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2019届二轮复习第1讲 坐标系与参数方程学案（全国通用）
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第1讲 坐标系与参数方程
高考定位 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.
真 题 感 悟
1.(2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率.
解 (1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.
当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，
当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，
整理得关于t的方程
(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，
所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－，
故2cos α＋sin α＝0，于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.
2.(2018·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.
解 (1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
得C2的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－3＝0，
即(x＋1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆.
由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.
由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.
当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，
所以＝2，故k＝－或k＝0.
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；
当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点.
当l2与C2只有一个公共点时，
A到l2所在直线的距离为2，
所以＝2，故k＝0或k＝.
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；
当k＝时，l2与C2没有公共点.
综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.
考 点 整 合
1.直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则
2.直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α).
几个特殊位置的直线的极坐标方程：
(1)直线过极点：θ＝α；
(2)直线过点M(a，0)(a>0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；
(3)直线过M且平行于极轴：ρsin θ＝b.
3.圆的极坐标方程
几个特殊位置的圆的极坐标方程：
(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；
(2)当圆心位于M(r，0)，半径为r：ρ＝2rcos θ；
(3)当圆心位于M，半径为r：ρ＝2rsin θ.
4.直线的参数方程
经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数).
设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量.
5.圆、椭圆的参数方程
(1)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π).
(2)椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数).
热点一 曲线的极坐标方程
【例1】 (2017·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)设点M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值.
解 (1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0).
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.
由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0).
因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0).
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积
S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·
＝2≤2＋.
当α＝－时，S取得最大值2＋.
所以△OAB面积的最大值为2＋.
探究提高 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧.
2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.
【训练1】 (2018·江苏卷)在极坐标系中，直线l的方程为ρsin＝2，曲线C的方程为ρ＝4cos θ，求直线l被曲线C截得的弦长.
解 因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，
所以曲线C是圆心为(2，0)，直径为4的圆.
因为直线l的极坐标方程为ρsin＝2，
则直线l过A(4，0)，倾斜角为，
所以A为直线l与圆C的一个交点.
设另一个交点为B，则∠OAB＝.
连接OB.因为OA为直径，从而∠OBA＝，
所以AB＝OA·cos∠OAB＝4cos ＝2.
因此，直线l被曲线C截得的弦长为2.
热点二 参数方程及其应用
【例2】 (2017·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).
(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；
(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.
解 (1)a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.
曲线C的标准方程是＋y2＝1，
联立方程解得或
则C与l交点坐标是(3，0)和.
(2)直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0.
设曲线C上点P(3cos θ，sin θ).
则P到l距离d＝＝，
其中tan φ＝.
又点C到直线l距离的最大值为.
∴|5sin(θ＋φ)－4－a|的最大值为17.
若a≥0，则－5－4－a＝－17，∴a＝8.
若a<0，则5－4－a＝17，∴a＝－16.
综上，实数a的值为a＝－16或a＝8.
探究提高 1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件.
2.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.
【训练2】 (2018·石家庄调研)已知在极坐标系中，点A，B，C是线段AB的中点.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线Ω的参数方程是(θ为参数).
(1)求点C的直角坐标，并求曲线Ω的普通方程；
(2)设直线l过点C交曲线Ω于P，Q两点，求·的值.
解 (1)将点A，B的极坐标化为直角坐标，得A(，1)和B(－，3).
所以点C的直角坐标为(0，2).
将消去参数θ，得x2＋(y＋2)2＝4，
∴曲线Ω的普通方程为x2＋(y＋2)2＝4.
(2)直线l的参数方程为(t为参数，α为直线l的倾斜角)，
代入x2＋(y＋2)2＝4，整理得：t2＋8tsin α＋12＝0.
设点P，Q对应的参数值分别为t1，t2，则t1t2＝12，
·＝||||＝|t1t2|＝12.
热点三 极坐标与参数方程的综合应用
【例3】 (2018·菏泽模拟)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知直线l的参数方程为(t为参数，0≤φ<π)，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝8sin θ.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，当φ变化时，求|AB|的最小值.
解 (1)由消去t得
xsin φ－ycos φ＋2cos φ＝0，
所以直线l的普通方程为xsin φ－ycos φ＋2cos φ＝0.
