2019届二轮复习第二讲　算法、复数、推理与证明学案（全国通用）

第二讲　算法、复数、推理与证明


考点一　复数的概念与运算
1．复数的乘法
复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项即可．
2．复数的除法
除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式．复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”．
3．复数运算中常见的结论
(1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i；
(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i；
(3)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.
[对点训练]
1．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝(　　)
A．0 B．
C．1 D．
[解析]　∵z＝＋2i＝＋2i＝i，∴|z|＝1，故选C．
[答案]　C
2．(2018·安徽安庆二模)已知复数z满足：(2＋i)z＝1－i，其中i是虚数单位，则z的共轭复数为(　　)
A．－i B．＋i
C．－i D．＋i
[解析]　由(2＋i)z＝1－i，得z＝＝＝－i，∴＝＋i.故选B．
[答案]　B
3．(2018·安徽马鞍山二模)已知复数z满足zi＝3＋4i，则复数z在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析]　由zi＝3＋4i，得z＝＝＝4－3i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(4，－3)，该点位于第四象限．故选D．
[答案]　D
4．(2018·江西师大附中、临川一中联考)若复数z＝，为z的共轭复数，则()2017＝(　　)
A．i B．－i
C．－22017i D．22017i
[解析]　由题意知z＝＝＝i，可得＝－i，则()2017＝[(－i)4]504·(－i)＝－i.故选B．
[答案]　B
[快速审题]　(1)看到题目的虚数单位i，想到i运算的周期性；看到z·，想到公式z·＝|z|2＝||2.
(2)看到复数的除法，想到把分母实数化处理，即分子、分母同时乘以分母的共轭复数，再利用乘法法则化简．



　复数问题的解题思路
以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．
考点二　程序框图
1．当需要对研究的对象进行逻辑判断时，要使用条件结构，它是根据指定条件选择执行不同指令的控制结构．
2．注意直到型循环和当型循环的本质区别：直到型循环是先执行再判断，直到满足条件才结束循环；当型循环是先判断再执行，若满足条件，则进入循环体，否则结束循环．
3．循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等．
[对点训练]
1．执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是4，则常数a的值为(　　)

A．4 B．2
C． D．－1
[解析]　S和n依次循环的结果如下：S＝，n＝2；S＝1－，n＝4.所以1－＝2，a＝－1.故选D．
[答案]　D
2．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的i的值为(　　)

A．4 B．5
C．6 D．7
[解析]　根据程序框图，程序执行中的数据变化如下：n＝12，i＝1；n＝6，i＝2；6≠5；n＝3，i＝3；3≠5；n＝10，i＝4；10≠5；n＝5，i＝5；5＝5成立，程序结束，输出i＝5.故选B．
[答案]　B
3．(2018·全国卷Ⅱ)为计算S＝1－＋－＋…＋－，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入(　　)

A．i＝i＋1 B．i＝i＋2
C．i＝i＋3 D．i＝i＋4
[解析]　S＝1－＋－＋…＋－＝－，当不满足判断框内的条件时，S＝N－T，所以N＝1＋＋＋…＋，T＝＋＋…＋，所以空白框中应填入i＝i＋2.故选B．
[答案]　B
4．执行如图所示的程序框图，输出的S的值是________．

[解析]　由程序框图可知，n＝1，S＝0；S＝cos，n＝2；S＝cos＋cos，n＝3；…；S＝cos＋cos＋cos＋…＋cos＝251＋cos＋cos＋…＋cos＝251×0＋＋0＋＋(－1)＋＋0＝－1－，n＝2015，输出S.
[答案]　－1－
[快速审题]　(1)看到循环结构，想到循环体的结构；看到判断框，想到程序什么时候开始和终止．
(2)看到根据程序框图判断程序执行的功能，想到依次执行n次循环体，根据结果判断．
(3)看到求输入的值，想到利用程序框图得出其算法功能，找出输出值与输入值之间的关系，逆推得输入值．



　求解程序框图2类常考问题的解题技巧
(1)程序框图的运行结果问题
先要找出控制循环的变量及其初值、终值．然后看循环体，若循环次数较少，可依次列出即可得到答案；若循环次数较多，可先循环几次，找出规律．要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误，尤其对于以累和为限定条件的问题，需要逐次求出每次迭代的结果，并逐次判断是否满足终止条件．
(2)程序框图的填充问题
最常见的是要求补充循环结构的判断条件，解决此类问题的方法是创造参数的判断条件为“i>n？”或“i