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2019届二轮复习（理）专题32二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题学案（全国通用）
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1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；
2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；
3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
1．二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．
(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
2．线性规划相关概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的一次不等式
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
欲求最大值或最小值的函数
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
3.应用
利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是
(1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
高频考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
例1、不等式组表示的平面区域的面积为 ．
答案 4
解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．
【举一反三】(1)若不等式x2＋y2≤2所表示的平面区域为M，不等式组表示的平面区域为N，现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为 .
(2)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为( )
A.－3 B.1 C. D.3
解析 (1)作出不等式组与不等式表示的可行域如图阴影部分所示，平面区域N的面积为×3×(6＋2)＝12，区域M在区域N内的面积为π()2＝，故所求概率P＝＝.
(2)如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m＜2，则m＞－1，
即B，所围成的区域为△ABC，则S△ABC＝S△ADC－S△BDC＝(2＋2m)(1＋m)－(2＋2m)·(1＋m)＝(1＋m)2＝，
解得m＝－3(舍去)或m＝1.故选B.
答案 (1) (2)B
【方法规律】二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域，注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点.
【变式探究】 若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是( )
A. B. C. D.
解析 不等式组表示的平面区域如图所示.
答案 A
高频考点二 求目标函数的最值问题
例2、(1)设x，y满足约束条件则 ＝2x＋3y－5的最小值为 .
(2)若x，y满足约束条件则的最大值为 .
解析 (1)画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知，
当直线y＝－x＋＋过点A(－1，－1)时， 取得最小值，即 min＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.
(2)作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A(1，3)与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.
答案 (1)－10 (2)3
【举一反三】若变量x，y满足约束条件
且 ＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n等于( )
A．5 B．6
C．7 D．8
答案 B
解析 画出可行域，如图阴影部分所示．
当直线y＝－2x＋ 经过点A时， min＝2×(－1)－1＝－3＝n.当直线y＝－2x＋ 经过点B时， max＝2×2－1＝3＝m，故m－n＝6.
【变式探究】实数x，y满足
(1)若 ＝，求 的最大值和最小值，并求 的取值范围；
(2)若 ＝x2＋y2，求 的最大值与最小值，并求 的取值范围．
解 由作出可行域，
如图中阴影部分所示．
(2) ＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．
因此x2＋y2的值最小为|OA|2(取不到)，最大值为|OB|2.
由得A(0,1)，
∴|OA|2＝()2＝1，|OB|2＝()2＝5，
∴ 的取值范围是(1,5]．
高频考点三 求线性规划的参数
例3、(1)设x，y满足约束条件且 ＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )
A.－5 B.3
C.－5或3 D.5或－3
(2)已知变量x，y满足则 ＝()2x＋y的最大值为 .
解析 (1)二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A.由 ＝x＋ay得y＝－x＋.
由图可知当－1≤－≤1时， 可取得最小值，此时a≥1或a≤－1.
又直线y＝－x＋过A点时， 取得最小值，因此＋a×＝7，化简得a2＋2a－15＝0，解得a＝3或a＝－5，
当a＝3时，经检验知满足题意；当a＝－5时，目标函数 ＝x＋ay过点A时取得最大值，不满足题意，故选B.
答案 (1)B (2)4
【感悟提升】(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．
(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有：
①表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，表示点(x，y)与点(a，b)的距离；
②表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．
(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足条件．
【变式探究】(1)已知x，y满足约束条件若 ＝ax＋y的最大值为4，则a等于( )
A．3 B．2
C．－2 D．－3
(2) x，y满足约束条件
若 ＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )
A.或－1 B．2或
C．2或1 D．2或－1
答案 (1)B (2)D
解析 (1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．
∴当a＝－2或a＝－3时， ＝ax＋y在O(0,0)处取得最大值，最大值为 max＝0，不满足题意，排除C，D选项；当a＝2或3时， ＝ax＋y在A(2,0)处取得最大值，
∴2a＝4，∴a＝2，排除A，故选B.
(2)如图，由y＝ax＋ 知 的几何意义是直线在y轴上的截距，
故当a>0时，要使 ＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；
当a<0时，要使 ＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.
高频考点四 线性规划的实际应用
例4、某高 技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.