由ρcos2θ＝8sin θ，得(ρcos θ)2＝8ρsin θ，
把x＝ρcos φ，y＝ρsin φ代入上式，得x2＝8y，
所以曲线C的直角坐标方程为x2＝8y.
(2)将直线l的参数方程代入x2＝8y，
得t2cos2φ－8tsin φ－16＝0，
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝，t1t2＝－，
所以|AB|＝|t1－t2|＝
＝＝.
当φ＝0时，|AB|的最小值为8.
探究提高 1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.
2.数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.
【训练3】 已知曲线C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝4.
(1)写出曲线C的极坐标方程和直线l的普通方程；
(2)若射线θ＝与曲线C交于O，A两点，与直线l交于B点，射线θ＝与曲线C交于O，P两点，求△PAB的面积.
解 (1)由(θ为参数)，消去θ.
得普通方程为(x－2)2＋y2＝4.
从而曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ，
因为直线l的极坐标方程为ρsin＝4，
即ρsin θ＋ρcos θ＝4，
∴直线l的直角坐标方程为x＋y－8＝0.
(2)依题意，联立射线θ＝与曲线C的极坐标方程，
得A，B两点的极坐标分别为，，
联立射线θ＝与曲线C的极坐标方程，
得P点极坐标为，∴|AB|＝2，
∴S△PAB＝×2×2sin＝2.
1.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.
2.要熟悉常见曲线的参数方程、极坐标方程，如：圆、椭圆、及过一点的直线，在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答.
3.过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是的数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分.使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1＋t2).
1.(2017·江苏卷)在平面坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.
解 由消去t.
得l的普通方程为x－2y＋8＝0，
因为点P在曲线C上，设点P(2s2，2s).
则点P到直线l的距离d＝＝，
所以当s＝时，d有最小值＝.
因此当P的坐标为(4，4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取最小值.
2.(2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径.
解 (1)由l1：(t为参数)消去t，
得l1的普通方程y＝k(x－2)，①
同理得直线l2的普通方程为x＋2＝ky，②
联立①，②消去k，得x2－y2＝4(y≠0).
所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0).
(2)将直线l3化为普通方程为x＋y＝，
联立得
∴ρ2＝x2＋y2＝＋＝5，
∴l3与C的交点M的极径为.
3.(2018·安徽联合质检)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin－2＝0，曲线C2的极坐标方程为θ＝，C1与C2相交于A，B两点.
(1)把C1和C2的极坐标方程化为直角坐标方程，并求点A，B的直角坐标；
(2)若P为C1上的动点，求|PA|2＋|PB|2的取值范围.
解 (1)由题意知，曲线C1与曲线C2的直角坐标方程分别为C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：x－y＝0.
联立得或
即A(－1，－1)，B(1，1)或A(1，1)，B(－1，－1).
(2)设P(－1＋2cos α，1＋2sin α)，不妨设A(－1，－1)，B(1，1)，则|PA|2＋|PB|2
＝(2cos α)2＋(2sin α＋2)2＋(2cos α－2)2＋(2sin α)2
＝16＋8sin α－8cos α＝16＋8sin，
所以|PA|2＋|PB|2的取值范围为[16－8，16＋8].
4.(2018·湖南六校联考)已知直线l的参数方程为(t为参数).在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2＝4ρcos θ＋2ρsin θ－4.
(1)求直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求|OA|·|OB|.
解 (1)由消去t，
得y－＝(x－1)，即y＝x.
∴直线l的普通方程为y＝x.
曲线C：ρ2＝4ρcos θ＋2ρsin θ－4.
∴其直角坐标方程x2＋y2＝4x＋2y－4，
即(x－2)2＋(y－)2＝3.
(2)易由y＝x，得直线l的极坐标方程为θ＝.
代入曲线C的极坐标方程为ρ2－5ρ＋4＝0，
所以|OA|·|OB|＝|ρA·ρB|＝4.
5.(2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
解 (1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2，C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆.
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，
得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，
从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，a＝1.
a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上.
所以a＝1.
6.(2018·全国Ⅲ卷)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点.
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
解 (1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝时，l与⊙O交于两点.
当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.
l与⊙O交于两点当且仅当<1，
解得k<－1或k>1，即α∈或α∈.
