2019届二轮复习（理）专题33基本不等式学案（全国通用）

1.了解基本不等式的证明过程．　

2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

1.均值不等式：≤

(1)均值不等式成立的条件：a＞0，b＞0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.

(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.

2.几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

(3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.

3.利用均值不等式求最值

已知x＞0，y＞0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).

(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).

高频考点一　配凑法求最值

【例1】　[2017·山东高考]若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为        ．

答案　8

解析　∵直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，

∴＋＝1，

∴2a＋b＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2 ＝8，

当且仅当＝，即a＝2，b＝4时，等号成立．

故2a＋b的最小值为8.

【变式探究】 (1)已知x＜，求f(x)＝4x－2＋的最大值；

(2)求函数y＝的最大值.

【方法规律】(1)应用均值不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用均值不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.

(2)在利用均值不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用均值不等式.  ]

【变式探究】 (1)若对∀x≥1，不等式x＋－1≥a恒成立，则实数a的取值范围是        . 学, , ]

(2)函数y＝(x>1)的最小值为        .

解析　(1)因为函数f(x)＝x＋－1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g(x)＝x＋1＋－2在[0，＋∞)上单调递增，所以函数g(x)在[1，＋∞)的最小值为g(1)＝，因此对∀x≥1不等式x＋－1≥a恒成立，所以a≤g(x)最小值＝，故实数a的取值范围是.

答案　(1)　(2)2＋2

高频考点二　常数代换或消元法求最值

【例2】 (1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为        .

(2)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为        .

解析　(1)法一　由x＋3y＝5xy可得＋＝1，

∴3x＋4y＝(3x＋4y)

＝＋＋＋≥＋＝5(当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立)，

∴3x＋4y的最小值是5.

法二　由x＋3y＝5xy，得x＝，

∵x>0，y>0，∴y>，

∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y＝＋·＋4

≥＋2＝5，

当且仅当y＝时等号成立，∴(3x＋4y)min＝5.

法二　∵x＞0，y＞0，

9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·，

当且仅当x＝3y时等号成立.

设x＋3y＝t＞0，则t2＋12t－108≥0，

∴(t－6)(t＋18)≥0，

又∵t＞0，∴t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6.

答案　(1)5　(2)6

【方法规律】条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用均值不等式求解最值；三是对条件使用均值不等式，建立所求目标函数的不等式求解.

【变式探究】 (1)已知x>0，y>0且x＋y＝1，则＋的最小值为        .

(2)已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为(　　) 学  ]

A.8   B.4   C.2      D.0

解析　(1)(常数代换法)

因为x>0，y>0，且x＋y＝1，

所以＋＝(x＋y)

＝10＋＋≥10＋2＝18，

当且仅当＝，即x＝2y时等号成立，

所以当x＝，y＝时，＋有最小值18.

(2)由x＋2y－xy＝0，得＋＝1，且x>0，y>0.

∴x＋2y＝(x＋2y)×＝＋＋4≥4＋4＝8.

答案　(1)18　(2)A

高频考点三　均值不等式在实际问题中的应用

【例3】 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.

(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；

(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.

解　(1)设所用时间为t＝(h)，

y＝×2×＋14×，x∈[50，100].

所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50，100](或y＝＋x，x∈[50，100]).   

【方法规律】(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.

(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用均值不等式求得函数的最值.

(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)求解.

【变式探究】 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.

(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为      辆/时；

(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加        辆/时.

解析　(1)当l＝6.05时，F＝，

∴F＝＝≤＝1 900，

当且仅当v＝，即v＝11时取“＝”.

∴最大车流量F为1 900辆/时.  

答案　(1)1 900　(2)100

高频考点四  利用基本不等式解决实际问题

例4、某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.

(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为       辆/小时；

(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加        辆/小时．

答案　(1)1900　(2)100

解析　(1)当l＝6.05时，F＝，

∴F＝＝≤＝1900，当且仅当v＝，即v＝11时取“＝”．

∴最大车流量为1900辆/小时．

(2)当l＝5时，F＝＝，

∴F≤＝2000，

当且仅当v＝，即v＝10时取“＝”．

∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2000－1900＝100(辆/小时).

【方法技巧】有关函数最值的实际问题的解题技巧

(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．

(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．

(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．

(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.