答案 216 000
【感悟提升】解线性规划应用问题的一般步骤：
(1)分析题意，设出未知量；
(2)列出线性约束条件和目标函数；
(3)作出可行域并利用数形结合求解；
(4)作答．
【变式探究】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A.12万元 B．16万元
C．17万元 D．18万元
答案 D
可得目标函数在点A处取到最大值．
由得A(2,3)．
则 max＝3×2＋4×3＝18(万元)．
高频考点五 非线性目标函数的最值
例5、已知实数x，y满足则x2＋y2的取值范围是 ．
解析 不等式组所表示的平面区域是以点(0,2)，(1,0)，(2,3)为顶点的三角形及其内部，如图所示．因为原点到直线2x＋y－2＝0的距离为，所以(x2＋y2)min＝，又当(x，y)取点(2,3)时，x2＋y2取得最大值13，故x2＋y2的取值范围是.
答案
【方法技巧】与二元一次不等式 (组)表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．常见代数式的几何意义：(1)表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；(2)表示点(x，y)与点(a，b)之间的距离；(3)表示点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离；(4)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；(5)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.
【变式探究】设实数x，y满足不等式组则ω＝的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示，由于可以看作直线的斜率形式，于是问题可以转化为求可行域内的哪些点与点A(－1，1)连线的斜率最大、最小问题．
如图，当直线过点B(1,0)时，斜率最小，此时ω＝＝－；
当直线与x－y＝0平行时，斜率最大，此时ω＝1，但它与阴影区域无交点，取不到．
故ω＝的取值范围是.故选B.
1. （2018年浙江卷）若满足约束条件则的最小值是 ，最大值是 ．
【答案】 (1). -2 (2). 8
2. （2018年天津卷）已知，且，则的最小值为 .
【答案】
【解析】由可知，
且：，因为对于任意x，恒成立，
结合均值不等式的结论可得：.
当且仅当，即时等号成立.
综上可得的最小值为.
3. （2018年北京卷）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y–x的最小值是 ．
【答案】3
【解析】作可行域，如图，则直线过点A(1,2)时，取最小值3.
4. （2018年江苏卷）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ．
【答案】9
5. （2018年全国I卷理数）若，满足约束条件，则的最大值为 ．
【答案】6
【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：
由可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点B时， 取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.
6. （2018年全国Ⅱ卷理数）若满足约束条件 则的最大值为 ．
【答案】9
【解析】作可行域，则直线过点A(5,4)时取最大值9.
1.[2017·全国卷Ⅲ]设x，y满足约束条件则 ＝x－y的取值范围是( )
A.[－3,0] B．[－3,2] C．[0,2] D．[0,3]
答案 B
解析 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
2.[2017·全国卷Ⅱ]设x，y满足约束条件则 ＝2x＋y的最小值是( )
A.－15 B．－9 C．1 D．9
答案 A
解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．
将目标函数 ＝2x＋y化为y＝－2x＋ ，作出直线y＝－2x，并平移该直线，知当直线y＝－2x＋ 经过点A(－6，－3)时， 有最小值，且 min＝2×(－6)－3＝－15.故选A.
3.[2017·北京高考]若x，y满足则x＋2y的最大值为( )
A.1 B．3 C．5 D．9
答案 D
解析 作出可行域如图阴影部分所示．
4.[2017·浙江高考]若x，y满足约束条件
则 ＝x＋2y的取值范围是( )
A.[0,6] B．[0,4]
C.[6，＋∞) D．[4，＋∞)
答案 D
解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
5.[2017·天津高考]电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
解 (1)由已知，x，y满足的数学关系式为
即
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分中的整数点．
图1
图2
学 ]
解方程组得则点M的坐标为(6,3)．
所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．
1.【2016高考浙江理数】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域 中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=（ ）
A．2 B．4 C．3 D．
【答案】C
2.【2016年高考北京理数】若，满足，则的最大值为（ ）
A.0 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】作出如图可行域，则当经过点时，取最大值，而，∴所求最大值为4，故选C.
3.【2016年高考四川理数】设p：实数x，y满足，q：实数x，y满足 则p是q的( )
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】画出可行域（如图所示），可知命题中不等式组表示的平面区域在命题中不等式表示的圆盘内，故选A.
4.【2016高考新课标3理数】若满足约束条件 则的最大值为 .
