2019届二轮复习（理）专题八选修4系列选讲第一讲选修4－4坐标系与参数方程学案（全国通用）

专题八　选修4系列选讲
第一讲　选修4－4　坐标系与参数方程



考点一　极坐标方程及应用
1．直角坐标与极坐标的互化公式

把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则

2．几个特殊位置的圆的极坐标方程
(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r.
(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acosθ.
(3)当圆心位于M，半径为a：ρ＝2asinθ.
3．几个特殊位置的直线的极坐标方程
(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0.
(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a.
(3)直线过M且平行于极轴：ρsinθ＝b.


[解]　(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.
由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程
ρ＝4cosθ(ρ>0)．
因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB面积
S＝|OA|·ρB·sin∠AOB
＝4cosα·
＝2≤2＋.
当α＝－时，S取得最大值2＋.
所以△OAB面积的最大值为2＋.

解决极坐标问题应关注的两点
(1)用极坐标系解决问题时要注意已知的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来解决．
(2)在极坐标与直角坐标互化的过程中，需要注意当条件涉及“角度”和“距离”时，利用极坐标将会给问题的解决带来很大的便利．

[对点训练]
(2018·福建福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.
[解]　(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，
则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0，
由于直线C2过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．
(2)由得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，
∴＋＝＝＝.
考点二　参数方程及应用
1．圆的参数方程
以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是其中α是参数．
2．椭圆的参数方程
椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数．
3．直线的参数方程
(1)经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是其中t是参数．
(2)若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：
①t0＝；
②|PM|＝|t0|＝；
③|AB|＝|t2－t1|；
④|PA|·|PB|＝|t1·t2|.

角度1：参数方程与普通方程的互化


[解]　(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.
当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.
由
解得或
从而C与l的交点坐标为(3,0)，.
(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离d＝.
当a≥－4时，d的最大值为.由题设得＝，所以a＝8；
当a<－4时，d的最大值为.由题设得＝，所以a＝－16.
综上，a＝8或a＝－16.角度2：直线参数方程中参数几何意义的应用




[解]　(1)曲线C的普通方程为＋＝1.
当cosα≠0时，l的普通方程为y＝tanα·x＋2－tanα，
当cosα＝0时，l的普通方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的普通方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，
所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝，
故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.

解决参数方程问题的3个要点
(1)把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．
(2)把普通方程化为参数方程的关键是选准参数，注意参数的几何意义及变化范围．
(3)直线参数方程为(α为倾斜角，t为参数)，其中|t|＝|PM|，P(x，y)为动点，M(x0，y0)为定点，在解决与点P有关的弦长和距离的乘积问题时广泛应用．

[对点训练]
1．[角度1]设直线l的参数方程为(t为参数，α为倾斜角)，圆C的参数方程为(θ为参数)．
(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；
(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围．
[解]　(1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4)，而圆C的圆心是C(1，－1)，
所以，当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率为k＝.
(2)解法一：由圆C的参数方程得圆C的圆心是C(1，－1)，半径为2.
由直线l的参数方程(t为参数，α为倾斜角)，得直线l的普通方程为y－4＝k(x－3)(斜率存在)，
即kx－y＋4－3k＝0.
当直线l与圆C交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，
即<2，解得k>.
即直线l的斜率的取值范围为.
解法二：将圆C的参数方程化成普通方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4　①，
将直线l的参数方程代入①式，得
t2＋2(2cosα＋5sinα)t＋25＝0.　②.
当直线l与圆C交于两个不同的点时，方程②有两个不相等的实根，即Δ＝4(2cosα＋5sinα)2－100>0，
即20sinαcosα>21cos2α，两边同除以20cos2α，得tanα>，即直线l的斜率的取值范围为.
2．[角度2](2018·郑州一模)已知直线l：(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程．
(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．
[解]　(1)∵ρ＝2cosθ，∴ρ2＝2ρcosθ，
∴曲线C的直线坐标方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.
(2)将直线l：(t为参数)代入曲线C的直角坐标方程中，化简得t2＋5t＋18＝0，且Δ>0.∴t1t2＝18.
∵点M(5，)在直线l上，根据直线参数方程中参数t的几何意义，得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.
考点三　极坐标方程与参数方程的综合应用
1．对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．
2．对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程或极坐标方程计算会比较简捷．



[解]　(1)由消去参数t，得(x＋5)2＋(y－3)2＝2，
所以圆C的普通方程为(x＋5)2＋(y－3)2＝2.
由ρcos＝－，得ρcosθ－ρsinθ＝－2.
可得直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.
(2)直线l与x轴，y轴的交点分别为A(－2,0)，B(0,2)，化为极坐标为A(2，π)，B，
设点P的坐标为(－5＋cost,3＋sint)，则点P到直线l的距离为d＝
＝，
所以dmin＝＝2，又|AB|＝2，
所以△PAB面积的最小值＝×2×2＝4.

