y＝f(x)和y＝g(x)存在“分渐近线”的是( )
A．①③ B．② C．②③ D．③
[解析] f(x)和g(x)存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f(x)－g(x)→0.
对于①，f(x)＝x2，g(x)＝，因为当x→∞时，f(x)－g(x)＝x2－＝(x－1)→＋∞，所以①不存在；
对于②，f(x)＝10－x＋2，g(x)＝，因为当x→∞时，f(x)－g(x)＝＋→0，因此，存在分渐近线；
对于③，f(x)＝，g(x)＝2(x－1－e－x)，因为当x→∞时，f(x)－g(x)＝＋2＋→0，
因此，存在分渐近线，故存在分渐近线的是②③.
[答案] C
本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f(x)－g(x)→0进行作答，是一道好题，思维灵活，要透过现象看本质．本题较难，涉及部分大学内容，属于拓展类题目．
[创新预测]
1．设某数列的前n项和为Sn，若为常数，则称该数列为“和谐数列”．若一个首项为1，公差为d(d≠0)的等差数列{an}为“和谐数列”，则该等差数列的公差d＝________.
[解析] 由＝k(k为常数)，且a1＝1，得n＋n(n－1)d＝k，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得，(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0.
∵对任意正整数n，上式恒成立，
∴解得
∴数列{an}的公差为2.
[答案] 2
在立体几何的高考题中，最主要考查点是几何元素位置关系及角、距离的计算、三视图等，除此之外，还有可能涉及到与立体几何相关的临界知识，如立体几何与其他知识的交汇，面对这些问题，需要有较强的分析判断能力及思维转换能力，还需要我们对这些问题作一些分析归类，加强知识间的联系，才能让所学知识融会贯通．
【例2】 某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为( )
A．2 B．2 C．4 D．2
[解析] 本题可以以长方体为载体，设该几何体中棱长为的棱与此长方体的体对角线重合，则此棱各射影分别为相邻三面的对角线，其长度分别为，a，b，设长方体的各棱长分别为x，y，z，则有⇒a2＋b2＝8.所以≥2⇒a＋b≤4，故a＋b的最大值为4.
[答案] C
空间平行投影问题本质是考查三视图的有关知识，难点是需要学生有较强的空间想象能力，因此在解决投影问题时，可以将几何体置身于长方体中，将长方体作为背景可以增强考生的空间想象能力．
[创新预测]
2.如图，正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是________．
[解析] 如题图，设正四面体ABCD在平面α上的射影构成的图形面积为S，因为AB∥平面α，从运动的观点看，当CD∥平面α时，射影面积最大，此时射影图形为对角线长是1的正方形，面积最大值为；若CD或其延长线与平面α相交时，则当CD⊥平面α时，射影面积为最小，最小值为(证明略)，所以S∈.
[答案]
除了数学学科内的临界问题外，数学与其他学科间的临界问题也是高考命题的“新宠”．该类问题往往从学生已有的认知结构出发，将各科知识溶于一体，推陈出新，设置一些跨学科的问题，扩大学生的学习空间，考查学生的综合素质和对数学本质属性的理解程度．
【例3】 设F1、F2分别是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点M(2,3)在椭圆上，则∠F1MF2的平分线l所在的直线方程为________________．
[解析] 如图，设椭圆C在点M处的切线为l′，由于直线l为∠F1MF2的平分线，所以由椭圆的光学性质知l⊥l′.
l′的方程为＋＝1，
即x＋2y－8＝0，
所以l的方程为y－3＝2(x－2)，
即2x－y－1＝0.
故∠F1MF2的平分线l所在的直线方程为2x－y－1＝0.
[答案] 2x－y－1＝0
本题利用了如下两个拓展知识：
(1)过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)与椭圆相切的直线方程为＋＝1.
(2)椭圆的光学性质，即从椭圆的一个焦点出发的光线投射到椭圆上，经反射后反射光线必通过另一个焦点．
[创新预测]
3．点F为双曲线－y2＝1的左焦点，自点F发出的光线经双曲线反射后经过点P(－3,1)，则反射光线所在的直线方程为________________________________．
[解析] 设F′为双曲线的右焦点，则F′(2,0)，
由双曲线的光学性质知，直线PF′即为反射光线，
所以PF′的方程为＝，即x＋5y－2＝0.
所以反射光线方程为x＋5y－2＝0.
[答案] x＋5y－2＝0
1．高斯函数
对任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，称[x]为x的整数部分，{x}为其相应的小数部分，函数y＝{x}，{x}＝x－[x]．
2．最值函数
(1)定义1：最大值、最小值
设a，b∈R，记min{a，b}为a，b中较小的数，max{a，b}为a，b中较大的数．若a＝b，则min{a，b}＝max{a，b}＝a＝b.
(2)定义2：最大函数、最小函数
设f(x)，g(x)均为定义在I上的函数，记min{f(x)，g(x)}为f(x)，g(x)中值较小的函数，max{f(x)，g(x)}为f(x)，g(x)中值较大的函数．若f(x)＝g(x)，则min{f(x)，g(x)}＝max{f(x)，g(x)}＝f(x)．
【例4】 已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}，记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝( )
A．16 B．－16
C．a2－2a－16 D．a2＋2a－16
[解析] f(x)的图象的顶点坐标为(a＋2，－4a－4)，g(x)的图象的顶点坐标为(a－2，－4a＋12)，并且f(x)与g(x)的图象的顶点都在对方的图象上，如图所示，所以A－B＝－4a－4－(－4a＋12)＝－16.
[答案] B
本题考查了二次函数的图象和性质的应用，试题以信息的形式给出，增加了试题的难度，同时考查了数形结合和转化化归的数学思想．解题过程中要能够结合图象特点，将问题转化为研究函数图象的交点问题．
[创新预测]
4．对于一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f(x)＝[x]称为高斯函数或取整函数．若an＝f，n∈N*，Sn为数列{an}的前n项和，则S3n＝( )
A.n2－n B.n2＋n
C．3n2－2n D.n2－n
[答案] A