【答案】
【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.由图知，当直线经过点时， 取得最大值.由 得 ，即，则．
5.【2016高考新课标1卷】某高 技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．
【答案】
【解析】设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么
①
目标函数.
二元一次不等式组①等价于
②
作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.
将变形,得,平行直线,当直线经过点时, 取得最大值.
解方程组,得的坐标.
所以当,时,.
故生产产品、产品的利润之和的最大值为元.
6.【2016高考江苏卷】 已知实数满足 ，则的取值范围是 ▲ .
【答案】
1.【2015高考北京，理2】若，满足则的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】如图，先画出可行域，由于，则，令，作直线，在可行域中作平行线，得最优解，此时直线的截距最大，取得最小值2.
2．【2015高考广东，理6】若变量，满足约束条件则的最小值为（ ）
A． B. 6 C. D. 4
【答案】C
学 ]
3.【2015高考天津，理2】设变量 满足约束条件 ，则目标函数的最大值为( )
（A）3 （B）4 （C）18 （D）40
【答案】C
【解析】不等式所表示的平面区域如下图所示，当所表示直线经过点时， 有最大值18
4.【2015高考陕西，理10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元
甲
乙
原料限额
（吨）
（吨）
【答案】D
【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润
由题意可列，其表示如图阴影部分区域：
]
当直线过点时，取得最大值，所以，故选D．
5.【2015高考福建，理5】若变量 满足约束条件 则 的最小值等于 ( )
A． B． C． D．2
【答案】A
6.【2015高考山东，理6】已知满足约束条件，若的最大值为4，则 （ ）
（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3
【答案】B
【解析】不等式组 在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，
7.【2015高考新课标1，理15】若满足约束条件，则的最大值为 .
【答案】3
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.
8.【2015高考浙江，理14】若实数满足，则的最小值是 ．
【答案】.
【解析】表示圆及其内部，易得直线与圆相离，故，当时，，如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数，则可知当，时，，当时，，可行域为大的弓形内部，目标函数，同理可知当，时，，综上所述，.
9．【2015高考新课标2，理14】若x，y满足约束条件，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为，当取到最大时，直线的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到，则的最大值为．学 .
【考点定位】线性规划．
10.【2015高考湖南，理4】若变量，满足约束条件，则的最小值为（ ）
A.-7 B.-1 C.1 D.2
【答案】A.
11．（2014·安徽卷）x，y满足约束条件若 ＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )
A.或－1 B．2或
C．2或1 D．2或－1
【答案】D
【解析】
方法二：画出可行域，如图中阴影部分所示， ＝y－ax可变为y＝ax＋ ，令l0：y＝ax，则由题意知l0∥AB或l0∥AC，故a＝－1或a＝2.
12．（2014·北京卷）若x，y满足
且 ＝y－x的最小值为－4，则k的值为( )
A．2 B．－2 C. D．－
【答案】D 【解析】可行域如图所示，当k>0时，知 ＝y－x无最小值，当k<0时，目标函数线过可行域内A点时 有最小值．联立解得A，故 min＝0＋＝－4，即k＝－.
13．（2014·福建卷）若变量x，y满足约束条件则 ＝3x＋y的最小值为 ．
【答案】1 【解析】作出不等式组表示的平面区域(如图所示)，
把 ＝3x＋y变形为y＝－3x＋ ，则当直线y＝3x＋ 经过点(0，1)时， 最小，将点(0，1)代入 ＝3x＋y，得 min＝1，即 ＝3x＋y的最小值为1.
14．（2014·广东卷）若变量x，y满足约束条件且 ＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】本题考查运用线性规划知识求目标函数的最值，注意利用数形结合思想求解．画出不等式组表示的平面区域，如图所示．学·
15．（2014·湖南卷）若变量x，y满足约束条件且 ＝2x＋y的最小值为－6，则k＝ .
【答案】－2 【解析】画出可行域，如图中阴影部分所示，不难得出 ＝2x＋y在点A(k，k)处取最小值，即3k＝－6，解得k＝－2.
16．（2014·全国卷）设x，y满足约束条件则 ＝x＋4y的最大值为 ．
【答案】5
17．（2014·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组的解集记为D，有下面四个命题：
p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2，
p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2，
p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3，
p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.
