2019届二轮复习第二讲　概率、随机变量及其分布列学案（全国通用）

第二讲　概率、随机变量及其分布列


考点一　古典概型、几何概型、条件概率
1．古典概型的概率公式
P(A)＝＝.
2．几何概型的概率公式
P(A)＝.
3．条件概率
在A发生的条件下B发生的概率
P(B|A)＝＝.
[对点训练]
1．在区间上随机取一个数x，则cosπx的值介于与之间的概率为(　　)
A. B. C. D.
[解析]　区间的长度为1，满足cosπx的值介于与之间的x∈∪，区间长度为，由几何概型概率公式得P＝＝.
[答案]　D
2．(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和\”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是(　　)
A. B. C. D.
[解析]　不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，从这10个素数中随机选取两个不同的数，有C＝45种情况，其和等于30的情况有3种，则所求概率等于＝.故选C.
[答案]　C
3．4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格，每次任取一个，不放回地取两次．若第一次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为________．
[解析]　解法一：记事件A＝{第一次取到的是合格高尔夫球}，事件B＝{第二次取到0的是合格高尔夫球}．
由题意可得P(AB)＝＝，P(A)＝＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
解法二：记事件A＝{第一次取到的是合格高尔夫球}，
事件B＝{第二次取到的是合格高尔夫球}．
由题意可得事件B发生所包含的基本事件数n(A∩B)＝3×2＝6种，事件A发生所包含的基本事件数n(A)＝3×3＝9，所以P(B|A)＝＝＝.
[答案]　
4．(2018·郑州一模)某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是________．
[解析]　设银行的营业时间为x，甲去银行的时间为y，以横坐标表示银行的营业时间，纵坐标表示甲去银行的时间，建立平面直角坐标系(如图)，则事件“甲去银行恰好能办理业务”表示的平面区域如图中阴影部分所示，所求概率P＝＝.

[答案]　
[快速审题]　看到区域长度和面积问题，想到几何概型；看到计数问题，想到古典概型；看到有条件的概率问题，想到条件概率．





　解答古典概型、几何概型、条件概率的关键
(1)有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．
(2)利用几何概型求概率时，关键是构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
(3)求条件概率时，关键弄清在哪种条件下发生的概率，以便正确使用公式求解．

考点二　相互独立事件与独立重复试验

[解]　(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝.
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝××＝.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P




随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)
＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)
＝×＋×
＝.
所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.

[解题指导]　
(1)―→―→
(2)―→―→―→
[解]　记第i名工人选择的项目属于基础设施类，
民生类，产业建设类分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.
由题意知A1，A2，A3，B1，B2，B3，C1，C2，C3均相互独立．
则P(Ai)＝＝，P(Bi)＝＝，P(Ci)＝＝，i＝1,2,3，
(1)3人选择的项目所属类别互异的概率：
P1＝AP(A1B2C3)＝6×××＝.
(2)任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率：
P2＝＝，
由X～B，
得P(X＝k)＝Ck3－k(k＝0,1,2,3)，
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P




∴X的数学期望E(X)＝3×＝2.

　求复杂事件概率的2种方法
(1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或一独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解．
(2)间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进行求解，对于“至少”“至多”等问题往往用这种方法求解．

[对点训练]
1．[角度1](2018·湖南益阳调研)某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测．检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂．现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如下：
得分
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
甲种产品的件数
5
10
34
11
乙种产品的件数
8
12
31
9
(1)试分别估计甲，乙两种产品下生产线时为合格品的概率；
(2)生产一件甲种产品，若是合格品，可盈利100元，若是不合格品，则亏损20元；生产一件乙种产品，若是合格品，可盈利90元，若是不合格品，则亏损15元．在(1)的前提下，记X为生产1件甲种产品和1件乙种产品所获得的总利润，求随机变量 X的分布列和数学期望．
[解]　(1)甲种产品为合格品的概率约为＝，
乙种产品为合格品的概率约为＝.
(2)随机变量X的所有可能取值为190,85,70，－35，
且P(X＝190)＝×＝，
P(X＝85)＝×＝，
P(X＝70)＝×＝，
P(X＝－35)＝×＝.
所以随机变量X的分布列为
X
190
85
70
－35
P




所以E(X)＝＋＋－＝125.
2．[角度2]某公司为了提高员工的演讲能力，加强员工之间的互动，特举行“我是演说家”活动，规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么不接受挑战，并且不能重复参加该活动．若被邀请者接受挑战，则他需在公司的网站上发布自己不超过10分钟的演讲视频内容，公司给予一定的资金，然后他便可以邀请另外3个人参与该项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．
(1)若被邀请者接受挑战后，对另外3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？
(2)假定(1)中被邀请到的3个人中恰有2个人接受挑战．根据活动规定，现记X为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求X的分布列、期望和方差．
[解]　因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，所以每个人接受挑战的概率为，不接受挑战的概率也为.
(1)设事件M为“邀请到的3个人中至少有2个人接受挑战”，则P(M)＝C2·＋C3＝.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.
因为X为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，所以X～B.
所以P(X＝0)＝C06＝，
P(X＝1)＝C·5＝＝，
P(X＝2)＝C2·4＝，
P(X＝3)＝C3·3＝＝，
P(X＝4)＝C4·2＝，
P(X＝5)＝C5·1＝＝，
P(X＝6)＝C60＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
6
P







所以E(X)＝6×＝3，D(X)＝6××＝.
故所求的期望为3，方差为.
考点三　随机变量的分布列、均值与方差
1．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为实数)．
2．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
【例】　高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“3＋3”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分为750分．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“A市某一届学生在物理、化学、生物3个科目中至少选考一科的学生\”记作学生群体B，从学生群体B中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理、化学、生物的科目数及人数统计表如下.


[解]　(1)记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件M，则P(M)＝＝，
所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为P()＝1－P(M)＝.
(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.
从而X的分布列为
X
0
1
2
P



E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
(3)所调查的50名学生中选考物理、化学、生物中的2个科目的学生有25名，被抽取的概率为P＝＝，所以Y～B，
所以事件“Y≥2”的概率为P(Y≥2)＝C2×2＋C3×＋C4＝.
[探究追问1]　其他条件不变，若从所调查的50名学生中任选2名，记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数为1的人数，求X的数学期望．
[解]　X服从超几何分布，X的所有可能取值为0,1,2，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝.



[探究追问2]　其他条件不变，(3)中求Y的数学期望和方差．
[解]　由题知，Y～B，故E(Y)＝4×＝2，D(Y)＝4××＝1.




[对点训练]
(2018·武汉二模)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：

(1)当p＝时，求q的值；
(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围；
(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p＝，q＝，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？结合结果并说明理由．
[解]　(1)因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，
所以p＋＋q＝1.
又因为p＝，所以q＝.




1．(2018·全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则(　　)

A．p1＝p2 B．p1＝p3
C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3
[解析]　不妨设BC＝5，AB＝4，AC＝3，则△ABC三边所围成的区域Ⅰ的面积S1＝×3×4＝6，区域Ⅲ的面积S3＝×2－S1＝－6，区域Ⅱ的面积S2＝×22＋×2－＝6，所以S1＝S2>S3，由几何概型的概率公式可知p1＝p2>p3，故选A.
[答案]　A
2．(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)