综上，α的取值范围是.
(2)l的参数方程为(t为参数，<α<).
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，
则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0.
于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.
又点P的坐标(x，y)满足
所以点P的轨迹的参数方程是 (α为参数，<α<).
7.(2018·武汉调研)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝，直线l与曲线C交于A，B两点.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)已知点P的极坐标为，求|PA|·|PB|的值.
解 (1)l的普通方程为x＋y－1＝0；
又∵ρ2＋ρ2sin2θ＝2，∴x2＋y2＋y2＝2，
即曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1.
(2)点P的直角坐标为.
法一 P在直线l上，直线l的参数方程为
(t′为参数)，
代入曲线C的直角坐标方程得
＋2－2＝0，
即t′2＋t′－＝0，
|PA|·|PB|＝|t1′|·|t2′|＝|t1′t2′|＝.
法二 3x2－4x＝0x1＝0，x2＝，
∴A(0，1)，B，
∴|PA|＝＝，
|PB|＝＝，
|PA|·|PB|＝·＝.
8.(2018·郑州质检)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)求直线l和圆C的普通方程；
(2)已知直线l上一点M(3，2)，若直线l与圆C交于不同两点A，B，求＋的取值范围.
解 (1)直线l的参数方程为
得普通方程为xsin α－ycos α＋2cos α－3sin α＝0，
将ρ＝，cos θ＝代入圆C的极坐标方程ρ＝2cos θ中，
得圆的普通方程为x2＋y2－2x＝0.
(2)直线l的参数方程为代入圆的方程为x2＋y2－2x＝0，得t2＋(4cos α＋4sin α)t＋7＝0(*)，
设点A，B对应的参数值分别为t1，t2，
由题意t1＋t2＝－4(cos α＋sin α)，t1·t2＝7.
＋＝＝
＝|sin α＋cos α|.
因为方程(*)有两个不同的实根，
所以Δ＝16(cos α＋sin α)2－28>0，
则|sin α＋cos α|>.
又sin α＋cos α＝sin∈[－，]，
所以|sin α＋cos α|∈.
所以|sin α＋cos α|∈.
所以<＋≤.
高考定位 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.
真 题 感 悟
1.(2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率.
解 (1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.
当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，
当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，
整理得关于t的方程
(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，
所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－，
故2cos α＋sin α＝0，于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.
2.(2018·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.
解 (1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
得C2的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－3＝0，
即(x＋1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆.
由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.
由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.
当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，
所以＝2，故k＝－或k＝0.
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；
当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点.
当l2与C2只有一个公共点时，
A到l2所在直线的距离为2，
所以＝2，故k＝0或k＝.
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；
当k＝时，l2与C2没有公共点.
综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.
考 点 整 合
1.直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则
2.直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α).
几个特殊位置的直线的极坐标方程：
(1)直线过极点：θ＝α；
(2)直线过点M(a，0)(a>0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；
(3)直线过M且平行于极轴：ρsin θ＝b.
3.圆的极坐标方程
几个特殊位置的圆的极坐标方程：
(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；
(2)当圆心位于M(r，0)，半径为r：ρ＝2rcos θ；
(3)当圆心位于M，半径为r：ρ＝2rsin θ.
4.直线的参数方程
经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数).
设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量.
5.圆、椭圆的参数方程
(1)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π).
(2)椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数).
热点一 曲线的极坐标方程
【例1】 (2017·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)设点M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值.
解 (1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0).
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.
由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0).
因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0).
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积
S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·
＝2≤2＋.
当α＝－时，S取得最大值2＋.
所以△OAB面积的最大值为2＋.
探究提高 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧.
2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.
【训练1】 (2018·江苏卷)在极坐标系中，直线l的方程为ρsin＝2，曲线C的方程为ρ＝4cos θ，求直线l被曲线C截得的弦长.
解 因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，
所以曲线C是圆心为(2，0)，直径为4的圆.
因为直线l的极坐标方程为ρsin＝2，
则直线l过A(4，0)，倾斜角为，
所以A为直线l与圆C的一个交点.
设另一个交点为B，则∠OAB＝.
连接OB.因为OA为直径，从而∠OBA＝，
所以AB＝OA·cos∠OAB＝4cos ＝2.
