2019届二轮复习不等式学案（全国通用）（文）

解密12 不等式

高考考点
命题分析
三年高考探源
考查频率
不等式的性质与一元二次不等式
选择题、填空题中的考查以简单的线性规划与不等式的性质为主，重点求目标函数的最值，有时也与其他知识交汇考查.
基本不等式求最值及应用在课标卷考试中是低频点，但基本不等式作为求最值的一种方法要牢记.
不等式的解法多与集合、函数、解析几何、导数相交汇考查.
2016课标全国Ⅱ1
★★
线性规划
2018课标全国Ⅰ14
2018课标全国Ⅱ14
2018课标全国Ⅲ15
2017课标全国Ⅰ7
2017课标全国Ⅱ7
2016课标全国Ⅰ16
★★★★★
基本不等式
2018天津13
2017山东12
★★

考点1 不等式的性质与一元二次不等式
题组一 不等式的性质
调研1 若非零实数，，满足，则下列一定成立的不等式是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A.若，不一定为正，则不一定成立，故A错；
B.同A，当不一定为正时，不一定成立，故B错；
C.由，故C正确；
D.举反例：，，，，故D错误，
综上可知选．
【名师点睛】本题考查不等式性质，考查简单推理能力.根据不等式性质判断，注意乘以一个正数、负数、零对不等号的影响是不同的.
调研2 已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的是
A． B．
C． D．
【答案】A

【名师点睛】特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:
（1）求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.

☆技巧点拨☆
不等式的一些常用性质：
(1)有关倒数的性质
①a>b，ab>0Þ0)，当且仅当a＝b时，等号成立．
(2)a2＋b2≥2ab，ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)＋≥2(a，b同号且均不为零)，当且仅当a＝b时，等号成立．
(4)a＋≥2(a>0)，当且仅当a＝1时，等号成立；a＋≤－2(a1，y>1，∴，又∵，，成等比数列，∴，
由基本不等式可得，当且仅当时取等号，
故，即，故xy的最小值为.
本题选择A选项.
【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

1．（山东省临沂市第十九中2019届高三上期第六次质量调研考试数试题）已知函数的定义域为集合，集合，则为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由可得，即A=，又集合，所以=.
故选B.
【名师点睛】本题考查了具体函数定义域的求法，交集的运算，属于基础题.先求A集合，B集合代表奇数，所以很容易求得.
2．（河北省衡水中2018届高三十五模数试题）已知，则下列选项中错误的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，当时，，即，∴，，成立，
此时，∴.
故选D. _
3．（2018年普通高校招生全国卷一(A)【衡水金卷】高三信息卷(四)数试题）设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设：的解集为A，所以A={x 2≤x＜0或0＜x≤2}，
设：的解集为B，所以B={x m≤x≤m+1}，
由题知p是q的必要不充分条件，即得B是A的真子集，
所以有
综合得m∈，故选D.
4．（贵州省铜仁市第一中2017-2018年高三上期第二次月考数试题）已知关于x的不等式x2−4ax＋6a20)的解集为(x1,x2)，则x1＋x2＋的最小值是
A． B．
C． D．
【答案】C

【名师点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
5．（广东省汕头市达濠华侨中、东厦中2019届高三上期第三次联考数试题）若变量x，y满足约束条件，则的最大值是
A．0 B．2
C．5 D．6
【答案】C
【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示．

令，则，平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时取得最大值．
由，得，∴点A的坐标为，
∴．
故选C．
【名师点睛】画出不等式组表示的可行域，令，则，平移直线到可行域，根据的几何意义确定出最优解，然后可得的最大值.
（1）利用线性规划求目标函数最值的步骤
①作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线；
②平移：将平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要进行目标函数和可行域边界的斜率的大小比较；
③求值：解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．
（2）用线性规划解题时要注意的几何意义，分清与直线在y轴上的截距成正比例还是反比例．
6． （天津市十二校2018年高三二模联考数试题）已知，满足不等式组则目标函数的最小值为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】画出不等式组表示的可行域，如图，

平移直线，设可行域内一点，由图可知，直线经过点时取到最小值，
联立，解得，的最小值为.
故选B.
【名师点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：
（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；
（2）找到目标函数对应的最优解的对应点（在可行域内平移变形后的目标函数对应的直线，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；
（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
7．（山东省济南外国语校2019届高三12月月考数试题）正项等比数列中，存在两项使得，且，则的最小值是
A． B．2
C． D．
【答案】A
【解析】设正项等比数列的公比为.由可得，解得.
由，可得，得，解得.
所以.
当且仅当，即时，取得最小值.
故选A.
【名师点睛】本题主要考查了等比数列的基本量运算及基本不等式求最值，利用基本不等式求最值时，要满足条件“一正，二定，三相等”，属于中档题.利用等比数列的基本量运算可得，进而可得，由，展开利用基本不等式求最值即可.
8．（吉林省四平市2018届高三质量检测数试题）若满足约束条件且向量,则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】向量，设，作出不等式组表示的平面区域如图，

由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，由，解得，即，此时，经过点时，直线的截距最小，此时最小，由，解得，即，此时，则，即的取值范围是，故选D.
【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解的对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
9．（河北省衡水中2018届高三上期七调考试数试题）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于，广告的总播放时长不少于，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为
A．6，3 B．5，2
C．4，5 D．2，7
【答案】A
【解析】依题意得,目标函数为,画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点处取得最大值.故选A.

