2019届二轮复习不等式基本性质、含有绝对值的不等式学案（全国通用）

题型一　绝对值不等式的解法例1　(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ x＋1 －2 x－a ，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．【解析】　(1)当a＝1时，f(x)>1化为 x＋1 －2 x－1 －1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，解得<x<1；当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为.点评　解绝对值不等式的基本方法有：(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．变式：（2018全国新课标Ⅰ文、理）已知．（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围．【解析】（1）当时，， 学      ∴的解集为.学   【答案】（1）；（2）.巩固1(1)解不等式 x－1 ＋ x＋2 ≥5的解集．(2)若关于x的不等式 ax－2 <3的解集为{x －<x<}，求a的值．题型二　利用绝对值不等式求最值例2　(1)对任意x，y∈R，求 x－1 ＋ x ＋ y－1 ＋ y＋1 的最小值．(2)对于实数x，y，若 x－1 ≤1， y－2 ≤1，求 x－2y＋1 的最大值．【解析】　(1)∵x，y∈R，∴ x－1 ＋ x ≥ (x－1)－x ＝1， y－1 ＋ y＋1 ≥ (y－1)－(y＋1) ＝2，∴x－1 ＋ x ＋ y－1 ＋ y＋1 ≥1＋2＝3.∴ x－1 ＋ x ＋ y－1 ＋ y＋1 的最小值为3.(2) x－2y＋1 ＝ (x－1)－2(y－1) ≤ x－1 ＋ 2(y－2)＋2 ≤1＋2 y－2 ＋2≤5，即 x－2y＋1 的最大值为5.点评　求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即 a ＋ b ≥ a±b ≥ a － b ；(3)利用零点分区间法．　 巩固2(1)若关于x的不等式 2014－x ＋ 2015－x ≤d有解，求d的取值范围．(2)不等式 x＋ ≥ a－2 ＋sin y对一切非零实数x，y均成立，求实数a的取值范围．题型三　绝对值不等式的综合应用例3　(2017·石家庄调研)设函数f(x)＝ x－3 － x＋1 ，x∈R.(1)解不等式f(x)<－1；(2)设函数g(x)＝ x＋a －4，且g(x)≤f(x)在x∈[－2,2 上恒成立，求实数a的取值范围． (2)函数g(x)≤f(x)在x∈[－2,2 上恒成立，即 x＋a －4≤ x－3 － x＋1 在x∈[－2,2 上恒成立，在同一个坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象，如图所示．故当x∈[－2,2 时，若0≤－a≤4时，则函数g(x)在函数f(x)的图象的下方，g(x)≤f(x)在x∈[－2,2 上恒成立，学    学          求得－4≤a≤0，故所求的实数a的取值范围为[－4,0 ．点评　(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．变式：（2018全国新课标Ⅲ文、理）设函数．（1）画出的图像； 学   （2）当，，求的最小值．【解析】（1），如下图：巩固3已知函数f(x)＝ x＋a ＋ x－2 .(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤ x－4 的解集包含[1, 2 ，求a的取值范围． 答案与解析 学      巩固1【解析】(1)当x<－2时，不等式等价于－(x－1)－(x＋2)≥5，解得x≤－3；当－2≤x<1时，不等式等价于－(x－1)＋(x＋2)≥5，即3≥5，无解；当x≥1时，不等式等价于x－1＋x＋2≥5，解得x≥2. 学   综上，不等式的解集为{ ≤－3或x≥2}．(2)∵ ax－2 <3，∴－1<ax<5.当a>0时，－<x<，与已知条件不符；当a＝0时，x∈R，与已知条件不符；当a<0时，<x<－，又不等式的解集为{x －<x<}，故a＝－3.巩固3　【解析】(1)当a＝－3时，f(x)＝当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；当2<x<3时，f(x)≥3无解；当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4.所以f(x)≥3的解集为{ ≤1或x≥4}．(2)f(x)≤ x－4 ⇔ x－4 － x－2 ≥x＋a .当x∈[1,2 时， x－4 － x－2 ≥ x＋a ⇔4－x－(2－x)≥ x＋a ⇔－2－a≤x≤2－a.由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[－3,0 .