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2019届二轮复习（理）专题47抛物线学案（全国通用）
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1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px(p>0) ]
y2＝－2px(p>0) 学 ]
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点坐标
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点坐标
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
知识拓展
1．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．
2．y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为，准线方程为x＝－.
3．设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．
高频考点一 抛物线的定义及应用
例1、 (1)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是 .
(2)若抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，则|PA|＋|PF|取最小值时点P的坐标为 .
(2)将x＝3代入抛物线方程
y2＝2x，得y＝±.
∵>2，∴A在抛物线内部，如图.
设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.
当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，
∴点P的坐标为(2，2).
答案 (1)9 (2)(2，2)
【方法规律】与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.
【举一反三】 (1)过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于点C，若|AF|＝6，＝λ(λ＞0)，则λ的值为( )
A. B. C. D.3
(2)动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为 .
(2)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
答案 (1)D (2)y2＝4x
【变式探究】(1)设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝ .
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为 ．
答案 (1)8 (2)4
解析 (1)分别过点A，B，P作准线的垂线，垂足分别为M，N，Q，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，
得|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|PQ|＝8.
(2)如图，过点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
高频考点二 抛物线的标准方程和几何性质
例2、(1)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
A.x2＝y B.x2＝y
C.x2＝8y D.x2＝16y
(2)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
(2)不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，圆的方程为x2＋y2＝r2(r>0)，
∵|AB|＝4，|DE|＝2，
抛物线的准线方程为x＝－，
∴不妨设A，D，
∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，
∴∴＋8＝＋5，解得p＝4(负值舍去)，
∴C的焦点到准线的距离为4.
答案 (1)D (2)B
【方法规律】(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
【变式探究】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为 ．
答案
解析
【感悟提升】(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．
【举一反三】(1)若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝ .
答案 2
解析 由于双曲线x2－y2＝1的焦点为(±，0)，故应有＝，p＝2.
(2)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：
①y1y2＝－p2，x1x2＝；
②＋为定值；
③以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
③
设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
高频考点三 直线与抛物线的综合问题
例3、在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.
(1)求；
(2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.
(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点，理由如下：
直线MH的方程为y－t＝x，
即x＝(y－t).
代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，
解得y1＝y2＝2t，
即直线MH与C只有一个公共点，
所以除H以外直线MH与C没有其它公共点.
【举一反三】已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8.
(1)求抛物线C的方程；
(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积.
解 (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，
∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线方程为y2＝8x.
(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.
由得y2－8y－8m＝0，
Δ＝64＋32m>0，∴m>－2.
y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝＝m2.
由题意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，
∴m＝8或m＝0(舍)，∴直线l2：x＝y＋8，M(8，0).
故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2|
＝3＝24.
【方法规律】(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.
(3)涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.
【变式探究】已知抛物线C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.
(1)求抛物线C的焦点坐标；
(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；
(3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
(3)存在，联立方程
消去y得mx2－2x－2＝0，
依题意，有Δ＝(－2)2－4×m×(－2)>0⇒m>－.
设A(x1，mx)，B(x2，mx)，则( )
∵P是线段AB的中点，∴P(，)，
即P(，yP)，∴Q(，)．
得＝(x1－，mx－)，＝(x2－，mx－)，
若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则·＝0，
即(x1－)·(x2－)＋(mx－)(mx－)＝0，
结合( )化简得－－＋4＝0，
即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－，
而2∈(－，＋∞)，－∉(－，＋∞)．
∴存在实数m＝2，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形．
【感悟提升】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
【举一反三】已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
(2)依题意知l与坐标轴不垂直，
故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．
代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
故AB的中点为D(2m2＋1,2m)，
|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)．
又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.
将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．
故MN的中点为E(＋2m2＋3，－)，
|MN|＝|y3－y4|＝，
由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，
从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，
即4(m2＋1)2＋(2m＋)2＋(＋2)2
＝，
化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.