其中的真命题是( )
A．p2，p3 B．p1，p2
C．p1，p4 D．p1，p3
【答案】B
【解析】不等式组表示的区域D如图中的阴影部分所示，设目标函数 ＝x＋2y，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2，－1)处取得最小值，且 min＝2－2＝0，即x＋2y的取值范围是[0，＋∞)，故命题p1，p2为真，命题p3，p4为假．学。
18．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设x，y满足约束条件则 ＝2x－y的最大值为( )
A．10 B．8 C．3 D．2
【答案】B
19．（2014·山东卷）已知x，y满足约束条件当目标函数 ＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取到最小值2 时，a2＋b2的最小值为( )
A. 5 B. 4 C. D. 2
【答案】B
【解析】画出约束条件表示的可行域(如图所示)．显然，当目标函数 ＝ax＋by过点A(2，1)时， 取得最小值，即2 ＝2a＋b，所以2 －2a＝b，所以a2＋b2＝a2＋(2 －2a)2＝5a2－8 a＋20，构造函数m(a)＝5a2－8 a＋20(>a>0)，利用二次函数求最值，显然函数m(a)＝5a2－8a＋20的最小值是＝4，即a2＋b2的最小值为4.故选B.
20．（2014·陕西卷）在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．
(1)若＋＋＝0，求||；
(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．
(2)∵＝m＋n，
∴(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，
∴
两式相减得，m－n＝y－x，
令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.
21．（2014·天津卷）设变量x，y满足约束条件则目标函数 ＝x＋2y的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】画出可行域，如图所示．解方程组得即点A(1，1)．
当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值，即 min＝1×1＋2×1＝3.
22．（2014·浙江卷）当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
23．(2013年高考山东卷)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( )
A．2 B．1
C．－ D．－
【答案】C
24．(2013年高考全国新课标卷Ⅱ)已知a>0，x，y满足约束条件若 ＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )
A. B.
C．1 D．2
【解析】由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC内部及边界部分，由目标函数 ＝2x＋y的几何意义为直线l：y＝－2x＋ 在y轴上的截距，知当直线l过可行域内的点B(1，－2a)时，目标函数 ＝2x＋y的最小值为1，则2－2a＝1，a＝，故选B.
【答案】B
25．（2013·安徽卷）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||＝·＝2，则点集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( )
A．2 B．2
C．4 D．4
【答案】D
【解析】由||＝||＝·＝2，可得点A，B在圆x2＋y2＝4上且∠AOB＝60°，在平面直角坐标系中，设A(2，0)，B(1，)，设P(x，y)，则(x，y)＝λ(2，0)＋μ(1，)，由此得x＝2λ＋μ，y＝μ，解得μ＝，λ＝x－y，由于|λ|＋|μ|≤1，
所以x－y＋y≤1，
即|x－y|＋|2y|≤2 .
26．（2013·北京卷）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，求得m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】在直角坐标系中画出可行域，如图所示，由题意可知，可行域内与直线x－2y＝2有交点，当点(－m，m)在直线x－2y＝2上时，有m＝－，所以m<－，故选C.
27．（2013·广东卷）给定区域D：令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈ ，(x0，y0)是 ＝x＋y在D上取值最大值或最小值的点}．则T中的点共确定 条不同的直线．
【答案】6
]
28．（2013·湖南卷）若变量x，y满足结束条件则x＋2y的最大值是( )
A．－ B．0 C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，画出x，y满足的可行域，如图，
可知在点C处x＋2y取最大值为.
29．（2013·江苏卷）抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是 ．
【答案】.
30．（2013·陕西卷）若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为 ．
【答案】－4
【解析】结合题目可以作出y＝∣x－1∣与y＝2所表示的平面区域，令2x－y＝ ，即y＝2x－ ，作出直线y＝2x，在封闭区域内平移直线y＝2x，当经过点A(－1，2)时， 取最小值为－4.
31．（2013·天津卷）设变量x，y满足约束条件则目标函数 ＝y－2x的最小值为( )
A．－7 B．－4 C．1 D．2
【答案】A
【解析】作出可行域，如图阴影部分．
联立解得(5，3)，当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值 ＝3－2×5＝－7.
