2019届二轮复习（理）专题54二项式定理学案（全国通用）


1.能用计数原理证明二项式定理；
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

1．二项式定理
二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N )
二项展开式的通项公式
Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项
二项式系数
二项展开式中各项的系数C，C，…，C
2.二项式系数的性质
(1)当0≤k≤n时，C与C的关系是C＝C．
(2)二项式系数先增后减中间项最大
当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为．
(3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，
C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1．

高频考点一　求二项展开式中的特定项或指定项的系数
例1、已知在的展开式中，第6项为常数项.
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项.
解　(1)通项公式为
Tk＋1＝Cxx－＝Cx.
因为第6项为常数项，所以k＝5时，＝0，即n＝10.
(2)令＝2，得k＝2，
故含x2的项的系数是C＝.

【举一反三】(1)在(－1)4的展开式中，x的系数为 .
(2) (x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)
A.10 B.20
C.30 D.60
答案　(1)6　(2)C
解析　(1)由题意可知Tk＋1＝C()4－k(－1)k＝，令＝1解得k＝2，所以展开式中x的系数为C(－1)2＝6.
(2)方法一　利用二项展开式的通项公式求解.
(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.
所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.
方法二　利用组合知识求解.
(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.
高频考点二　已知二项展开式某项的系数求参数
例2、 (a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝ .
答案　3

【感悟提升】求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可.
【变式探究】(1) (x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为 .(用数字填写答案)
(2) (x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝ .(用数字填写答案)
答案　(1)20　(2)
解析　(1)x2y7＝x·(xy7)，其系数为C，
x2y7＝y·(x2y6)，其系数为－C，
∴x2y7的系数为C－C＝8－28＝－20.
(2)设通项为Tk＋1＝Cx10－kak，令10－k＝7，
∴k＝3，∴x7的系数为Ca3＝15，
∴a3＝，∴a＝.
高频考点三　二项式系数的和或各项系数的和的问题
例3、(1)若二项式的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为(　　)
A.－27C B.27C
C.－9C D.9C
(2) (1－3x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝(　　)
A.1 024 B.243
C.32 D.24
解析　(1)令x＝1得2n＝512，所以n＝9，故的展开式的通项为Tr＋1＝C(3x2)9－r＝(－1)rC·39－rx18－3r，令18－3r＝0得r＝6，所以常数项为T7＝(－1)6C·33＝27C.
(2)令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝[1－(－3)]5＝45＝1 024.
答案　(1)B　(2)A
【举一反三】在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1)二项式系数的和；
(2)各项系数的和；
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
(4)奇数项系数和与偶数项系数和；
(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.学 ]
解　设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，( )各项系数的和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10.
由于( )是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.

(5)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝；
x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝.
【变式探究】已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n (m，n∈N )的展开式中x的系数为11.
(1)求x2的系数取最小值时n的值；
(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和.
解　(1)由已知得C＋2C＝11，∴m＋2n＝11，
x2的系数为C＋22C＝＋2n(n－1) + +k ]
＝＋(11－m)＝2＋.
∵m∈N ，
∴m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.
(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3，
∴f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3.
设这时f(x)的展开式为
f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，
令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33＝59，
令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，
两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，
故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.
高频考点四　二项式定理的应用
例4、(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N＋)能被31整除；
(2)(设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 017＝(　　)
A.i B.－I C.－1＋i D.－1－i

(2)解析　x＝＝＝－1＋i，
Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 017
＝(1＋x)2 017－1＝i2 017－1＝i－1.
答案　C
【方法规律】(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项.而求近似值则应关注展开式的前几项.
(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式.
【举一反三】 设a∈ ，且0≤a