2019届二轮复习等差数列和等比数列学案（全国通用）


考情速递：

1 (2018年新课标Ⅰ理)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3＝S2＋S4,a1＝2,则a5＝( )
A.－12 B.－10 C.10 D.12
【答案】：B
【解析】设{an}的公差为d,由3S3＝S2＋S4,得3＝2a1＋d＋4a1＋d.将a1＝2代入,解得d＝－3.∴a5＝2＋4×(－3)＝－10.
2. （2018年北京）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（　　）
A．f B．f C．f D．f
【答案】：D
【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为f·()8-1=f．故选D．
3. （2018年北京）设{an}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{an}的通项公式为　 　．
【答案】：an=6n-3
4．(2018年江苏)已知集合A={x|x=2n-1，n∈N }，B={x|x=2n，n∈N }．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}，记Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn＞12an+1成立的n的最小值为　 　．
【答案】：27
【解析】利用列举法可得S26=+=441+62=503，a27=43，⇒12a27=516，不符合题意．S27=+=546，28=45⇒1228=540，符合题意．故答案为27．



例1（1）.(2018年新课标Ⅰ理)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn＝2an＋1,则S6＝ .
【答案】-63
【解析】由Sn＝2an＋1,可得a1＝－1.当n≥2时,an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1,∴an＝2an－1.∴{an}是以－1为首项,以2为公比的等比数列,∴S6＝＝－63.
变式训练题
（2018•青岛一模）公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6=3a4，且S9=λa4，则λ的值为（　　）
A．18 B．20 C．21 D．25
【答案】：A
【解析】：设公差为d，由a6=3a4，且S10=λa4，
得，解得λ=18，故选：A．

例（1）（2018年浙江）已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（　　）
A．a1＜a3，a2＜a4 B．a1＞a3，a2＜a4
C．a1＜a3，a2＞a4 D．a1＞a3，a2＞a4
【答案】B
（2）（2018•兴安盟一模）等差数列{an}中，an＞0，a12+a72+2a1a7=4，则它的前7项的和等于（　　）
A． B．5 C． D．7
【答案】D
【解析】：∵等差数列{an}中，an＞0，a12+a72+2a1a7=4，
∴（a1+a7）2=4，
∴a1+a7=2，
∴S7=（a1+a7）==7．
故选：D．
（3）（2018•衡阳二模）在等差数列{an}中，﹣1＜＜0，若它的前n项和Sn有最大值，则当Sn＞0时，n的最大值为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】：B
【解析】∵数列{an}是等差数列，它的前n项和Sn有最大值，
∴公差d＜0，首项a1＞0，{an}为递减数列，∵﹣1＜＜0，
∴a6•a7＜0，a6+a7＞0，由等差数列的性质知：2a6=a1+a11＞0，a7＜0．
a6+a7=a1+a12＞0，∵Sn=，∴Sn＞0时，n的最大值为12．故选：B．


例3(2018年新课标Ⅰ文)已知数列{an}满足a1＝1,nan＋1＝2(n＋1)an,设bn＝.
（1）求b1,b2,b3；
（2）判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由；
（3）求{an}的通项公式.
【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的各项．
（2）利用定义说明数列为等比数列．
（3）利用（1）（2）的结论，直接求出数列的通项公式．

（2）由nan＋1＝2(n＋1)an,得＝2,即＝2.
又b1＝1,∴{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列.
（3）由（2）得bn＝2n－1,∴an＝nbn＝n·2n－1.

1（2018•银川模拟）已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a3=（　　）
A．﹣10 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣4
【答案】D
【解析】：∵等差数列{an}的公差为2，且a1，a3，a4成等比数列，
∴a32=a1a4，∴a32=（a3﹣4）（a3+2），
解得a3=﹣4故选：D．
3（2018•凯里市校级三模）已知数列{an}满足，且a1=2．
（Ⅰ）证明：数列是等差数列；
（Ⅱ）设数列，求数列{cn}的前n项和Sn．

解：（Ⅱ）由（ I）得+1=1+（n﹣1）×1=n，
∴an=n×2n．
∴=2n﹣n，
∴数列{cn}的前n项和Sn=（21﹣1）+（22﹣2）+（22﹣2）+…+（2n﹣n）
=（2+22+23+…+2n）﹣（1+2+3+…+n）=﹣=2n+1﹣﹣2．
故数列{cn}的前n项和Sn=2n+1﹣﹣2．
必刷题：
一．选择题（共9小题）
1．（2018•保定二模）已知正项等比数列{an}满足a3=1，a5=，则a1的值为（　　）
A．4 B．2 C． D．
【答案】：B
【解析】∵正项等比数列{an}满足a3=1，a5=，
∴，
解得，
∴a1的值为2．
故选：B．
2．（2018•信阳二模）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1+a3=，且a2+a4=，则等于（　　）
A．4n﹣1 B．4n﹣1 C．2n﹣1 D．2n﹣1
【答案】：D