32．（2013·浙江卷）设 ＝kx＋y，其中实数x，y满足若 的最大值为12，则实数k＝ ．
【答案】2
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；
2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；
3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
1．二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．
(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
2．线性规划相关概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的一次不等式
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
欲求最大值或最小值的函数
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
3.应用
利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是
(1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
高频考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
例1、不等式组表示的平面区域的面积为 ．
答案 4
解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．
【举一反三】(1)若不等式x2＋y2≤2所表示的平面区域为M，不等式组表示的平面区域为N，现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为 .
(2)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为( )
A.－3 B.1 C. D.3
解析 (1)作出不等式组与不等式表示的可行域如图阴影部分所示，平面区域N的面积为×3×(6＋2)＝12，区域M在区域N内的面积为π()2＝，故所求概率P＝＝.
(2)如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m＜2，则m＞－1，
即B，所围成的区域为△ABC，则S△ABC＝S△ADC－S△BDC＝(2＋2m)(1＋m)－(2＋2m)·(1＋m)＝(1＋m)2＝，
解得m＝－3(舍去)或m＝1.故选B.
答案 (1) (2)B
【方法规律】二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域，注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点.
【变式探究】 若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是( )
A. B. C. D.
解析 不等式组表示的平面区域如图所示.
答案 A
高频考点二 求目标函数的最值问题
例2、(1)设x，y满足约束条件则 ＝2x＋3y－5的最小值为 .
(2)若x，y满足约束条件则的最大值为 .
解析 (1)画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知，
当直线y＝－x＋＋过点A(－1，－1)时， 取得最小值，即 min＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.
(2)作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A(1，3)与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.
答案 (1)－10 (2)3
【举一反三】若变量x，y满足约束条件
且 ＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n等于( )
A．5 B．6
C．7 D．8
答案 B
解析 画出可行域，如图阴影部分所示．
当直线y＝－2x＋ 经过点A时， min＝2×(－1)－1＝－3＝n.当直线y＝－2x＋ 经过点B时， max＝2×2－1＝3＝m，故m－n＝6.
【变式探究】实数x，y满足
(1)若 ＝，求 的最大值和最小值，并求 的取值范围；
(2)若 ＝x2＋y2，求 的最大值与最小值，并求 的取值范围．
解 由作出可行域，
如图中阴影部分所示．
(2) ＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．
因此x2＋y2的值最小为|OA|2(取不到)，最大值为|OB|2.
由得A(0,1)，
∴|OA|2＝()2＝1，|OB|2＝()2＝5，
∴ 的取值范围是(1,5]．
高频考点三 求线性规划的参数
例3、(1)设x，y满足约束条件且 ＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )
A.－5 B.3
C.－5或3 D.5或－3
(2)已知变量x，y满足则 ＝()2x＋y的最大值为 .
解析 (1)二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A.由 ＝x＋ay得y＝－x＋.
由图可知当－1≤－≤1时， 可取得最小值，此时a≥1或a≤－1.
又直线y＝－x＋过A点时， 取得最小值，因此＋a×＝7，化简得a2＋2a－15＝0，解得a＝3或a＝－5，
当a＝3时，经检验知满足题意；当a＝－5时，目标函数 ＝x＋ay过点A时取得最大值，不满足题意，故选B.
答案 (1)B (2)4
【感悟提升】(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．
(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有：
①表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，表示点(x，y)与点(a，b)的距离；
②表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．
(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足条件．
【变式探究】(1)已知x，y满足约束条件若 ＝ax＋y的最大值为4，则a等于( )
A．3 B．2
C．－2 D．－3
(2) x，y满足约束条件
若 ＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )
A.或－1 B．2或
C．2或1 D．2或－1
答案 (1)B (2)D
解析 (1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．
∴当a＝－2或a＝－3时， ＝ax＋y在O(0,0)处取得最大值，最大值为 max＝0，不满足题意，排除C，D选项；当a＝2或3时， ＝ax＋y在A(2,0)处取得最大值，
∴2a＝4，∴a＝2，排除A，故选B.
(2)如图，由y＝ax＋ 知 的几何意义是直线在y轴上的截距，
故当a>0时，要使 ＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；
当a<0时，要使 ＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.
高频考点四 线性规划的实际应用
例4、某高 技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.
