2019届二轮复习（理）立体几何问题学案（全国通用）

【母题 一】【2018高考新课标1理数12】

【母题原题】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为

A.     B.     C.     D.

【答案】A

且过棱的中点的正六边形，且边长为，

所以其面积为，故选A.

点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.

【母题 二】【2017高考新课标1理数16】

【母题原题】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为      ．

【答案】 

点睛:对于三棱锥最值问题，需要用到函数思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导的方式进行解决.

【母题 三】【2016高考新课标1理数11】

【母题原题】平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，//平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1 A1=n，则m，n所成角的正弦值为

（A）           （B）          （C）          （D）

【答案】A

【解析】    

【考点】平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角

【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补.

【命题意图】

1．空间几何体

(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图.

(3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.    

(4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求).

(5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.

2．点、直线、平面之间的位置关系

(1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内.

公理2：过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.

(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.

理解以下判定定理.

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.

如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行.

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.

如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直.

理解以下性质定理,并能够证明.

如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.

如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行.

垂直于同一个平面的两条直线平行.

如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.

3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.

4．空间直角坐标系

(1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置.

(2)会推导空间两点间的距离公式.

【命题规律】

立体几何小题常考的题型包括：（1）球体；（2）多面体的三视图、体积、表面积或角度，包括线线角、线面角以及面面角，要重视常见几何体的三视图、三视图还原几何体的常用方法、面积和体积的计算式以及点线面的位置关系等，也要注意提高空间想象能力与数学计算能力．

立体几何解答题第1问主要集中考查空间中直线、平面的位置关系的判断，注重对公理、定理的考查，而第2问多考查空间向量在空间立体几何中的应用，在证明与计算中一般要用到初中平面几何的重要定理，空间思维要求较高，运算量较大，对学生的空间想象能力、转化能力、计算能力要求较高．在考查考生运算求解能力的同时侧重考查考生的空间想象能力和推理论证能力，给考生提供了从不同角度去分析问题和解决问题的可能，体现了立体几何教学中课程标准对考生的知识要求和能力要求，提升了对考生的数学能力和数学素养的考查.本试题能准确把握相关几何元素之间的关系，把推理论证能力、空间想象能力等能力和向量运算、二面角作图、建立空间直角坐标系等知识较好地融入试题中，使考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力得到了有效考查.

1．【河北省唐山市迁安市第三中学2018届高三上学期期中】在三棱锥A-BCD中，AC＝BD＝3，AD＝BC＝4，AB＝CD＝m，则m的取值范围是（     ）

A． (1，5)    B． (1，7)    C． (，7)    D． (，5)

【答案】D

【解析】

【分析】

由为锐角可知：，解得：，

所以：.

故选D.

【点睛】   |  |X|X|K]

本题考查棱锥的结构特证，需要根据棱锥的棱长性质及角度限制m的范围，考察了空间想象能力，运用了数学中的转化思想.     

2．【浙江省余姚中学2018届高三选考 目模拟卷（二）】点是棱长为的正方体的棱切球上的一点，点是的外接圆上的一点，则线段的取值范围是（     ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】

【分析】

【点睛】

本题考查空间距离计算，考查学生分析解决问题的能力，转化为M点要棱切球上动，点N在外接球上某个小圆上动是本题的关键。

3．【浙江省余姚中学2018届高三选考 目模拟卷（二）】如图，已知平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，．是平面上的一动点，且直线，与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是（  ）

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】

【分析】

为所求的二面角的平面角，由得出，求出在内的轨迹，根据轨迹的特点求出的最大值对应的余弦值

【详解】

在内的轨迹为为圆心，以为半径的上半圆

平面平面，，

为二面角的平面角，

当与圆相切时，最大，取得最小值

此时

故选

【点睛】

本题主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果。   

4．【浙江省诸暨市2018届高三5月适应性考试】如图，矩形中，，是线段（不含点）上一动点，把沿折起得到，使得平面平面，分别记，与平面所成角为，平面与平面所成锐角为，则（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】   | ]

【分析】

∵到的距离

即 ．
故选：A．

【点睛】

本题考查空间中直线与平面、平面与平面所成角的求法，考查空间想象能力与逻辑思维能力，是中档题．

5．【2018年高考第二次适应与模拟】在长方体中，,分别在线段和上，，则三棱锥的体积最小值为

A． 4    B．     C．     D．

【答案】A

【解析】

【分析】

【点睛】最值问题求法很多，如用代数知识建立函数，用基本不等式，解不等式等是常用方法，有时也可利用共线求距离最短，通过运动轨迹求最值等．   

6．【辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试】在长方体中，底面是边长为的正方形，侧棱为矩形内部（含边界）一点，为中点，为空间任一点且，三棱锥的体积的最大值记为，则关于函数，下列结论确的是（   ）

A． 为奇函数    B． 在上不单调；

C．     D．

【答案】D

点睛：本题考查了空间几何体中的最值问题，关键是列出式子，转化为距离问题，借助函数求解即可，属于难题．

7．【浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真考】等腰直角三角形的斜边AB为正四面体侧棱，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：

（1）四面体EBCD的体积有最大值和最小值；

（2）存在某个位置，使得；

（3）设二面角的平面角为，则；

（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆.

