2019届二轮复习（理）专题30不等关系与不等式学案（全国通用）

1.了解现实世界和日常生活中的不等关系．　

2.了解不等式(组)的实际背景．　

3.掌握不等式的性质及应用．

1．不等式的基本性质

2.不等式的一些常用性质

(1)倒数的性质

①a>b，ab>0⇒<.

②a<0<b⇒<.

③a>b>0,0<c<d⇒>.

④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<.

(2)有关分数的性质

若a>b>0，m>0，则

①<；>(b－m>0)．

②>；<(b－m>0)．

高频考点一　比较不等式的大小

例1、(1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　)

A.c≥b>a     B.a>c≥b

C.c>b>a    D.a>c>b

(2)若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是(　　)

A.①④      B.②③   C.①③      D.②④

(2)法一　因为＜＜0，故可取a＝－1，b＝－2.

显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D.

法二　由＜＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0.故有＜，即①正确；

②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；

③中，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，

所以a－＞b－，故③正确；

④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误.由以上分析，知①③正确.

答案　(1)A　(2)C

【感悟提升】比较大小的常用方法

(1)作差法：

一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．

(2)作商法：

一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．

(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．

【变式探究】(1)已知p＝a＋，q＝，其中a>2，x∈R，则p，q的大小关系是(　　)

A.p≥q    B.p>q

C.p<q   D.p≤q

(2)设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：①＞；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c).其中所有的正确结论的序号是(　　)

A.①    B.①②

C.②③    D.①②③

答案　(1)A　(2)D

高频考点二　不等式的性质

例2、(1)若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　)

A.p<q  B．p≤q  C．p>q  D．p≥q

答案　B

解析　(作差法)p－q＝＋－a－b

＝＋＝(b2－a2)·

＝＝，

因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.

若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故p<q.

综上，p≤q.故选B.  

(2)已知a<0，－1<b<0，则a，ab，ab2的大小关系是        ．

答案　a<ab2<ab

【感悟提升】解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．

【变式探究】若a>0>b>－a，c<d<0，则下列结论：①ad>bc；②＋<0；③a－c>b－d；④a(d－c)>b(d－c)中成立的个数是(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

答案　C

解析　∵a>0>b，c<d<0，

∴ad<0，bc>0，

∴ad<bc，故①错误．

∵a>0>b>－a，∴a>－b>0，

∵c<d<0，∴－c>－d>0，

∴a(－c)>(－b)(－d)，

∴ac＋bd<0，∴＋＝<0，

故②正确．

∵c<d，∴－c>－d，

∵a>b，∴a＋(－c)>b＋(－d)，

a－c>b－d，故③正确．

∵a>b，d－c>0，∴a(d－c)>b(d－c)，

故④正确，故选C.

高频考点三　不等式性质的应用

例3、已知a>b>0，给出下列四个不等式：

①a2>b2；②2a>2b－1；③>－；④a3＋b3>2a2b.

其中一定成立的不等式为(　　)

A．①②③ B．①②④

C．①③④ D．②③④

答案　A

方法二　令a＝3，b＝2，

可以得到①a2>b2，②2a>2b－1，③>－均成立，而④a3＋b3>2a2b不成立，故选A.

【感悟提升】(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．

(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．

【变式探究】 (1)若a<b<0，则下列不等式一定成立的是(　　)

A.> B．a2<ab

C.< D．an>bn

(2)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：

①>；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．

其中所有的正确结论的序号是(　　)

A．① B．①②

C．②③ D．①②③

答案　(1)C　(2)D

(2)由不等式性质及a>b>1知<，

又c<0，所以>，①正确；

构造函数y＝xc，

∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是减函数，

又a>b>1，∴ac<bc，知②正确；

∵a>b>1，c<0，∴a－c>b－c>1，

∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，知③正确． 

高频考点四  用特殊值判断不等式

例4、已知实数x，y满足ax<ay(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是(　　)

A.ln (x2＋1)>ln (y2＋1)      B.sinx>siny

C.x3>y3                      D.>

解析　解法一：因为实数x，y满足ax<ay(0<a<1)，所以x>y.