答案 216 000
【感悟提升】解线性规划应用问题的一般步骤：
(1)分析题意，设出未知量；
(2)列出线性约束条件和目标函数；
(3)作出可行域并利用数形结合求解；
(4)作答．
【变式探究】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A.12万元 B．16万元
C．17万元 D．18万元
答案 D
可得目标函数在点A处取到最大值．
由得A(2,3)．
则 max＝3×2＋4×3＝18(万元)．
高频考点五 非线性目标函数的最值
例5、已知实数x，y满足则x2＋y2的取值范围是 ．
解析 不等式组所表示的平面区域是以点(0,2)，(1,0)，(2,3)为顶点的三角形及其内部，如图所示．因为原点到直线2x＋y－2＝0的距离为，所以(x2＋y2)min＝，又当(x，y)取点(2,3)时，x2＋y2取得最大值13，故x2＋y2的取值范围是.
答案
【方法技巧】与二元一次不等式 (组)表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．常见代数式的几何意义：(1)表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；(2)表示点(x，y)与点(a，b)之间的距离；(3)表示点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离；(4)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；(5)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.
【变式探究】设实数x，y满足不等式组则ω＝的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示，由于可以看作直线的斜率形式，于是问题可以转化为求可行域内的哪些点与点A(－1，1)连线的斜率最大、最小问题．
如图，当直线过点B(1,0)时，斜率最小，此时ω＝＝－；
当直线与x－y＝0平行时，斜率最大，此时ω＝1，但它与阴影区域无交点，取不到．
故ω＝的取值范围是.故选B.
1. （2018年浙江卷）若满足约束条件则的最小值是 ，最大值是 ．
【答案】 (1). -2 (2). 8
2. （2018年天津卷）已知，且，则的最小值为 .
【答案】
【解析】由可知，
且：，因为对于任意x，恒成立，
结合均值不等式的结论可得：.
当且仅当，即时等号成立.
综上可得的最小值为.
3. （2018年北京卷）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y–x的最小值是 ．
【答案】3
【解析】作可行域，如图，则直线过点A(1,2)时，取最小值3.
4. （2018年江苏卷）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ．
【答案】9
5. （2018年全国I卷理数）若，满足约束条件，则的最大值为 ．
【答案】6
【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：
由可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点B时， 取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.
6. （2018年全国Ⅱ卷理数）若满足约束条件 则的最大值为 ．
【答案】9
【解析】作可行域，则直线过点A(5,4)时取最大值9.
1.[2017·全国卷Ⅲ]设x，y满足约束条件则 ＝x－y的取值范围是( )
A.[－3,0] B．[－3,2] C．[0,2] D．[0,3]
答案 B
解析 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
2.[2017·全国卷Ⅱ]设x，y满足约束条件则 ＝2x＋y的最小值是( )
A.－15 B．－9 C．1 D．9
答案 A
解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．
将目标函数 ＝2x＋y化为y＝－2x＋ ，作出直线y＝－2x，并平移该直线，知当直线y＝－2x＋ 经过点A(－6，－3)时， 有最小值，且 min＝2×(－6)－3＝－15.故选A.
3.[2017·北京高考]若x，y满足则x＋2y的最大值为( )
A.1 B．3 C．5 D．9
答案 D
解析 作出可行域如图阴影部分所示．
4.[2017·浙江高考]若x，y满足约束条件
则 ＝x＋2y的取值范围是( )
A.[0,6] B．[0,4]
C.[6，＋∞) D．[4，＋∞)
答案 D
解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
5.[2017·天津高考]电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
解 (1)由已知，x，y满足的数学关系式为
即
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分中的整数点．
图1
图2
学 ]
解方程组得则点M的坐标为(6,3)．
所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．
1.【2016高考浙江理数】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域 中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=（ ）
A．2 B．4 C．3 D．
【答案】C
2.【2016年高考北京理数】若，满足，则的最大值为（ ）
A.0 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】作出如图可行域，则当经过点时，取最大值，而，∴所求最大值为4，故选C.
3.【2016年高考四川理数】设p：实数x，y满足，q：实数x，y满足 则p是q的( )
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】画出可行域（如图所示），可知命题中不等式组表示的平面区域在命题中不等式表示的圆盘内，故选A.
4.【2016高考新课标3理数】若满足约束条件 则的最大值为 .