其中，正确说法的个数是（    ）

A． 1    B． 2    C． 3    D． 4

【答案】C

【解析】分析：首先结合正四面体的特征以及等腰直角三角形在旋转的过程中对应的特点，得到相关的信息，结合题中所给的条件，以及相关的结论，认真分析，逐一对比，得到结果.

点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用.   

8．【湖南省长沙市长郡中学2018届高考模拟卷（二）】已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】分析：过作球的截面中，面积最大的是过球心的截面，最小的是垂直于的截面，求出球的半径，以及垂直于的截面半径，从而可得结果.

详解：

显然过作球的截面中，面积最大的是过球心的截面，最小的是垂直于的截面，

设三棱锥的外接球半径为，

点睛：本题主要考球的性质及圆内接三角形的性质、棱锥的体积公式及球的体积公式，属于难题.球内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用性质.

9．【腾远2018年普通高等学校招生全国统一考试红卷】已知是由具有公共直角边的两块直角三角板（与）组成的三角形，如左下图所示.其中，.现将沿斜边进行翻折成（不在平面上）.若分别为和的中点，则在翻折过程中，下列命题不正确的是（ ）

A． 在线段上存在一定点，使得的长度是定值

B． 点在某个球面上运动

C． 存在某个位置，使得直线与所成角为

D． 对于任意位置，二面角始终大于二面角

【答案】C   ]

【解析】分析：由题意，可的二面角和二面角由共同的平面角,  ]

且另一个面都过点，过点作平面的垂线，即可得到二面角和二面角的平面

点睛：本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及空间角的求解，其中解答中正确确定二面角的的平面角和异面直线所成的角是解答的关键，试题综合性强，难度大，属于难题，着重考查了空间想象能力，以及分析问题和解答问题的能力.   

10．【安徽省宿州市2018届高三第三次教学质量检测】如图所示，垂直于所在的平面，是的直径，，是上的一点，，分别是点在，上的投影，当三棱锥的体积最大时，与底面所成角的余弦值是（  ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

在中，，

利用面积相等可得：，

在中，，则，

，

结合均值不等式的结论可知，当，即时三棱锥的体积最大，

此时.

本题选择D选项.

点睛：本题主要考查线面垂直的定义与判断定理，均值不等式的应用，立体几何中的最值问题，三棱锥的体积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

11．【河南省洛阳市2018届高三第三次统一考试】在三棱锥中，平面，，，，是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（  ）

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】分析：根据题意画出图形，结合图形找出的外接圆圆心与三棱锥 外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积．   

详解：三棱锥 设直线 与平面

故选B.

点睛：本题考查了几何体外接球的应用问题，解题的关键求外接球的半径，是中档题．

12．【浙江省教育绿色评价联盟2018届高三5月适应性考试】四个同样大小的球两两相切，点是球上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的取值范围为

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】分析：是正四面体，设边长为，过作底面，运用线面垂直的性质，即可得到所成角的最大值，再由大圆的切线计算可得所成角的最小值.

详解：

则直线与直线所成角的正弦值的取值范围为.

点睛：解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，利用底面距离点线距离以及利用展开图转化为平面问题，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式法.

13．【重庆市巴蜀中学2018届高三适应性月考（九）】在直三棱柱中，，是直线上一动点，则的最小值是（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】分析：将二面角展成，则四点共面，最小值就是平面内的长，利用余弦定理即可的结果.

点睛：解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，利用点到线的距离、点到面的距离、多面体展开图中两点间的距离等等，非常巧妙；二是将最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.

14．【山东省烟台市2018届高三高考适应性练习（一）】在三棱锥中，点在底面的正投影恰好落在等边的边上，点到底面的距离等于底面边长.设与底面所成的二面角的大小为，与底面所成的二面角的大小为，则的最小值为（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】C   

【解析】分析：作出两二面角的平面角，如图∠PDO和∠PEO，而在等边中，OD＋OE等于的高为定值，再把表示出来，求出，最后由OD＋OE为定值可求得最小值.

详解：如图，O是P在底面ABC上的正投影，OD⊥AC，OE⊥BC，垂足为D，E，则∠PDO＝α，∠PEO＝β，

设，，则，又，

点睛：过等边的边AB上任一点E作另两边的垂线，垂足分别为M，N，则为定值（等于三角形的高），这可由面积法得证.

15．【广东省湛江市2018届高三下学期第二次模拟考试】我国南北朝时间著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所载，若截得的两个截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等.为计算球的体积，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后再圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，运用祖暅原理可证明此几何体与半球体积相等（任何一个平面所载的两个截面面积都相等）.将椭圆 绕 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体，类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】分析：首先类比球的体积的求解方法构造出几何体，然后利用祖暅原理求解该几何体的体积即可.

详解：如图所示，椭圆的长半轴为4，短半轴为3.

现构造一个底面半径为3，高为4的圆柱，

点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.