3．（2018•玉溪模拟）已知等比数列{an}公比为q，其前n项和为Sn，若S3、S9、S6成等差数列，则q3等于（　　）
A．﹣ B．1 C．﹣或1 D．﹣1或
【答案】A
【解析】：若S3、S9、S6成等差数列，
则S3+S6=2S9，
若公比q=1，
则S3=3a1，S9=9a1，S6=6a1，
即3a1+6a1=18a1，则方程不成立，
即q≠1，
则=，
即1﹣q3+1﹣q6=2﹣2q9，
即q3+q6=2q9，
即1+q3=2q6，
即2（q3）2﹣q3﹣1=0，
解得q3=，
故选：A．　
4．（2018•长春二模）已知等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a2=2，a5+a6=6a4，则a5=（　　）
A．4 B．10 C．16 D．32
【答案】：C

5．（2018•大连模拟）已知等比数列{an}的前n项的和为Sn（n∈N），且S1，S2，S3，成等差数列，则数列{an}的公比q为（　　）
A．1 B．﹣1 C．1 或﹣1 D．2
【答案】：C
【解析】等比数列{an}的公比为q，
S1，S2，S3成等差数列，
可得2S2=S1+S3，
即有2（a1q+a1）=a1+a1+a1q+a1q2，
化为q2=q，解得q=1，
故选：A．
6．（2018•永州三模）已知数列{an}满足an+1=2an，a1+a4=2，则a5+a8=（　　）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】：C
　
7．（2018•马鞍山二模）已知等比数列{an}满足a1=1，a3•a5=4（a4﹣1），则a7的值为（　　）
A．2 B．4 C． D．6
【答案】：B
【解析】∵等比数列{an}满足a1=1，a3•a5=4（a4﹣1），
∴q2•q4=4（q3﹣1），
∴q6﹣4q3+4=0，
解得q3=2，
∴a7==1×22=4．
故选：B．
8．（2018•资阳模拟）等比数列{an}的公比不为1，若a4，a3，a5成等差数列，则=（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．﹣ D．﹣
【答案】：B
【解析】设等比数列{an}的公比为q，且q≠1，
∵a4，a3，a5成等差数列，
∴2a3=a4+a5，
∴2a3=a3•q+a3•q2，
即q2+q﹣2=0，
解得q=﹣2，
∴==q=﹣2，
故选：B．
9．（2018•钦州三模）已知数列{an}是等比数列，若a2=1，a5=，则a1a2+a2a3+…+anan+1（n∈N ）的最小值为（　　）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】：C


二．填空题（共21小题）
10．（2018春•浦东新区期末）等差数列{an}中，a1=﹣1，a3=3，an=9，则n=　6　．
【答案】：6
【解析】等差数列{an}中，a1=﹣1，a3=3，
∴a3=﹣1+2d=3，
∴d=2，
∵an=9=﹣1+（n﹣1）×2，
解得n=6，
故答案为6．
　
11．（2018春•常州期中）等差数列{an}满足2a2+a5=3，a8+a9+a10=21，则S11=　44　（Sn为数列{an}前n项和）
【答案】：44
【解析】在等差数列{an}中，由2a2+a5=3，a8+a9+a10=21，
得，解得．
∴S11=11×（﹣1）+=44．
故答案为：44．
12．（2018春•南通期中）已知等差数列{an}中，a1=﹣2，公差d=3，则a10的值为　25　．
【答案】：25

13．（2018•渝水区校级模拟）设等差数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，bn=a3n﹣2+a3n﹣1+a3n，且b1=6，b2=9，则的最小值为　8　．
【答案】：8
【解析】设等差数列{an}的公差为d，
∵bn=a3n﹣2+a3n﹣1+a3n，
∴b1=a1+a2+a3=6，b2=a4+a5+a6=9，
∴b2﹣b1=3d+3d+3d=9﹣6，
解得d=，
∴a1+a1++a1+=6，
解得a1=，
∴Sn=na1+d=n+n（n﹣1）=，
∴bn=a3n﹣2+a3n﹣1+a3n=+（3n﹣2﹣1）×++（3n﹣1﹣1）×++（3n﹣1）×=3n+3=3（n+1），
∴====（n++10）
≥（10+2）=8，当且仅当n=3时取等号，
故答案为：8
14．（2018•新疆一模）等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列的{bn}的前n项和为Tn，且a1=b1=1，a4=b4=﹣8，则=　﹣　．
【答案】-

三．解答题
15．（2018•黑龙江模拟）数列{an}满足an=6﹣（n∈N ，n≥2）．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若a1=6，求数列{lgan}的前999项的和．
【分析】（1）数列{an}满足，an=6﹣（n∈N ，n≥2）．作差﹣，代入化简即可证明．
（2）a1=6，可得=．由（1）利用等差数列的通项公式即可得出an=，取对数可得lgan=lg3+lg（n+1）﹣lgn．利用累加求和即可得出．
【解析】（1）证明：数列{an}满足，an=6﹣（n∈N ，n≥2）．
∴﹣=﹣==，
∴数列是等差数列，
（2）解：∵a1=6，∴=．
由（1）知：=+=，
∴an=，
∴lgan=lg3+lg（n+1）﹣lgn．
∴数列{lgan}的前999项和S=999lg3+（lg2﹣lg1+lg3﹣lg2+…+lg1000﹣lg999）=999lg3+lg1000﹣3=999lg3．
16．（2018•烟台模拟）已知{an}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若等比数列{bn}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求{bn}的前n项和公式．
【分析】（1）由已知利用等差数列的通项公式求得公差，进一步求得{an}的通项公式；
（2）由（1）求得b2，进一步求得公比，代入等比数列的前n项和公式得答案．