【答案】
【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.由图知，当直线经过点时， 取得最大值.由 得 ，即，则．
5.【2016高考新课标1卷】某高 技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．
【答案】
【解析】设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么
①
目标函数.
二元一次不等式组①等价于
②
作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.
将变形,得,平行直线,当直线经过点时, 取得最大值.
解方程组,得的坐标.
所以当,时,.
故生产产品、产品的利润之和的最大值为元.
6.【2016高考江苏卷】 已知实数满足 ，则的取值范围是 ▲ .
【答案】
1.【2015高考北京，理2】若，满足则的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】如图，先画出可行域，由于，则，令，作直线，在可行域中作平行线，得最优解，此时直线的截距最大，取得最小值2.
2．【2015高考广东，理6】若变量，满足约束条件则的最小值为（ ）
A． B. 6 C. D. 4
【答案】C
学 ]
3.【2015高考天津，理2】设变量 满足约束条件 ，则目标函数的最大值为( )
（A）3 （B）4 （C）18 （D）40
【答案】C
【解析】不等式所表示的平面区域如下图所示，当所表示直线经过点时， 有最大值18
4.【2015高考陕西，理10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元
甲
乙
原料限额
（吨）
（吨）
【答案】D
【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润
由题意可列，其表示如图阴影部分区域：
]
当直线过点时，取得最大值，所以，故选D．
5.【2015高考福建，理5】若变量 满足约束条件 则 的最小值等于 ( )
A． B． C． D．2
【答案】A
6.【2015高考山东，理6】已知满足约束条件，若的最大值为4，则 （ ）
（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3
【答案】B
【解析】不等式组 在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，
7.【2015高考新课标1，理15】若满足约束条件，则的最大值为 .
【答案】3
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.
8.【2015高考浙江，理14】若实数满足，则的最小值是 ．
【答案】.
【解析】表示圆及其内部，易得直线与圆相离，故，当时，，如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数，则可知当，时，，当时，，可行域为大的弓形内部，目标函数，同理可知当，时，，综上所述，.
9．【2015高考新课标2，理14】若x，y满足约束条件，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为，当取到最大时，直线的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到，则的最大值为．学 .
【考点定位】线性规划．
10.【2015高考湖南，理4】若变量，满足约束条件，则的最小值为（ ）
A.-7 B.-1 C.1 D.2
【答案】A.
11．（2014·安徽卷）x，y满足约束条件若 ＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )
A.或－1 B．2或
C．2或1 D．2或－1
【答案】D
【解析】
方法二：画出可行域，如图中阴影部分所示， ＝y－ax可变为y＝ax＋ ，令l0：y＝ax，则由题意知l0∥AB或l0∥AC，故a＝－1或a＝2.
12．（2014·北京卷）若x，y满足
且 ＝y－x的最小值为－4，则k的值为( )
A．2 B．－2 C. D．－
【答案】D 【解析】可行域如图所示，当k>0时，知 ＝y－x无最小值，当k<0时，目标函数线过可行域内A点时 有最小值．联立解得A，故 min＝0＋＝－4，即k＝－.
13．（2014·福建卷）若变量x，y满足约束条件则 ＝3x＋y的最小值为 ．
【答案】1 【解析】作出不等式组表示的平面区域(如图所示)，
把 ＝3x＋y变形为y＝－3x＋ ，则当直线y＝3x＋ 经过点(0，1)时， 最小，将点(0，1)代入 ＝3x＋y，得 min＝1，即 ＝3x＋y的最小值为1.
14．（2014·广东卷）若变量x，y满足约束条件且 ＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】本题考查运用线性规划知识求目标函数的最值，注意利用数形结合思想求解．画出不等式组表示的平面区域，如图所示．学·
15．（2014·湖南卷）若变量x，y满足约束条件且 ＝2x＋y的最小值为－6，则k＝ .
【答案】－2 【解析】画出可行域，如图中阴影部分所示，不难得出 ＝2x＋y在点A(k，k)处取最小值，即3k＝－6，解得k＝－2.
16．（2014·全国卷）设x，y满足约束条件则 ＝x＋4y的最大值为 ．
【答案】5
17．（2014·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组的解集记为D，有下面四个命题：
p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2，
p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2，
p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3，
p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.