【变式训探究】　某厂家拟在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．

(1)将2018年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

(2)∵m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，

∴y≤－8＋29＝21，

当且仅当＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．

故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元.

1. （2018年天津卷）已知，且，则的最小值为             .

【答案】

【解析】由可知，

且：，因为对于任意x，恒成立，

结合均值不等式的结论可得：.

当且仅当，即时等号成立.

综上可得的最小值为.

1、[2017·天津高考]若a，b∈R，ab>0，则的最小值为        ．

答案　4

2.[2017·江苏高考]某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是        ．

答案　30

解析　一年的总运费为6×＝(万元)．

一年的总存储费用为4x万元．

总运费与总存储费用的和为万元．

因为＋4x≥2 ＝240，当且仅当＝4x，即x＝30时取得等号，

所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小.

1.【2016高考天津理数】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（    ）

（A）  （B）6  （C）10   （D）17

【答案】B

2.【2016高考山东理数】若变量x，y满足则的最大值是（   ）

（A）4          （B）9          （C）10         （D）12 学  ]

【答案】C

【解析】不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为,故选C.

1.【2015高考四川，理9】如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（    ）

（A）16       （B）18        （C）25         （D）

【答案】B

【解析】时，抛物线的对称轴为.据题意，当时，即..由且得.当时，抛物线开口向下，据题意得，即..由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为18.选B..

2.【2015高考陕西，理9】设，若，，，则下列关系式中正确的是（   ）

A．            B．            C．            D．

【答案】C

【解析】，，，函数在上单调递增，因为，所以，所以，故选C．

  3．（2014·辽宁卷）对于c>0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，－＋的最小值为        ．

【答案】－2　

4．（2014·山东卷）若的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为        ．

【答案】2　

【解析】Tr＋1＝C(ax2)6－r·＝Ca6－r·brx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，所以Ca6－3b3＝20，即a3b3＝1，所以ab＝1，所以a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b，且ab＝1时，等号成立．故a2＋b2的最小值是2.

5．(2014·福建卷)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 (　　)

A．80元        B．120元 

C．160元        D．240元

【解析】设底面矩形的长和宽分别为a m，b m，则ab＝4(m2)．容器的总造价为20ab＋2(a＋b)×10＝80＋20(a＋b)≥80＋40＝160(元)(当且仅当a＝b时等号成立)．故选C.

【答案】C

6．(2014·重庆卷)若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是        ．

【答案】7＋4

5．（2014·四川卷）已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)

A．2  B．3  C.  D.

【答案】B　

【解析】由题意可知，F.设A(y，y1)，B(y，y2)，∴·＝y1y2＋yy＝2，

解得y1y2＝1或y1y2＝－2.又因为A，B两点位于x轴两侧，所以y1y2＜0，即y1y2＝－2.

当y≠y时，AB所在直线方程为y－y1＝(x－y)＝ (x－y)，

令y＝0，得x＝－y1y2＝2，即直线AB过定点C(2，0)．

于是S△ABO＋S△AFO＝S△ACO＋S△BCO＋S△AFO＝×2|y1|＋×2|y2|＋×|y1|＝(9|y1|＋8|y2|)≥×2＝3，当且仅当9|y1|＝8|y2|且y1y2＝－2时，等号成立．当y＝y时，取y1＝，y2＝－，则AB所在直线的方程为x＝2，此时求得S△ABO＋S△AFO＝2××2×＋××＝，而>3，故选B.

 6．(2013年高考山东卷)设正实数x，y， 满足x2－3xy＋4y2－ ＝0，则当取得最小值时，x＋2y－ 的最大值为(　　)

A．0  B.  C．2  D.

【解析】含三个参数x，y， ，消元，利用基本不等式及配方法求最值．

 ＝x2－3xy＋4y2(x，y， ∈R＋)，

∴＝＝＋－3≥2 －3＝1.

当且仅当＝，即x＝2y时“＝”成立，此时

 ＝x2－3xy＋4y2＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，

∴x＋2y－ ＝2y＋2y－2y2＝－2y2＋4y＝－2 (y－1)2＋2.

∴当y＝1时，x＋2y－ 取最大值2.  

【答案】C

7．（2013·重庆卷）(－6≤a≤3)的最大值为(　　)

A．9  B.  C．3  D.

【答案】B