17．（2018•房山区二模）已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7．问：b5与数列{an}的第几项相等？
【分析】（Ⅰ）设公差为d的等差数列{an}，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求；
（Ⅱ）设公比为q的等比数列{bn}，运用等比数列的通项公式可得公比和首项，即可得到所求b5，结合等差数列的通项公式，解方程即可得到所求值．
【解析】：（Ⅰ）设公差为d的等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2，
可得2a1+d=10，d=2，
解得a1=4，
则an=4+2（n﹣1）=2n+2；
（Ⅱ）设公比为q的等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，
可得b2=8，b3=16，
则公比q==2，b1=4，
则bn=4•2n﹣1=2n+1，
由2n+2=b5=26，
解得n=31，
则b5与数列{an}的第31项相等．
18．（2018•蚌埠二模）已知等差数列{an}满足a2=2，a1+a4=5．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）若数列{bn}满足：b1=3，b2=6，{bn﹣an}为等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（Ⅰ）由题意可得，解得a1=d=1，即可求出通项公式，
（Ⅱ）b1=3，b2=6，{bn﹣an}为等比数列，求出bn=n+2n，再分组求和即可．

∴bn﹣an=2×2n﹣1=2n，
∴bn=n+2n，
∴数列{bn}的前n项和Tn=（1+2+3+…+n）+（2+22+… 2n）
=+=+2n+1﹣2．
19．（2018•凌源市模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn满足Sn=，且a1﹣1，2a2，a3+7成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=2log9an（n∈N ），求数列的前n项和Tn．
【分析】（1）根据an=Sn﹣Sn﹣1可得出{an}的递推公式，于是{an}为等比数列，根据a1﹣1，2a2，a3+7成等差数列解方程计算a1即可得出an；
（2）计算bn=，使用裂项法求和．
（2）bn=2log93n=n，∴，
∴．
20．（2018•潍坊二模）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，an＞0（n∈N ），S6+a6是S4+a4，S5+a5的等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为Tn，求Tn．
【分析】（1）根据S6+a6是S4+a4，S5+a5的等差中项建立关系，a1=2，即可求解数列{an}的通项公式
（2）设，将{an}的通项公式带入化简可得{bn}的通项公式，利用裂项相消法前n项和为Tn，
【解析】：（1）∵S6+a6是S4+a4，S5+a5的等差中项．
∴2（S4+a4）=S4+a4+S5+a5
化简得4a6=a4
∵a1=2，{an}是等比数列，设公比为q，
则．
∵an＞0（n∈N ），∴q＞0
∴q=
∴数列{an}的通项公式an==；
　
21．（2018•四平模拟）已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=anlogan，Sn=b1+b2+b3+…+bn，对任意正整数n，Sn+（n+m）an+1＜0恒成立，试求m的取值范围．
【分析】（1）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，根据2（a3+2）=a2+a4，可求得a3．进而求得a2+a4=20．两式联立方程即可求得a1和q的值，最后根据等比数列的通项公式求得an．
（2）把（1）中的an代入bn，再利用错位相减法求得Sn，再由Sn+（n+m）an+1＜0恒成立进而求得m的范围．
【解析】：（1）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q．
依题意，
有2（a3+2）=a2+a4，
代入a2+a3+a4=28，
得a3=8．
∴a2+a4=20．
∴
解之得，或
又{an}单调递增，
∴q=2，a1=2，∴an=2n，

由Sn+（n+m）an+1＜0，
即2n+1﹣2﹣n•2n+1+n•2n+1+m•2n+1＜0对任意正整数n恒成立，
∴m•2n+1＜2﹣2n+1．
对任意正整数n，
m＜﹣1恒成立．
∵﹣1＞﹣1，∴m≤﹣1．
即m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．
22（2018•东莞市二模）已知等比数列{an}与等差数列{bn}，a1=b1=1，a1≠a2，a1，a2，b3成等差数列，b1，a2，b4成等比数列．
（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设Sn，Tn分别是数列{an}，{bn}，的前n项和，若Sn+Tn＞100，求n的最小值．
【分析】（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，d≠0，运用等比数列和等差数列中项的性质，可得d，q的方程组，解方程即可得到所求通项；
（Ⅱ）运用等比数列和等差数列的求和公式，结合数列的单调性，即可得到所求n的最小值．
【解析】：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，d≠0，
a1，a2，b3成等差数列，b1，a2，b4成等比数列，
可得a1+b3=2a2，a22=b1b4，
则解得（舍）或，
∴．