其中的真命题是( )
A．p2，p3 B．p1，p2
C．p1，p4 D．p1，p3
【答案】B
【解析】不等式组表示的区域D如图中的阴影部分所示，设目标函数 ＝x＋2y，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2，－1)处取得最小值，且 min＝2－2＝0，即x＋2y的取值范围是[0，＋∞)，故命题p1，p2为真，命题p3，p4为假．学。
18．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设x，y满足约束条件则 ＝2x－y的最大值为( )
A．10 B．8 C．3 D．2
【答案】B
19．（2014·山东卷）已知x，y满足约束条件当目标函数 ＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取到最小值2 时，a2＋b2的最小值为( )
A. 5 B. 4 C. D. 2
【答案】B
【解析】画出约束条件表示的可行域(如图所示)．显然，当目标函数 ＝ax＋by过点A(2，1)时， 取得最小值，即2 ＝2a＋b，所以2 －2a＝b，所以a2＋b2＝a2＋(2 －2a)2＝5a2－8 a＋20，构造函数m(a)＝5a2－8 a＋20(>a>0)，利用二次函数求最值，显然函数m(a)＝5a2－8a＋20的最小值是＝4，即a2＋b2的最小值为4.故选B.
20．（2014·陕西卷）在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．
(1)若＋＋＝0，求||；
(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．
(2)∵＝m＋n，
∴(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，
∴
两式相减得，m－n＝y－x，
令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.
21．（2014·天津卷）设变量x，y满足约束条件则目标函数 ＝x＋2y的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】画出可行域，如图所示．解方程组得即点A(1，1)．
当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值，即 min＝1×1＋2×1＝3.
22．（2014·浙江卷）当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
23．(2013年高考山东卷)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( )
A．2 B．1
C．－ D．－
【答案】C
24．(2013年高考全国新课标卷Ⅱ)已知a>0，x，y满足约束条件若 ＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )
A. B.
C．1 D．2
【解析】由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC内部及边界部分，由目标函数 ＝2x＋y的几何意义为直线l：y＝－2x＋ 在y轴上的截距，知当直线l过可行域内的点B(1，－2a)时，目标函数 ＝2x＋y的最小值为1，则2－2a＝1，a＝，故选B.
【答案】B
25．（2013·安徽卷）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||＝·＝2，则点集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( )
A．2 B．2
C．4 D．4
【答案】D
【解析】由||＝||＝·＝2，可得点A，B在圆x2＋y2＝4上且∠AOB＝60°，在平面直角坐标系中，设A(2，0)，B(1，)，设P(x，y)，则(x，y)＝λ(2，0)＋μ(1，)，由此得x＝2λ＋μ，y＝μ，解得μ＝，λ＝x－y，由于|λ|＋|μ|≤1，
所以x－y＋y≤1，
即|x－y|＋|2y|≤2 .
26．（2013·北京卷）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，求得m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】在直角坐标系中画出可行域，如图所示，由题意可知，可行域内与直线x－2y＝2有交点，当点(－m，m)在直线x－2y＝2上时，有m＝－，所以m<－，故选C.
27．（2013·广东卷）给定区域D：令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈ ，(x0，y0)是 ＝x＋y在D上取值最大值或最小值的点}．则T中的点共确定 条不同的直线．
【答案】6
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28．（2013·湖南卷）若变量x，y满足结束条件则x＋2y的最大值是( )
A．－ B．0 C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，画出x，y满足的可行域，如图，
可知在点C处x＋2y取最大值为.
29．（2013·江苏卷）抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是 ．
【答案】.
30．（2013·陕西卷）若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为 ．
【答案】－4
【解析】结合题目可以作出y＝∣x－1∣与y＝2所表示的平面区域，令2x－y＝ ，即y＝2x－ ，作出直线y＝2x，在封闭区域内平移直线y＝2x，当经过点A(－1，2)时， 取最小值为－4.
31．（2013·天津卷）设变量x，y满足约束条件则目标函数 ＝y－2x的最小值为( )
A．－7 B．－4 C．1 D．2
【答案】A
【解析】作出可行域，如图阴影部分．
联立解得(5，3)，当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值 ＝3－2×5＝－7.
32．（2013·浙江卷）设 ＝kx＋y，其中实数x，y满足若 的最大值为12，则实数k＝ ．
【答案】2
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