2019届二轮复习常考题型答题技巧变量间的相关关系学案（全国通用）

2019届二轮复习  常考题型答题技巧   变量间的相关关系 学案 （全国通用）【知识梳理】1．相关关系如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系．2．散点图将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做散点图，利用散点图，可以判断两个变量是否相关，相关时是正相关还是负相关．3．正相关和负相关(1)正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域．(2)负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域．4．回归直线方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)回归方程：回归直线的方程，简称回归方程．(3)回归方程的推导过程：①假设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)．②设所求回归方程为＝x＋，其中，是待定参数．③由最小二乘法得　　. ]其中：是回归方程的斜率，是截距．【常考题型】题型一、相关关系的判断【例1】　(1)下列关系中，属于相关关系的是        ①正方形的边长与面积之间的关系；②农作物的产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．(2)某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示.年龄(岁)x123456身高(cm)y788798108115120①画出散点图；②判断y与x是否具有线性相关关系．[解析]　(1)在①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；在③中，人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具有相关关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．[答案]　(1)②④(2)①散点图如图所示．②由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y与x有线性相关关系．【类题通法】两个变量是否相关的两种判断方法(1)根据实际经验：借助积累的经验进行分析判断．(2)利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断．【对点训练】如图所示的两个变量不具有相关关系的有        ．解析：①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系．答案：①④题型二、求回归方程【例2】　某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：商店名称ABCDE销售额(x)/千万元35679利润额(y)/百万元23345(1)画出销售额和利润额的散点图；(2)若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y对销售额x的回归直线方程．[解]　(1)散点图如下：(2)数据如下表：ixiyixxiyi132962532515363361847449285958145合计3017200112可以求得＝0.5，＝0.4，线性回归方程为＝0.5x＋0.4.【类题通法】求线性回归方程的步骤(1)计算平均数，.(2)计算xi与yi的积，求.(3)计算.(4)将结果代入公式＝，求.(5)用＝－，求.(6)写出回归方程．[变式训练]已知变量x，y有如下对应数据：x1234y1345(1)作出散点图；(2)用最小二乘法求关于x，y的回归直线方程．解：(1)散点图如图所示．(2)＝＝，＝＝，   ]yi＝1＋6＋12＋20＝39.＝1＋4＋9＋16＝30，＝＝，＝－×＝0，所以＝x为所求回归直线方程.题型三、利用线性回归方程对总体进行估计【例3】　一台机器由于使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机器零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表是抽样试验结果：转速x(转/秒)(x∈N )16 14128每小时生产有缺点的零件数y(件)11985(1)如果y与x具有线性相关关系，求回归方程；(2)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件数最多为10个，那么机器的转速应该控制在什么范围内？[解]　(1)由题意，可得＝12.5，＝8.25，yi＝438，＝660，则＝≈0.728 6，＝－＝－0.857 5.所以回归直线的方程为＝0.728 6x－0.857 5.(2)要使y≤10，则0.728 6x－0.857 5≤10，解得x≤14.90.所以机器的转速应该控制在15转/秒以下．【类题通法】回归分析的三个步骤(1)进行相关性检验，若两变量无线性相关关系，则所求的线性回归方程毫无意义．(2)求回归直线方程，其关键是正确地求得，.(3)根据直线方程进行预测．【对点训练】假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)，有如下的统计资料：使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57. 0由资料可知y与x具有相关关系．(1)求回归方程＝x＋的回归系数，；(2)估计使用年限为10年时维修费用是多少．解：(1)先把数据列成表.序号12345xi2345620yi2.23.85.56.57.025xiyi4.411.422.032.542.0112.3x4916253690由表可知＝4，＝5，由公式可得：＝＝＝1.23，＝－＝5－1.23×4＝0.08.(2)由(1)可知回归方程是＝1.23x＋0.08，∴当x＝10时，＝1.23×10＋0.08＝12.3＋0.08＝12.38(万元)．故估计使用年限为10年时，维修费用是12.38万元．【练习反馈】1．下列命题正确的是(　　)   ]①任何两个变量都具有相关关系；②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．A．①③④　　　　　　　　 　B．②③④C．③④⑤   D．②④⑤解析：选C　①显然不对，②是函数关系，③④⑤正确．2．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图图2.由这两个散点图可以判断(　　)A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关解析：选C　由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关．3．若施肥量x(kg)与水稻产量y(kg)的线性回归方程为＝5x＋250，当施肥量为80 kg时，预计水稻产量约为        kg.解析：把x＝80 kg代入回归方程可得其预测值＝5×80＋250＝650(kg)．答案：6504．对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表所示.x24568y3040605070若已求得它们的回归直线的斜率为6.5，这条回归直线的方程为        ．解析：由题意可知＝＝5，＝＝50.即样本中心为(5,50)设回归直线方程为＝6.5x＋，∵回归直线过样本中心(，)，∴50＝6.5×5＋，即＝17.5，∴回归直线方程为＝6.5x＋17.5答案：＝6.5x＋17.55．2013年元旦前夕，某市统计局统计了该市2012年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：年收入x(万元)24466677810年饮食支出y(万元)0.91.41.62.02.11.91.8  , ,k ]2.12.22.3(1)如果已知y与x是线性相关的，求回归方程；(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．(参考数据：＝117.7，＝406)解：依题意可计算得：＝6，＝1.83，2＝36， ＝10.98，又∵＝117.7，＝406，∴＝≈0.17，＝－＝0.81，∴＝0.17x＋0.81.∴所求的回归方程为＝0.17x＋0.81.(2)当x＝9时，＝0.17×9＋0.81＝2.34(万元)．可估计大多数年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元．