10．（四川省乐山市2019届高三第一次调查研究考试数试题）已知实数，满足，且，则的最大值为__________．
【答案】9
【解析】由，得，
令，则，则，
，当且仅当x=2y时等号成立，，,解得，故的最大值为.
故答案为9.
【名师点睛】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，考查了利用换元法解一元二次不等式，需要进行转化，有一定难度，需要掌握解题方法.根据题意可以令，则得到，根据基本不等式求出的最值，即可得到关于的不等式，计算即可求得答案.
11．(江西省南康中2019届高三上期第五次月考数试题)设正数满足，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】由得，故
，当且仅当，即时等号成立.
【名师点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查化归与转化的数思想方法，属于基础题.将转化为，用这个“1”去乘求最小值的式子，化简后利用基本不等式来求得最小值.
12．（四川省内江市2019届高三第一次模拟考试数试题）设，满足约束条件，则的最小值为______.
【答案】
【解析】由约束条件作出可行域如图，

化目标函数 ＝2x+y为y＝﹣2x+ ，
由图可知，当直线y＝﹣2x+ 过A（1，2）时，直线在y轴上的截距最小， 最小，最小值为2×1+2＝4．
故答案为4．
【名师点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
13．（江西省南昌市第十中2019届高三上期第二次月考数试题）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，且，则面积的最大值为______.
【答案】
【解析】由，，即，利用正弦定理化简得，整理得，即，所以，即，所以，即，当a=c时取等号，所以，则面积的最大值为.
故答案为：.
【名师点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．把已知等式中的3换成b，利用正弦定理化简得到等式，利用余弦定理求出cosB的值，利用基本不等式求出ac的最大值，即可确定ABC面积的最大值．
14．（安徽省江淮十校2018届高三第三次（4月）联考数文试题）已知实数，满足不等式组，若直线把不等式组表示的平面区域分成面积相等的两部分，则__________．
【答案】
【解析】不等式组对应的平面区域是以A(-1,0),B(1,-1),C(0,2)为顶点的三角形（如图），因为过定点A（-1，0），由题意直线过BC的中点E，所以斜率.

15．（河北省武邑中2018届高三上期期末考试数试题）已知实数满足，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】作出可行域如图中阴影部分（含边界）所示，表示可行域内的点与点连线的斜率，，，所以由图知的最小值为．

【名师点睛】在线性规划的非线性应用中，经常考虑待求式的几何意义，如本题的斜率，或者是两点间距离、点到直线的距离，这就要根据表达式的形式来确定．
16．（衡水金卷2018年普通高等校招生全国统一考试分 综合卷数（二）模拟试题）已知满足，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】如图，阴影部分即为不等式表示的区域，

的几何意义是：可行域中的点与点连线的斜率，且点在直线上，由图形可得最小值为1，最大值为过点且与抛物线相切的直线的斜率.
设切点为，则，把代入，解得或5，由图可知不合题意，舍去，故切线斜率为，∴的取值范围为.
故答案为.
【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
17．（陕西省彬州市2018-2019年上期高2019届高三年级第一次教质量监测试卷数试题）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为__________．

【答案】
【解析】根据条件：，，又，∴；
又M，G，N三点共线，∴1；
∵x＞0，y＞0，∴3x+y＝（3x+y）（）2，
∴3x+y的最小值为，当且仅当时“=”成立．
故答案为：．
【名师点睛】本题考查了平面向量的线性运算与共线定理的应用问题，也考查了基本不等式在求最值中的应用问题．由条件通过三角形的重心与三点共线推出1，然后根据基本不等式即可求出x+y的最小值．

1．（2016新课标全国Ⅱ文 ）已知集合，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由得，所以，因为，所以，故选D.
2．（2017新课标全国Ⅰ文 ）设x，y满足约束条件则 =x+y的最大值为
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】D
【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时 取得最大值，故，故选D．

【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．
3．（2016新课标全国Ⅰ文 ）某高 技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 g，乙材料1 g，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 g，乙材料0.3 g，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。该企业现有甲材料150 g，乙材料90 g，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.
【答案】
【解析】设生产产品A、产品B分别为、件，利润之和为元，那么由题意得约束条件 目标函数.约束条件等价于 ①
作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示.


【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题的形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.
4．（2018新课标I文 ）若，满足约束条件，则的最大值为_____________．
【答案】6
【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：

由可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点B时， 取得最大值，
由，解得，此时，故答案为6.
【名师点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型，根据不同的形式，应用相应的方法求解.
5．（2018新课标Ⅲ文 ）若变量满足约束条件则的最大值是________．
【答案】3
【解析】作出约束条件表示的可行域如下图所示.
由图可知目标函数在直线与的交点（2，3）处取得最大值3.
故答案为3.

6．（2018新课标II文 ）若满足约束条件 则的最大值为__________．
【答案】9
【解析】不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数的最大值必在顶点处取得，易知当时，.

【名师点睛】线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择或填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.