解决极坐标与参数方程问题的关键
(1)会转化：把直线与圆的参数方程转化为普通方程时，要关注参数的取值范围的限定，还需掌握极坐标与直角坐标的互化公式．
(2)懂技巧：合理选择直角坐标形式运算、极坐标形式运算、参数坐标形式运算，利用参数及其几何意义，结合关系式寻找关于参数的方程或函数．

[对点训练]
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：(θ为参数，0 (1)将曲线C1与曲线C2化成极坐标方程，并求r的值．
(2)射线θ＝α＋与曲线C1交于点Q，与曲线C2交于O，M两点，求四边形MPNQ面积的最大值．
[解]　(1)将曲线C1的参数方程化为普通方程为x2＋y2＝r2.
所以曲线C1的极坐标方程为ρ＝r.
将曲线C2的参数方程化为普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8，即x2＋y2－4x－4y＝0.
所以曲线C2的极坐标方程为ρ－4cosθ－4sinθ＝0，即ρ＝4sin.
因为|PN|max＝|ρP－ρN|max＝max＝2，
所以r＝2，所以C1：ρ＝2.
(2)S四边形MPNQ＝S△OPM－S△ONQ＝OP·OMsin－ON·OQ·sin＝×4sin×4sin×－×2×2×＝4sin＋4－2.
所以当α＝时，四边形MPNQ面积的最大值为4＋2.

1．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
[解]　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐标方程为
(x＋1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．
记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.
由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．
当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0，经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．
当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝时，l2与C2没有公共点．
综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.
2．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
[解]　(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝时，l与⊙O交于两点．
当α≠时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当<1，解得k<－1或k>1，即α∈或α∈.
综上，α的取值范围是.
(2)l的参数方程为
(t为参数，<α<)．
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsinα＋1＝0.
于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα.
又点P的坐标(x，y)满足
所以点P的轨迹的参数方程是
(α为参数，<α<)．

1.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．
2．全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．

专题跟踪训练(三十二)
1．(2018·湖南长沙联考)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程．
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点分别为M，N，求△C2MN的面积．
[解]　(1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
∴C1：x＝－2的极坐标方程为ρcosθ＝－2，
C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1的极坐标方程为(ρcosθ－1)2＋(ρsinθ－2)2＝1，化简，得ρ2－(2ρcosθ＋4ρsinθ)＋4＝0.
(2)把直线C3的极坐标方程θ＝(ρ∈R)代入
圆C2：ρ2－(2ρcosθ＋4ρsinθ)＋4＝0，
得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.
∴|MN|＝|ρ1－ρ2|＝.
∵圆C2的半径为1，∴|C2M|2＋|C2N|2＝|MN|2，
∴C2M⊥C2N.
∴△C2MN的面积为·|C2M|·|C2N|＝×1×1＝.
2．(2018·洛阳联考)在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝，已知点R.
(1)以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标．
(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．
[解]　(1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2.
∴曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1.
点R的直角坐标为(2,2)．
(2)设点P(cosθ，sinθ)，根据题意得Q(2，sinθ)，即可得|PQ|＝2－cosθ，|QR|＝2－sinθ，
∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin(θ＋60°)．
∴当θ＝30°时，|PQ|＋|QR|取最小值2，
∴矩形PQRS周长的最小值为4.
此时点P的直角坐标为.

3．(2018·安徽皖南八校联考)在平面直角坐标系xOy中，C1的参数方程为(t为参数)，在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－3＝0.
(1)说明C2是哪种曲线，并将C2的方程化为直角坐标方程．
(2)C1与C2有两个公共点A，B，定点P的极坐标，求线段AB的长及定点P到A，B两点的距离之积．
[解]　(1)将代入C2的极坐标方程中得C2的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝4，所以C2是圆．
(2)将C1的参数方程(t为参数)，代入(x－1)2＋y2＝4中得2＋2＝4，化简，得t2＋t－3＝0.
设两根分别为t1，t2，
由根与系数的关系得
所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，
定点P到A，B两点的距离之积|PA|·|PB|＝|t1t2|＝3.

4．(2018·河北衡水中学模拟)在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是ρ＝，在以极点为原点O，极轴为x轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为(θ为参数)．
(1)求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；
(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，若M、N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值．
[解]　(1)∵C1的极坐标方程是ρ＝，
∴4ρcosθ＋3ρsinθ＝24，
∴4x＋3y－24＝0，
故C1的直角坐标方程为4x＋3y－24＝0.
∵曲线C2的参数方程为∴x2＋y2＝1，
故C2的普通方程为x2＋y2＝1.
(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，则曲线C3的参数方程为(α为参数)．设N(2cosα，2sinα)，则点N到曲线C1的距离
d＝
＝
＝(其中φ满足tanφ＝)．
当sin(α＋φ)＝1时，d有最小值，
所以|MN|的最小值为.