因此，直线l被曲线C截得的弦长为2.
热点二 参数方程及其应用
【例2】 (2017·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).
(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；
(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.
解 (1)a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.
曲线C的标准方程是＋y2＝1，
联立方程解得或
则C与l交点坐标是(3，0)和.
(2)直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0.
设曲线C上点P(3cos θ，sin θ).
则P到l距离d＝＝，
其中tan φ＝.
又点C到直线l距离的最大值为.
∴|5sin(θ＋φ)－4－a|的最大值为17.
若a≥0，则－5－4－a＝－17，∴a＝8.
若a<0，则5－4－a＝17，∴a＝－16.
综上，实数a的值为a＝－16或a＝8.
探究提高 1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件.
2.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.
【训练2】 (2018·石家庄调研)已知在极坐标系中，点A，B，C是线段AB的中点.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线Ω的参数方程是(θ为参数).
(1)求点C的直角坐标，并求曲线Ω的普通方程；
(2)设直线l过点C交曲线Ω于P，Q两点，求·的值.
解 (1)将点A，B的极坐标化为直角坐标，得A(，1)和B(－，3).
所以点C的直角坐标为(0，2).
将消去参数θ，得x2＋(y＋2)2＝4，
∴曲线Ω的普通方程为x2＋(y＋2)2＝4.
(2)直线l的参数方程为(t为参数，α为直线l的倾斜角)，
代入x2＋(y＋2)2＝4，整理得：t2＋8tsin α＋12＝0.
设点P，Q对应的参数值分别为t1，t2，则t1t2＝12，
·＝||||＝|t1t2|＝12.
热点三 极坐标与参数方程的综合应用
【例3】 (2018·菏泽模拟)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知直线l的参数方程为(t为参数，0≤φ<π)，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝8sin θ.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，当φ变化时，求|AB|的最小值.
解 (1)由消去t得
xsin φ－ycos φ＋2cos φ＝0，
所以直线l的普通方程为xsin φ－ycos φ＋2cos φ＝0.
由ρcos2θ＝8sin θ，得(ρcos θ)2＝8ρsin θ，
把x＝ρcos φ，y＝ρsin φ代入上式，得x2＝8y，
所以曲线C的直角坐标方程为x2＝8y.
(2)将直线l的参数方程代入x2＝8y，
得t2cos2φ－8tsin φ－16＝0，
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝，t1t2＝－，
所以|AB|＝|t1－t2|＝
＝＝.
当φ＝0时，|AB|的最小值为8.
探究提高 1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.
2.数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.
【训练3】 已知曲线C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝4.
(1)写出曲线C的极坐标方程和直线l的普通方程；
(2)若射线θ＝与曲线C交于O，A两点，与直线l交于B点，射线θ＝与曲线C交于O，P两点，求△PAB的面积.
解 (1)由(θ为参数)，消去θ.
得普通方程为(x－2)2＋y2＝4.
从而曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ，
因为直线l的极坐标方程为ρsin＝4，
即ρsin θ＋ρcos θ＝4，
∴直线l的直角坐标方程为x＋y－8＝0.
(2)依题意，联立射线θ＝与曲线C的极坐标方程，
得A，B两点的极坐标分别为，，
联立射线θ＝与曲线C的极坐标方程，
得P点极坐标为，∴|AB|＝2，
∴S△PAB＝×2×2sin＝2.
1.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.
2.要熟悉常见曲线的参数方程、极坐标方程，如：圆、椭圆、及过一点的直线，在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答.
3.过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是的数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分.使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1＋t2).
1.(2017·江苏卷)在平面坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.
解 由消去t.
得l的普通方程为x－2y＋8＝0，
因为点P在曲线C上，设点P(2s2，2s).
则点P到直线l的距离d＝＝，
所以当s＝时，d有最小值＝.
因此当P的坐标为(4，4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取最小值.
2.(2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径.
解 (1)由l1：(t为参数)消去t，
得l1的普通方程y＝k(x－2)，①
同理得直线l2的普通方程为x＋2＝ky，②
联立①，②消去k，得x2－y2＝4(y≠0).
所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0).