所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
1. （2018年全国I卷理数）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】D
2. （2018年全国Ⅲ卷理数）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则 ．
【答案】2
3. （2018年浙江卷）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
【答案】（Ⅰ）见解析
（Ⅱ）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
所以，．
因此，的面积．
因为，所以．
因此，面积的取值范围是．
4. （2018年北京卷）已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．
【答案】(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）
(2)证明过程见解析
【解析】（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），
所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．
由题意可知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．
由得．
依题意，解得k<0或0
所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．
5. （2018年全国Ⅱ卷理数）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
（1）求的方程；
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．
【答案】(1) y=x–1,(2)或．
【解析】
（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由得．
，故．
所以．
由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．
因此l的方程为y=x–1．
（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为
，即．
设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则
解得或
因此所求圆的方程为
或．
1.【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
8.【2017课标II，理16】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。若为的中点，则 。
【答案】6
【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．
15.【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.
【答案】（Ⅰ）方程为，抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.（Ⅱ）详见解析.
（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为， .
由，得.
则， .
因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.
直线ON的方程为，点B的坐标为.
因为
，
所以.
故A为线段BM的中点.
1. 【2016高考新课标1卷】已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
4.【2016高考新课标2理数】已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）2
【答案】A
【解析】因为垂直于轴，所以，因为，即，化简得，故双曲线离心率.选A.
5.【2016高考浙江理数】已知椭圆C1：+y2=1(m>1)与双曲线C2：–y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）
A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1 C．m1 D．m
10.【2016高考天津理数】已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）
（A）（B）（C）（D）
【答案】D
【解析】根据对称性，不妨设A在第一象限，，∴，
∴，故双曲线的方程为，故选D.
13.【2016高考山东理数】已知双曲线E： （a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是 .
【答案】2
【解析】假设点A在第一象限，点B在第二象限，则，，所以，，由，得离心率或（舍去），所以E的离心率为2.
14.【2016年高考北京理数】双曲线（，）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则 .
【答案】2
27. 【2016高考上海理数】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点。
（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率.
【答案】（1）．（2）.
【解析】
（1）设．
由题意，，，，
因为是等边三角形，所以，
即，解得．
故双曲线的渐近线方程为．
（2）由已知，，．
设，，直线．显然．
1.【2015高考福建，理3】若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则 等于（ ）
A．11 B．9 C．5 D．3
【答案】B
【解析】由双曲线定义得，即，解得，故选B．
2.【2015高考四川，理5】过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则（ ）
(A) (B) (C)6 （D）
【答案】D
【解析】双曲线的右焦点为，过F与x轴垂直的直线为，渐近线方程为，将代入得：.选D.
3.【2015高考广东，理7】已知双曲线：的离心率，且其右焦点，则双曲线的方程为（ ）
A． B. C. D.
【答案】B．
【解析】因为所求双曲线的右焦点为且离心率为，所以，，所以所求双曲线方程为，故选B．学^
4.【2015高考新课标1，理5】已知M（）是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是( )
（A）（-，） （B）（-，）
（C）（，） （D）（，）
【答案】A
5.【2015高考湖北，理8】将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ）
A．对任意的， B．当时，；当时，
C．对任意的， D．当时，；当时，
【答案】D
【解析】依题意，，，
因为，由于，，，
所以当时，，，，，所以；
当时，，，而，所以，所以.
所以当时，；当时，.
6.【2015高考重庆，理10】设双曲线（a>0,b>0）的右焦点为1，过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ）
A、 B、
C、 D、
【答案】A
7.【2015高考安徽，理4】下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】由题意，选项的焦点在轴，故排除，项的渐近线方程为，即，故选C.
8.【2015高考新课标2，理11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
9.【2015高考北京，理10】已知双曲线的一条渐近线为，则 ．
【答案】
【解析】双曲线的渐近线方程为，，,则
10【2015高考湖南，理13】设是双曲线：的一个焦点，若上存在点，使线段的中点恰为其虚轴的一个端点，则的离心率为 .
