2019届二轮复习（理）专题43圆的方程学案（全国通用）

1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．　

2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．

1．圆的定义和圆的方程

2. 点与圆的位置关系

平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：

(1)d＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；

(2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；

(3)d＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内．

高频考点一　求圆的方程

例1、(1)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为        .

(2)以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为        .

(2)抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，准线为x＝－1，故所求圆的圆心为(1，0)，半径为2，所以该圆的标准方程为 (x－1)2＋y2＝4.

答案　(1)(x－2)2＋y2＝9　(2)(x－1)2＋y2＝4

 【举一反三】(1)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为                  ．

答案　2＋y2＝

解析　由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点，(4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y＋1＝－2(x－2)，

令y＝0，解得x＝，圆心为，半径为.

(2)根据下列条件，求圆的方程．

①经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；

②圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)．

②方法一　如图，设圆心(x0，－4x0)，依题意得＝1，

∴x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r＝2，

故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.

方法二　设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，

根据已知条件得

解得

因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.  

【感悟提升】(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．

(2)待定系数法

①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；

②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．

【变式探究】(1)若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为            ．

(2)过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为                ．

答案　(1)x2＋(y－1)2＝1　(2)(x－3)2＋y2＝2

高频考点二　与圆有关的最值问题

例2、已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.

(1)求的最大值和最小值；

(2)求y－x的最大值和最小值；

(3)求x2＋y2的最大值和最小值.

解　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆.

(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，

所以设＝k，即y＝kx.

当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±(如图1).

所以的最大值为，最小值为－.

【感悟提升】与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略

(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．

(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u＝型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离平方的最值问题．

【变式探究】(1)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为 (　　)

A．6   B．4

C．3   D．2

答案　B

解析　|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d＝3－(－3)－2＝4.

(2)已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．

①求|MQ|的最大值和最小值；

②若M(m，n)，求的最大值和最小值．

②可知表示直线MQ的斜率，

设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，

即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k.

由直线MQ与圆C有交点，

所以≤2，

可得2－≤k≤2＋，

所以的最大值为2＋，最小值为2－.

变式探究三　与圆有关的轨迹问题

例3、设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．

解　如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，

故＝，＝.从而

又N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.

因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，

但应除去两点和(点P在直线OM上的情况)．

【举一反三】已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.

(1)求M的轨迹方程；

(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.

(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆.由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.

因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，

故l的方程为x＋3y－8＝0.

又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，

所以|PM|＝，S△POM＝××＝，

故△POM的面积为.

【感悟提升】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：

①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．

②定义法：根据圆、直线等定义列方程．

③几何法：利用圆的几何性质列方程．

④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．

【变式探究】已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

(2)设PQ的中点为N(x，y)，连接BN.

在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.

设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，

所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，

所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.

故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.

1.【2017天津，理19】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.

（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.

【答案】（Ⅰ）， .（Ⅱ），或.

【解析】

（Ⅰ）解：设的坐标为.依题意， ， ， ，解得， ， ，于是.所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.

所以，直线的方程为，或.

1.【2016高考新课标2理数】圆的圆心到直线的距离为1，则a=（    ）

（A）         （B）           （C）               （D）2

【答案】A

【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：

，解得，故选A．

1.【2015高考新课标2，理7】过三点，，的圆交y轴于M，N两点，则(     )

A．2      B．8       C．4      D．10

【答案】C

【解析】由已知得，，所以，所以，即为直角三角形，其外接圆圆心为，半径为，所以外接圆方程为，令，得，所以，故选C．

2.【2015高考山东，理9】一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（    ）

（A）或      （B） 或           （C）或         （D）或

【答案】D

整理： ，解得： ，或 ,故选D．

3.【2015高考陕西，理15】设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为       ．

【答案】

【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：．

4.【2015高考广东，理20】已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．

（1）求圆的圆心坐标；

（2）求线段的中点的轨迹的方程；

（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点：若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】（1）由得，

∴ 圆的圆心坐标为；

（3）由（2）知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），且，，又直线：过定点，

当直线与圆相切时，由得，又，结合上图可知当时，直线：与曲线只有一个交点．

1．（2014·福建卷）设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是(　　)

A．5    B.＋ 

C．7＋  D．6

【答案】D　

2．（2013·新课标全国卷Ⅰ）已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；

(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

【解析】解：由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.

设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.

(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以

|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.

由椭圆的定义可知，曲线C是以M, N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．

(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，

当且仅当圆P的圆心为(2，0)时，R＝2，所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.

若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝2 .

若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，

则＝，可求得Q(－4，0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．由l与圆M相切得＝1，解得k＝±.当k＝时，将y＝x＋代入＋＝1，

并整理得7x2＋8x－8＝0.解得x1，2＝.

所以|AB|＝|x2－x1|＝.

当k＝－时，由图形的对称性可知|AB|＝.

综上，|AB|＝2 或|AB|＝.

3．（2013·重庆卷）如图1－9所示，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e＝，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.

(1)求该椭圆的标准方程；

(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外，若PQ⊥P′Q，求圆Q的标准方程．

(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0，0)．又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋x＋8

＝(x－2x0)2－x＋8(x∈[－4，4])．

设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当x＝x1时取得最小值．又因x1∈(－4，4)，所以上式当x＝2x0时取得最小值，从而x1＝2x0，且|QP|2＝8－x.

因为PQ⊥P′Q，且P′(x1，－y1)，所以·′＝(x1－x0，y1)·(x1－x0，－y1)＝0，

即(x1－x0)2－y＝0.由椭圆方程及x1＝2x0得x－8＝0，

解得x1＝±，x0＝＝±，从而|QP|2＝8－x＝.

故这样的圆有两个，其标准方程分别为

＋y2＝，＋y2＝.

4．(2013年高考江西卷)若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线 y＝1相切，则圆C的方程是        ．

解析：由已知可设圆心为(2，b)，由22＋b2＝(1－b)2＝r2得b＝－，r2＝.故圆C的方程为(x－2)2＋2＝.

答案：(x－2)2＋2＝