(2)将直线l3化为普通方程为x＋y＝，
联立得
∴ρ2＝x2＋y2＝＋＝5，
∴l3与C的交点M的极径为.
3.(2018·安徽联合质检)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin－2＝0，曲线C2的极坐标方程为θ＝，C1与C2相交于A，B两点.
(1)把C1和C2的极坐标方程化为直角坐标方程，并求点A，B的直角坐标；
(2)若P为C1上的动点，求|PA|2＋|PB|2的取值范围.
解 (1)由题意知，曲线C1与曲线C2的直角坐标方程分别为C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：x－y＝0.
联立得或
即A(－1，－1)，B(1，1)或A(1，1)，B(－1，－1).
(2)设P(－1＋2cos α，1＋2sin α)，不妨设A(－1，－1)，B(1，1)，则|PA|2＋|PB|2
＝(2cos α)2＋(2sin α＋2)2＋(2cos α－2)2＋(2sin α)2
＝16＋8sin α－8cos α＝16＋8sin，
所以|PA|2＋|PB|2的取值范围为[16－8，16＋8].
4.(2018·湖南六校联考)已知直线l的参数方程为(t为参数).在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2＝4ρcos θ＋2ρsin θ－4.
(1)求直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求|OA|·|OB|.
解 (1)由消去t，
得y－＝(x－1)，即y＝x.
∴直线l的普通方程为y＝x.
曲线C：ρ2＝4ρcos θ＋2ρsin θ－4.
∴其直角坐标方程x2＋y2＝4x＋2y－4，
即(x－2)2＋(y－)2＝3.
(2)易由y＝x，得直线l的极坐标方程为θ＝.
代入曲线C的极坐标方程为ρ2－5ρ＋4＝0，
所以|OA|·|OB|＝|ρA·ρB|＝4.
5.(2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
解 (1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2，C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆.
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，
得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，
从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，a＝1.
a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上.
所以a＝1.
6.(2018·全国Ⅲ卷)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点.
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
解 (1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝时，l与⊙O交于两点.
当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.
l与⊙O交于两点当且仅当<1，
解得k<－1或k>1，即α∈或α∈.
综上，α的取值范围是.
(2)l的参数方程为(t为参数，<α<).
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，
则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0.
于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.
又点P的坐标(x，y)满足
所以点P的轨迹的参数方程是 (α为参数，<α<).
7.(2018·武汉调研)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝，直线l与曲线C交于A，B两点.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)已知点P的极坐标为，求|PA|·|PB|的值.
解 (1)l的普通方程为x＋y－1＝0；
又∵ρ2＋ρ2sin2θ＝2，∴x2＋y2＋y2＝2，
即曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1.
(2)点P的直角坐标为.
法一 P在直线l上，直线l的参数方程为
(t′为参数)，
代入曲线C的直角坐标方程得
＋2－2＝0，
即t′2＋t′－＝0，
|PA|·|PB|＝|t1′|·|t2′|＝|t1′t2′|＝.
法二 3x2－4x＝0x1＝0，x2＝，
∴A(0，1)，B，
∴|PA|＝＝，
|PB|＝＝，
|PA|·|PB|＝·＝.
8.(2018·郑州质检)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)求直线l和圆C的普通方程；
(2)已知直线l上一点M(3，2)，若直线l与圆C交于不同两点A，B，求＋的取值范围.
解 (1)直线l的参数方程为
得普通方程为xsin α－ycos α＋2cos α－3sin α＝0，
将ρ＝，cos θ＝代入圆C的极坐标方程ρ＝2cos θ中，
得圆的普通方程为x2＋y2－2x＝0.
(2)直线l的参数方程为代入圆的方程为x2＋y2－2x＝0，得t2＋(4cos α＋4sin α)t＋7＝0(*)，
设点A，B对应的参数值分别为t1，t2，
由题意t1＋t2＝－4(cos α＋sin α)，t1·t2＝7.
＋＝＝
＝|sin α＋cos α|.
因为方程(*)有两个不同的实根，
所以Δ＝16(cos α＋sin α)2－28>0，
则|sin α＋cos α|>.
又sin α＋cos α＝sin∈[－，]，
所以|sin α＋cos α|∈.
所以|sin α＋cos α|∈.
所以<＋≤.
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