【答案】.
【解析】根据对称性，不妨设，短轴端点为，从而可知点在双曲线上，
∴.
11.【2015高考浙江，理9】双曲线的焦距是 ，渐近线方程是 ．
【答案】，.
【解析】由题意得：，，，∴焦距为，
渐近线方程为.
12.【2015高考上海，理9】已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的倍，和的轨迹分别为双曲线和．若的渐近线方程为，则的渐近线方程为 ．
【答案】
13.【2015江苏高考，12】在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。若点到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 .
【答案】
【解析】设，因为直线平行于渐近线，所以点到直线的距离恒大于直线与渐近线之间距离，因此c的最大值为直线与渐近线之间距离，为。
1．（2014·湖北卷）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )
A. B. C．3 D．2
【答案】A
【解析】设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，r1>r2，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2.则由椭圆、双曲线的定义，得r1＋r2＝2a1，r1－r2＝2a2，平方得4a＝r＋r＋2r1r2，4a＝r－2r1r2＋r.又由余弦定理得4c2＝r＋r－r1r2，消去r1r2，得a＋3a＝4c2，
即＋＝4.所以由柯西不等式得＝≤＝.
所以＋≤.故选A.
2．（2014·北京卷）设双曲线C经过点(2，2)，且与－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为 ；渐近线方程为 ．
【答案】－＝1 y＝±2x
【解析】设双曲线C的方程为－x2＝λ，将(2，2)代入得－22＝－3＝λ，∴双曲线C的方程为－＝1.令－x2＝0得渐近线方程为y＝±2x.
3．（2014·全国卷）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝( )
A. B. C. D.
【答案】A
4．（2014·福建卷）已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.
(1)求双曲线E的离心率．
(2)如图16，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．
图16
【解析】解：方法一：
(2)由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.
设直线l与x轴相交于点C.
当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|＝a，|AB|＝4a.又因为△OAB的面积为8，
所以|OC|·|AB|＝8，
因此a·4a＝8，解得a＝2，
此时双曲线E的方程为－＝1.
若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为－＝1.
以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：－＝1也满足条件．
设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意，得k>2或k<－2，则C.记A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得y1＝，同理得y2＝.
由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|，得
·＝8，
即m2＝4＝4(k2－4)．
由得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0.
因为4－k2<0，
所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)．
又因为m2＝4(k2－4)，学 .
所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点．
因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.
由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|＝8，得|t|·＝8.
所以t2＝4|1－4m2|＝4(1－4m2)．
由得(4m2－1)y2＋8mty＋4(t2－a2)＝0.
因为4m2－1<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m2t2－16(4m2－1)(t2－a2)＝0，即4m2a2＋t2－a2＝0, 即4m2a2＋4(1－4m2)－a2＝0，即(1－4m2)(a2－4)＝0，
所以a2＝4，
因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.
方法三：(1)同方法一．
由(1)得双曲线E的方程为－＝1，
由得(4－k2)x2－2kmx－m2－4a2＝0.
因为4－k2<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋4a2)＝0，
即(k2－4)(a2－4)＝0，所以a2＝4，
所以双曲线E的方程为－＝1.
当l⊥x轴时，由△OAB的面积等于8可得l：x＝2，又易知l：x＝2与双曲线E：－＝1有且只有一个公共点．
综上所述，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.
5．（2014·广东卷）若实数k满足0
C．虚半轴长相等 D．离心率相等
【答案】A
6．（2014·湖南卷）如图17，O为坐标原点，椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：－＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝，且|F2F4|＝－1.
(1)求C1，C2的方程；
(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点．当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．
图17
【解析】解： (1)因为e1e2＝，所以·＝，即a4－b4＝a4，因此a2＝2b2，从而F2(b，0)，F4(b，0)，于是b－b＝|F2F4|＝－1，所以b＝1，a2＝2.故C1，C2的方程分别为＋y2＝1，－y2＝1.
