2019届二轮复习（文）对数函数及其性质学案（全国通用）

【母题原题1】【2018新课标1，文13】已知函数，若，则        ．

【答案】-7

【解析】

点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.

【母题原题2】【2016新课标1，文8】若a＞b＞0，0＜c＜1，则

A． logac＜logbc    B． logca＜logcb    C． ac＜bc     D． ca＞cb

【答案】B

【解析】试题分析：对于选项A， ， ， ，而，所以，但不能确定的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B， , ，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C，利用在第一象限内是增函数即可得到，所以C错误;对于选项D，利用在上为减函数易得，所以D错误.所以本题选B.

【考点】指数函数与对数函数的性质

【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.

【命题意图】

（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.

（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.

（3）知道对数函数是一类重要的函数模型.

（4）了解指数函数与对数函数互为反函数.

【命题规律】

一、对数与对数运算

1．对数的概念

（1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.  学   

（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN.

（3）对数式与指数式的互化：.

2．对数的性质

根据对数的概念，知对数具有以下性质：

（1）负数和零没有对数，即；

（2）1的对数等于0，即；

（3）底数的对数等于1，即；

（4）对数恒等式.

3．对数的运算性质

如果，那么：

（1）；

（2）；

（3）.

4．对数的换底公式

对数的换底公式：.

换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.

换底公式的变形及推广：

（1）；

（2）；

（3）(其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0).

二、对数函数及其性质

1．对数函数的概念

一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.

2．对数函数的图象和性质

一般地，对数函数的图象与性质如下表所示：

在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴；当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”．

3．对数函数与指数函数的关系

指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称.

【方法总结】学

1．对数函数的图象过定点（1,0），所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的问题，只需令真数为1，解出相应的，即可得到定点的坐标.

2．当底数时，对数函数是上的增函数，当时，底数的值越小，函数图象越“陡”，其函数值增长得越快；当底数时，对数函数是上的减函数，当时，底数的值越大，函数图象越“陡”，其函数值减小得越快.也可作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．

3．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．特别地，要注意底数和的两种不同情况．有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现．

4．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

对数运算的一般思路：

5.（1）对于指数式、对数式混合型条件的化简与求值问题，一般可利用指数与对数的关系，将所给条件统一为对数式或指数式，再根据有关运算性质求解；

（2）在对数运算中，可先利用幂的运算性质把底数或真数变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后运用对数的运算性质、换底公式，将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算.

1．若xlog34=1，则4x+4–x=

A． 1    B． 2    C．     D．

【答案】D

【解析】

【分析】

条件可化为x=log43，运用对数恒等式，即可。

【详解】

∵xlog34=1，∴x=log43，∴4x=3，∴4x+4–x=3+．故选D．

【点睛】

本题考查对数性质的简单应用，属于基础题目。

2．【青海省西宁市2018届高三下学期复习检测二（二模）】函数的图像大致为（   ）

A．     B．

C．      D．

【答案】B

点睛：本题考查函数的图象和性质等知识，意在考查学生的识图能力．

3．【福建省百校2018届下学期临考冲刺】中国古代十进制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹记数的方法是：个位、百位、万位的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表示为．

  学      

1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则的运算结果可用算筹表示为（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】分析：可先计算出的值，再根据表示数码写出相应结果.

详解：,

从题中所给表示数码知可用算筹表示，

故选D.

点睛：本题主要结合算筹计数法考查指数与对数的运算.核心关键在于能够准确计算出算式的值，并能仔细对照算筹数码，即可得正确结果.

4．【山东省烟台市2018年春季高考第一次模拟考试】计算等于（  ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

点睛：本题主要考查了对数的运算求值，其中熟记对数的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．

5．【安徽省肥东县高级中学2019届上学期高三8月调研考试】若， ， ，则， ，的大小关系是（    ）．

A．     B．     C．     D．

【答案】C 学, ,  ,X,X,K]

【解析】   ]

【分析】

直接利用中间量“0”，“1”判断三个数的大小即可．  学   

【详解】

故选C.

