2019届二轮复习（理）专题25平面向量的数量积及平面向量的应用学案（全国通用）


1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．　
2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．　
3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．　
4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．

1．平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a b|cos θ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
2．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.
3．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
4．向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．
(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0．
(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质
a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b均为非零向量)．
(3)求夹角问题，利用夹角公式
cos θ＝＝(θ为a与b的夹角)．
5．向量在三角函数中的应用
与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．
6．向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．
【必会结论】
1．设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a＝a·e＝|a|cosθ；
2．当a与b同向时，a·b＝|a b|；当a与b反向时，a·b＝－|a b|，特别地，a·a＝a2或|a|＝；
3．a·b≤|a b|.

高频考点一　平面向量数量积的运算
例1、[2017·北京高考]已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则·的最大值为 ．
答案　6
解析　解法一：根据题意作出图象，如图所示，A(－2,0)，P(x，y)．

由点P向x轴作垂线交x轴于点Q，则点Q的坐标为(x,0)．
·＝| |cosθ，
||＝2，||＝，
cosθ＝＝，
所以·＝2(x＋2)＝2x＋4.
点P在圆x2＋y2＝1上，所以x∈[－1,1]．
所以·的最大值为2＋4＝6.

【举一反三】(1)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于(　　)
A．20 B.15 C．9 D．6
(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为 ；·的最大值为 ．
答案　(1)C　(2)1　1
解析　(1)＝＋，
＝－＝－＋，
∴·＝(4＋3)·(4－3)
＝(162－92)＝(16×62－9×42)＝9，
故选C.
(2)方法一　以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)， D(0,1)，


方法二　由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，∴·＝||·1＝1，

当E运动到B点时，在方向上的投影最大即为DC＝1，
∴(·)max＝||·1＝1.
【感悟提升】(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．
【变式探究】(1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·＝ .

(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝ .
答案　(1)22　(2)2
解析　(1)由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以(＋)·(－)＝2，即2－·－2＝2.又因为2＝25，2＝64，所以·＝22.
(2)由题意知：·＝(＋)·(－)
＝(＋)·(－)
＝2－·－2＝4－0－2＝2.
高频考点二　用数量积求向量的模、夹角
例2、已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝，且|2a＋b|＝，则向量a与向量a＋b的夹角为(　　)
A. B. C. D．π
答案　B
解析　由题意，得|2a＋b|2＝4＋4a·b＋3＝7，所以a·b＝0，所以a·(a＋b)＝1，且|a＋b|＝＝2，故cos〈a，a＋b〉＝＝，所以〈a，a＋b〉＝.故选B.
【举一反三】(1)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(　　)
A.－8 B.－6
C.6 D.8
(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是 .

答案　(1)D　(2)∪
【方法规律】平面向量数量积求解问题的策略
(1)求两向量的夹角：cosθ＝，要注意θ∈[0，π]．
(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：
①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；
②|a±b|＝＝；
③若a＝(x，y)，则|a|＝.
【变式探究】 (1)已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.120°
(2)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝ .

答案　(1)A　(2)－2
【感悟提升】(1)根据平面向量数量积的定义，可以求向量的模、夹角，解决垂直、夹角问题；两向量夹角θ为锐角的充要条件是cos θ＞0且两向量不共线；
(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．
【举一反三】(1)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝ .
(2)在△ABC中，若A＝120°，·＝－1，则||的最小值是(　　)
A. B．2
C. D．6
答案　(1)　(2)C

(2)∵·＝－1，
∴||·||·cos120°＝－1，
即||·||＝2，
∴||2＝|－|2＝2－2·＋2
≥2||·||－2·＝6，
∴||min＝.
高频考点三　平面向量与三角函数
例3、在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sinx，cosx)，x∈.
(1)若m⊥n，求tanx的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值．
解　(1)因为m＝，n＝(sinx，cosx)，m⊥n.
所以m·n＝0，即sinx－cosx＝0，
所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.
(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，
即sinx－cosx＝，所以sin＝，
因为0