从而|PQ|＝2＝2.
设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d＝.
因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0，
于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，从而2d＝.
又因为|y1－y2|＝＝，所以2d＝.
故四边形APBQ的面积S＝|PQ|·2d＝＝2·.
而0<2－m2≤2，故当m＝0时，S取最小值2.
综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.
7．（2014·江西卷）如图17所示，已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)．
图17
(1)求双曲线C的方程；
(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．
(2)由(1)知a＝，则直线l的方程为－y0y＝1(y0≠0)，即y＝(y0≠0)．
因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M，
直线l与直线x＝的交点为N，，
则＝＝＝·.
又P(x0，y0)是C上一点，则－y＝1，
代入上式得＝·＝·＝，所以＝＝，为定值．
8．（2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )
A. B．3
C.m D．3m
【答案】A
【解析】双曲线的一条渐近线的方程为x＋y＝0.根据双曲线方程得a2＝3m，b2＝3，所以c＝，双曲线的右焦点坐标为(，0)．故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为＝.
9．（2014·山东卷）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )
A. x±y＝0 B. x±y＝0
C. x±2y＝0 D. 2x±y＝0
【答案】A
10．（2014·天津卷）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】A
【解析】由题意知，双曲线的渐近线为y＝±x，∴＝2.∵双曲线的左焦点(－c，0)在直线l上，∴0＝－2c＋10，∴c＝5.又∵a2＋b2＝c2，∴a2＝5，b2＝20，∴双曲线的方程为－＝1.
11．（2014·浙江卷）设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是 ．
【答案】.
【解析】双曲线的渐近线为y＝±x，渐近线与直线x－3y＋m＝0
的交点为A，B.设AB的中点为D，由|PA|＝|PB|知AB与DP垂直，则D，kDP＝－3，解得a2＝4b2，故该双曲线的离心率是.
12．（2014·重庆卷）设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D．3
【答案】B
1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px(p>0) ]
y2＝－2px(p>0) 学 ]
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点坐标
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点坐标
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
知识拓展
1．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．
2．y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为，准线方程为x＝－.
3．设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．
高频考点一 抛物线的定义及应用
例1、 (1)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是 .
(2)若抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，则|PA|＋|PF|取最小值时点P的坐标为 .
(2)将x＝3代入抛物线方程
y2＝2x，得y＝±.
∵>2，∴A在抛物线内部，如图.
设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.
当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，
∴点P的坐标为(2，2).
答案 (1)9 (2)(2，2)
【方法规律】与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.
【举一反三】 (1)过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于点C，若|AF|＝6，＝λ(λ＞0)，则λ的值为( )
A. B. C. D.3
(2)动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为 .
(2)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
答案 (1)D (2)y2＝4x
【变式探究】(1)设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝ .
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为 ．
答案 (1)8 (2)4
解析 (1)分别过点A，B，P作准线的垂线，垂足分别为M，N，Q，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，
得|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|PQ|＝8.
(2)如图，过点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
高频考点二 抛物线的标准方程和几何性质
例2、(1)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
A.x2＝y B.x2＝y
C.x2＝8y D.x2＝16y
(2)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
(2)不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，圆的方程为x2＋y2＝r2(r>0)，
∵|AB|＝4，|DE|＝2，
抛物线的准线方程为x＝－，
∴不妨设A，D，
∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，
∴∴＋8＝＋5，解得p＝4(负值舍去)，
∴C的焦点到准线的距离为4.
答案 (1)D (2)B
【方法规律】(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
【变式探究】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为 ．
答案
解析
【感悟提升】(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．
【举一反三】(1)若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝ .
答案 2
解析 由于双曲线x2－y2＝1的焦点为(±，0)，故应有＝，p＝2.
(2)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：
①y1y2＝－p2，x1x2＝；
②＋为定值；
③以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
③
设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
高频考点三 直线与抛物线的综合问题
例3、在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.