对于A，取x＝1，y＝－3，不成立；

对于B，取x＝π，y＝－π，不成立；

对于C，由于f(x)＝x3在R上单调递增，故x3>y3成立；

对于D，取x＝2，y＝－1，不成立．故选C.

解法二：根据指数函数的性质得x>y，此时x2，y2的大小不确定，故选项A，D中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项B中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项C中的不等式成立．

答案　C

【方法技巧】1当选择题中包含不止一个结论时，宜采用边选边排除的方法.,2在判断多个不等式是否成立时，可采用特值法验证，若取值不能代表所有情况，可采用多次赋值法验证结论是否成立.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【变式探究】若<<0，则下列不等式：

①<；②|a|＋b>0；③a－>b－；④ln a2>ln b2中，正确的不等式是(　　)

A.①④  B．②③  C．①③  D．②④

答案　C

解法二：由<<0，可知b<a<0.

①中，a＋b<0，ab>0，所以<0，>0，

故有<，故①正确，排除B、D；

③中，因为b<a<0，又因为<<0，

所以a－>b－，故③正确，排除A.选C.

1. （2018年全国Ⅲ卷理数）设，，则

A.     B.

C.     D.

【答案】B

【解析】.

,即

又

即

故选B.

1. 【2016高考新课标1卷】若,则(    )

（A）   （B）  （C）   （D）

【答案】C

1．【2015高考湖北，理10】设，表示不超过的最大整数. 若存在实数，使得，，…， 同时成立，则正整数的最大值是（    ）

    A．3             B．4               C．5             D．6

【答案】B

【解析】因为表示不超过的最大整数.由得，由得，由得，所以，所以，由得，所以，由得，与矛盾，故正整数的最大值是4.

2.【2015高考上海，理17】记方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（   ）

A．方程①有实根，且②有实根                   B．方程①有实根，且②无实根

C．方程①无实根，且②有实根                   D．方程①无实根，且②无实根

【答案】B

【解析】当方程①有实根，且②无实根时，，从而即方程③：无实根，选B.而A,D由于不等式方向不一致，不可推；C推出③有实根。学 .

3．（2014·山东卷）已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是(　　)

A. ＞  B. ln(x2＋1)＞ln(y2＋1) 

C. sin x＞sin y  D. x3＞y3

【答案】D　

4．（2014·四川卷）若a>b>0，c<d<0，则一定有(　　)

A.>  B.< 

C.>  D.<

【答案】D　

【解析】因为c＜d＜0，所以<＜0，即－>－＞0，与a＞b＞0对应相乘得，－>－＞0，所以<.故选D.

5．（2014·安徽卷）若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为(　　)

A．5或8  B．－1或5

C．－1或－4  D．－4或8

【答案】D　

【解析】当a≥2时，

f(x)＝

由图可知，当x＝－时，fmin(x)＝f＝－＋1＝3，可得a＝－4.综上可知，a的值为－4或8.

6．（2013·新课标全国卷Ⅱ）已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是(　　)

A．(0，1)  B.

C.  D.

【答案】B　

【解析】方法一：易得△ABC面积为1，利用极限位置和特值法．当a＝0时，易得b＝1－；当a＝时，易得b＝；当a＝1时，易得b＝－1>.故选B.

方法二：(直接法) y＝ ，y＝ax＋b与x 轴交于，结合图形与a>0 ，××＝(a＋b)2＝a(a＋1)>0a＝.

∵a>0，∴>0b<，当a＝0时，极限位置易得b＝1－，故答案为B.

7．（2013·新课标全国卷Ⅱ）设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　　)

A．c＞b＞a  B．b＞c＞a

C．a＞c＞b  D．a＞b＞c

【答案】D