【点睛】

本题主要考查数的大小比较，一般来讲要转化为函数问题，利用函数的图象分布和单调性比较，有时也用到0，1作为比较的桥梁．

6．【北京市通州区2018届下学期高三年级三模考试】标准的围棋棋盘共行列，个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是 （）

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】

【分析】

【点睛】

本题考查对数的计算，关键是掌握对数的运算性质．

7．【重庆市綦江中学2018届高三高考适应性考试】已知函数 的零点为3，则=（ ）

A． 1    B． 2    C．     D． 2017

【答案】C

【解析】

【分析】

由函数零点的定义可得，解得，即可得函数的解析式，计算可得的值，分析可得，结合函数的解析式可得答案.  学    

【点睛】

本题主要考查函数的零点以及分段函数的解析式、分段函数求函数值，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.

8．【河北省石家庄市行唐县三中、正定县三中、正定县七中2017届高三10月联考】若函数的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则(      )

A． a=2,b=2    B． a=,b=2    C． a=2,b=1    D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定a,b的值.

【详解】

若函数的图象过两点(-1，0)和(0，1),则:

,据此可知:，则a=2,b=2.

本题选择A选项.

【点睛】

本题主要考查对数的定义与运算，对数方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

9．【湖北省黄冈中学2018届高三5月第三次模拟考试】已知函数，若，则（    ）

A．     B．

C．     D．

【答案】C

点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．

10．已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】分析：由题函数的定义域为，值域为，求得当时，，当时，，即可求解得取值范围.

详解：由题函数的定义域为，值域为，

所以当时，；当时，或；

所以当时，，当时，，   ]

所以，故选D.

点睛：本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用问题，其中熟记对数函数的图象与性质是解得关键，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题.

11．【河南省洛阳市2018届高三第三次统一考试】函数的单调递减区间是（  ） 学    ]

A．     B．

C．     D．

【答案】B

点睛：该题考查的是有关复合函数的单调区间的问题，在解题的过程中，需要首先化简函数解析式，之后根据复合函数单调性法则同增异减的原则，得到其结果，在解题的过程中，需要时刻注意定义域优先原则，得保证函数有意义，之后列出相应的式子，求得结果.  学   

12．【广东省广州市执信中学2018-2019学年度上学期高三测试】已知函数在区间上的最大值比最小值大2，则的值为(   )

A． 2    B．     C．     D． 或

【答案】D

【解析】

【分析】

【点睛】

本题主要考查对数函数的单调性与二次函数的单调性，以及利用单调性求最值，意在考查灵活应用所学知识解决问题的能力，属于中档题.

13．【山东省烟台市2018届高三高考适应性练习（一）】已知奇函数的定义域为，且对任意，若当时，则（   ）

A．     B．     C． -1    D． 1

【答案】A

【解析】分析：根据性质可得，然后再根据奇函数将问题转化到区间上解决即可．

详解：由题意得，

又函数为奇函数，

∴．

故选A．

点睛：本题考查函数性质的综合运用及求函数值，解题的关键是根据所给出的函数的性质将所求值进行转化，逐步转化到区间上，再根据对数运算求得．

14．【江西师范大学附属中学2018届高三年级测试（三模）】已知函数，若，则（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

点睛：（1）本题主要考查函数求值和指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力.（2）解答本题的关键是整体代入求值.

15．【山西省运城市康杰中学2018届高三高考模拟（一）】已知函数，则使得f(2x)>f(x+3) 成立的x的取值范围是

A． (-1,3)    B．

C．     D．

【答案】D

【解析】分析：先利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，将

转化为进行求解.  学   

详解：因为，

所以函数是偶函数，

又在单调递减，在单调递增，

所以，

解得或.故选D.

点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性的综合运用，要注意：奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反.