(1)求；
(2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.
(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点，理由如下：
直线MH的方程为y－t＝x，
即x＝(y－t).
代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，
解得y1＝y2＝2t，
即直线MH与C只有一个公共点，
所以除H以外直线MH与C没有其它公共点.
【举一反三】已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8.
(1)求抛物线C的方程；
(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积.
解 (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，
∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线方程为y2＝8x.
(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.
由得y2－8y－8m＝0，
Δ＝64＋32m>0，∴m>－2.
y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝＝m2.
由题意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，
∴m＝8或m＝0(舍)，∴直线l2：x＝y＋8，M(8，0).
故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2|
＝3＝24.
【方法规律】(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.
(3)涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.
【变式探究】已知抛物线C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.
(1)求抛物线C的焦点坐标；
(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；
(3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
(3)存在，联立方程
消去y得mx2－2x－2＝0，
依题意，有Δ＝(－2)2－4×m×(－2)>0⇒m>－.
设A(x1，mx)，B(x2，mx)，则( )
∵P是线段AB的中点，∴P(，)，
即P(，yP)，∴Q(，)．
得＝(x1－，mx－)，＝(x2－，mx－)，
若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则·＝0，
即(x1－)·(x2－)＋(mx－)(mx－)＝0，
结合( )化简得－－＋4＝0，
即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－，
而2∈(－，＋∞)，－∉(－，＋∞)．
∴存在实数m＝2，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形．
【感悟提升】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
【举一反三】已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
(2)依题意知l与坐标轴不垂直，
故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．
代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
故AB的中点为D(2m2＋1,2m)，
|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)．
又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.
将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．
故MN的中点为E(＋2m2＋3，－)，
|MN|＝|y3－y4|＝，
由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，
从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，
即4(m2＋1)2＋(2m＋)2＋(＋2)2
＝，
化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.
所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
1. （2018年全国I卷理数）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】D
2. （2018年全国Ⅲ卷理数）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则 ．
【答案】2
3. （2018年浙江卷）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
【答案】（Ⅰ）见解析
（Ⅱ）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
所以，．
因此，的面积．
因为，所以．
因此，面积的取值范围是．
4. （2018年北京卷）已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．
【答案】(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）
(2)证明过程见解析
【解析】（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），
所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．
由题意可知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．
由得．
依题意，解得k<0或0
所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．
5. （2018年全国Ⅱ卷理数）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
（1）求的方程；
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．
【答案】(1) y=x–1,(2)或．
【解析】
（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由得．
，故．
所以．
由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．
因此l的方程为y=x–1．
（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为
，即．
设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则
解得或
因此所求圆的方程为
或．
1.【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
8.【2017课标II，理16】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。若为的中点，则 。
【答案】6
【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．
15.【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.
【答案】（Ⅰ）方程为，抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.（Ⅱ）详见解析.
（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为， .
由，得.
则， .
因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.
直线ON的方程为，点B的坐标为.
因为
，
所以.
故A为线段BM的中点.
1. 【2016高考新课标1卷】已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
4.【2016高考新课标2理数】已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）2
【答案】A
【解析】因为垂直于轴，所以，因为，即，化简得，故双曲线离心率.选A.
5.【2016高考浙江理数】已知椭圆C1：+y2=1(m>1)与双曲线C2：–y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）
A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1 C．m
10.【2016高考天津理数】已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）
（A）（B）（C）（D）
【答案】D
【解析】根据对称性，不妨设A在第一象限，，∴，
∴，故双曲线的方程为，故选D.
13.【2016高考山东理数】已知双曲线E： （a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是 .
【答案】2
【解析】假设点A在第一象限，点B在第二象限，则，，所以，，由，得离心率或（舍去），所以E的离心率为2.
14.【2016年高考北京理数】双曲线（，）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则 .
【答案】2
27. 【2016高考上海理数】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点。
（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率.
【答案】（1）．（2）.
【解析】
（1）设．
由题意，，，，
因为是等边三角形，所以，
即，解得．
故双曲线的渐近线方程为．
（2）由已知，，．
设，，直线．显然．
1.【2015高考福建，理3】若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则 等于（ ）
A．11 B．9 C．5 D．3
【答案】B
【解析】由双曲线定义得，即，解得，故选B．
2.【2015高考四川，理5】过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则（ ）
(A) (B) (C)6 （D）
【答案】D
【解析】双曲线的右焦点为，过F与x轴垂直的直线为，渐近线方程为，将代入得：.选D.
3.【2015高考广东，理7】已知双曲线：的离心率，且其右焦点，则双曲线的方程为（ ）
A． B. C. D.
【答案】B．
【解析】因为所求双曲线的右焦点为且离心率为，所以，，所以所求双曲线方程为，故选B．学^
4.【2015高考新课标1，理5】已知M（）是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是( )
（A）（-，） （B）（-，）
（C）（，） （D）（，）
【答案】A
5.【2015高考湖北，理8】将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ）
A．对任意的， B．当时，；当时，
C．对任意的， D．当时，；当时，
【答案】D
【解析】依题意，，，
因为，由于，，，
所以当时，，，，，所以；
当时，，，而，所以，所以.
所以当时，；当时，.
6.【2015高考重庆，理10】设双曲线（a>0,b>0）的右焦点为1，过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ）
A、 B、
C、 D、
【答案】A
7.【2015高考安徽，理4】下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】由题意，选项的焦点在轴，故排除，项的渐近线方程为，即，故选C.
8.【2015高考新课标2，理11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
9.【2015高考北京，理10】已知双曲线的一条渐近线为，则 ．
【答案】
【解析】双曲线的渐近线方程为，，,则
10【2015高考湖南，理13】设是双曲线：的一个焦点，若上存在点，使线段的中点恰为其虚轴的一个端点，则的离心率为 .
【答案】.
【解析】根据对称性，不妨设，短轴端点为，从而可知点在双曲线上，
∴.
11.【2015高考浙江，理9】双曲线的焦距是 ，渐近线方程是 ．
【答案】，.
【解析】由题意得：，，，∴焦距为，
渐近线方程为.
12.【2015高考上海，理9】已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的倍，和的轨迹分别为双曲线和．若的渐近线方程为，则的渐近线方程为 ．
【答案】
13.【2015江苏高考，12】在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。若点到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 .
【答案】
【解析】设，因为直线平行于渐近线，所以点到直线的距离恒大于直线与渐近线之间距离，因此c的最大值为直线与渐近线之间距离，为。
1．（2014·湖北卷）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )
A. B. C．3 D．2
【答案】A
【解析】设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，r1>r2，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2.则由椭圆、双曲线的定义，得r1＋r2＝2a1，r1－r2＝2a2，平方得4a＝r＋r＋2r1r2，4a＝r－2r1r2＋r.又由余弦定理得4c2＝r＋r－r1r2，消去r1r2，得a＋3a＝4c2，
即＋＝4.所以由柯西不等式得＝≤＝.
所以＋≤.故选A.
2．（2014·北京卷）设双曲线C经过点(2，2)，且与－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为 ；渐近线方程为 ．
【答案】－＝1 y＝±2x
【解析】设双曲线C的方程为－x2＝λ，将(2，2)代入得－22＝－3＝λ，∴双曲线C的方程为－＝1.令－x2＝0得渐近线方程为y＝±2x.
3．（2014·全国卷）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝( )
A. B. C. D.
【答案】A
4．（2014·福建卷）已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.
(1)求双曲线E的离心率．
(2)如图16，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．
图16
【解析】解：方法一：
(2)由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.
设直线l与x轴相交于点C.
当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|＝a，|AB|＝4a.又因为△OAB的面积为8，
所以|OC|·|AB|＝8，
因此a·4a＝8，解得a＝2，
此时双曲线E的方程为－＝1.
若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为－＝1.
以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：－＝1也满足条件．
设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意，得k>2或k<－2，则C.记A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得y1＝，同理得y2＝.
由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|，得
·＝8，
即m2＝4＝4(k2－4)．
由得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0.
因为4－k2<0，
所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)．
又因为m2＝4(k2－4)，学 .
所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点．
因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.
由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|＝8，得|t|·＝8.
所以t2＝4|1－4m2|＝4(1－4m2)．
由得(4m2－1)y2＋8mty＋4(t2－a2)＝0.
因为4m2－1<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m2t2－16(4m2－1)(t2－a2)＝0，即4m2a2＋t2－a2＝0, 即4m2a2＋4(1－4m2)－a2＝0，即(1－4m2)(a2－4)＝0，
所以a2＝4，
因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.
方法三：(1)同方法一．
由(1)得双曲线E的方程为－＝1，
由得(4－k2)x2－2kmx－m2－4a2＝0.
因为4－k2<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋4a2)＝0，
即(k2－4)(a2－4)＝0，所以a2＝4，
所以双曲线E的方程为－＝1.
当l⊥x轴时，由△OAB的面积等于8可得l：x＝2，又易知l：x＝2与双曲线E：－＝1有且只有一个公共点．
综上所述，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.
5．（2014·广东卷）若实数k满足0
C．虚半轴长相等 D．离心率相等
【答案】A
6．（2014·湖南卷）如图17，O为坐标原点，椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：－＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝，且|F2F4|＝－1.
(1)求C1，C2的方程；
(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点．当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．
图17
【解析】解： (1)因为e1e2＝，所以·＝，即a4－b4＝a4，因此a2＝2b2，从而F2(b，0)，F4(b，0)，于是b－b＝|F2F4|＝－1，所以b＝1，a2＝2.故C1，C2的方程分别为＋y2＝1，－y2＝1.
从而|PQ|＝2＝2.
设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d＝.
因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0，
于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，从而2d＝.
又因为|y1－y2|＝＝，所以2d＝.
故四边形APBQ的面积S＝|PQ|·2d＝＝2·.
而0<2－m2≤2，故当m＝0时，S取最小值2.
综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.
7．（2014·江西卷）如图17所示，已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)．
图17
(1)求双曲线C的方程；
(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．
(2)由(1)知a＝，则直线l的方程为－y0y＝1(y0≠0)，即y＝(y0≠0)．
因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M，
直线l与直线x＝的交点为N，，
则＝＝＝·.
又P(x0，y0)是C上一点，则－y＝1，
代入上式得＝·＝·＝，所以＝＝，为定值．
8．（2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )
A. B．3
C.m D．3m
【答案】A
【解析】双曲线的一条渐近线的方程为x＋y＝0.根据双曲线方程得a2＝3m，b2＝3，所以c＝，双曲线的右焦点坐标为(，0)．故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为＝.
9．（2014·山东卷）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )
A. x±y＝0 B. x±y＝0
C. x±2y＝0 D. 2x±y＝0
【答案】A
10．（2014·天津卷）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】A
【解析】由题意知，双曲线的渐近线为y＝±x，∴＝2.∵双曲线的左焦点(－c，0)在直线l上，∴0＝－2c＋10，∴c＝5.又∵a2＋b2＝c2，∴a2＝5，b2＝20，∴双曲线的方程为－＝1.
11．（2014·浙江卷）设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是 ．
【答案】.
【解析】双曲线的渐近线为y＝±x，渐近线与直线x－3y＋m＝0
的交点为A，B.设AB的中点为D，由|PA|＝|PB|知AB与DP垂直，则D，kDP＝－3，解得a2＝4b2，故该双曲线的离心率是.
12．（2014·重庆卷）设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D．3
【答案】B
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