2019届二轮复习（理）专题66坐标系学案（全国通用）


1．了解在平面直角坐标系下的伸缩变换。
2．理解极坐标的概念，能进行极坐标和直角坐标的互化。
3．能在极坐标系中给出简单图形(直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程。

一、平面直角坐标系下的伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，
称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．
二、极坐标与直角坐标的互化
设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面的关系式成立：或(θ与(x，y)所在象限一致)．

【特别提醒】
(1)在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．
(2)在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．
注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈ )表示同一点的坐标．
三、曲线的极坐标方程
1．圆的极坐标方程
(1)圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程为ρ＝R.
(2)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2acos θ.
(3)圆心在点处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2asin θ.
2．直线的极坐标方程
(1)过点(a,0)与极轴垂直的直线的极坐标方程为ρcos θ＝a.
(2)过点与极轴平行的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a.
【特别提醒】
(1)确定极坐标方程时要注意极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可． ]
(2)研究曲线的极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及“角度”和“到定点距离”时，引入极坐标系将会给问题的解决带来很大的方便．

高频考点一　平面直角坐标系中的伸缩变换
【例1】 将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
]
(2)由解得或
不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，
于是所求直线方程为y－1＝，
化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，
故所求直线的极坐标方程为ρ＝.
【方法规律】(1)解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，用方程思想求解.
(2)求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入转化.
【变式探究】 在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：
(1)求点A经过φ变换所得点A′的坐标；
(2)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程.

(2)设P′(x′，y′)是直线l′上任意一点.
由伸缩变换φ：得
代入y＝6x，得2y′＝6·＝2x′，
∴y′＝x′为所求直线l′的方程.
高频考点二　极坐标与直角坐标的互化
【例2】 (2016·北京卷改编)在极坐标系中，已知极坐标方程C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cos θ.
(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；
(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离.
解　(1)由C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，
∴x－y－1＝0，表示一条直线.
由C2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ.
∴x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.
所以C2是圆心为(1，0)，半径r＝1的圆.
(2)由(1)知，点(1，0)在直线x－y－1＝0上，
所以直线C1过圆C2的圆心.
因此两交点A，B的连线段是圆C2的直径.
所以两交点A，B间的距离|AB|＝2r＝2.
【方法规律】　(1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0).
(2)进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧.
【变式探究】在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积.

高频考点三　直线与圆的极坐标方程的应用 + +k ]
【例3】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
解　(1)消去t，得C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2，
∴曲线C1表示以点(0，1)为圆心，a为半径的圆.
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组

若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，a＝1.
当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上.
所以a＝1.
【方法规律】(1)第(1)题将曲线C1的参数方程先化成普通方程，再化为极坐标方程，考查学生的转化与化归能力.第(2)题中关键是理解极坐标方程的含义，消去ρ，建立与直线C3：θ＝α0的联系，进而求a.
(2)由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.
【变式探究】 在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin＝1，圆C的圆心的极坐标是C，圆的半径为1.
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)求直线l被圆C所截得的弦长.


1. （2018年全国I卷理数） [选修4—4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求的直角坐标方程；
（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．
【答案】 (1）．
（2）的方程为．
【解析】
（1）由，得的直角坐标方程为．

2. （2018年全国Ⅱ卷理数）[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
【答案】（1）当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）

3. （2018年全国Ⅲ卷理数） [选修4—4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．
（1）求的取值范围；
（2）求中点的轨迹的参数方程．
【答案】（1）
（2） 为参数，
【解析】
（1）的直角坐标方程为．
当时，与交于两点．
当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．
综上，的取值范围是．
（2）的参数方程为为参数，．
设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．
于是，．又点的坐标满足
所以点的轨迹的参数方程是 为参数，．
4. （2018年江苏卷） [选修4—4：坐标系与参数方程]
在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．
【答案】直线l被曲线C截得的弦长为

1.【2017江苏，21】在平面坐标系中中,已知直线的参考方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数).设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值.
【答案】
【解析】直线的普通方程为.
因为点在曲线上，设，
从而点到直线的的距离，
当时， .
因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值.
2. 【2017课标II，理22】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。
（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值。
【答案】(1)；(2) 。
【解析】
（1）设P的极坐标为（）（＞0），M的极坐标为（）由题设知
|OP|= ， =.
由|OP|=16得的极坐标方程
因此的直角坐标方程为.
（2）设点B的极坐标为 （）.由题设知|OA|=2， ，于是△OAB面积

当时， S取得最大值.
所以△OAB面积的最大值为.
3.【2017北京，理11】在极坐标系中，点A在圆上，点P的坐标为（1,0），则|AP|的最小值为 .
【答案】1
【解析】将圆的极坐标方程化为普通方程为 ，整理为 ，圆心，点是圆外一点，所以的最小值就是.
4.【2017课标1，理22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为
.
（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.
【答案】（1）与的交点坐标为， ；（2）或.

（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为
.
当时， 的最大值为.由题设得，所以；
当时， 的最大值为.由题设得，所以.
综上， 或.
1.【2016年高考北京理数】在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，则 .
【答案】2
【解析】直线过圆的圆心，因此
2.【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为（t为参数,a＞0）．
在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=.
（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；
（II）直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a．
【答案】（I）圆,（II）1 ]

（Ⅱ）曲线的公共点的极坐标满足方程组

若，由方程组得，由已知，
可得，从而，解得（舍去），.
时，极点也为的公共点，在上.所以.
3.【2016高考新课标2理数】选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的方程为．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；
（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，，求的斜率．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（I）由可得的极坐标方程

4.【2016高考新课标3理数】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（II）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.
【答案】（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为；（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为. ……5分
（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.
………………8分
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为. ………………10分
1.【2015高考北京，理11】在极坐标系中，点到直线的距离为 ．
【答案】1

2.【2015高考湖北，理16】在直角坐标系中，以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为 ( 为参数) ，与C相交于两点，则 .
【答案】
【解析】因为，所以，所以，即；
由消去得．联立方程组，解得或，
即，，
由两点间的距离公式得.
3.【2015高考广东，理14】(坐标系与参数方程选做题)已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为，则点到直线的距离为 .
【答案】．
【解析】
解：直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，对应的直角坐标方程为：y﹣x=1，
点A的极坐标为A（2，），它的直角坐标为（2，﹣2）．
点A到直线l的距离为：=．
故答案为：．
4.【2015高考安徽，理12】在极坐标中，圆上的点到直线距离的最大值是 .
【答案】

5.【2015高考新课标2，理23】选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线．
（Ⅰ）.求与交点的直角坐标；
（Ⅱ）.若与相交于点，与相交于点，求的最大值．
【答案】（Ⅰ）和；（Ⅱ）．
【解析】
（Ⅰ）由，得
则解得,
（Ⅱ）

当且仅当，即时等号成立，
故．
6.【2015高考福建，理21】选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为.在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为
(Ⅰ)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
(Ⅱ)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．
【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ) ．

(Ⅱ)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即
解得
7.【2015高考陕西，理23】选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极
轴建立极坐标系，的极坐标方程为．
（I）写出的直角坐标方程；
（II）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标．
【答案】（I）；（II）．
【解析】

1．（2014·广东卷）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为 ．
【答案】(1，1)　
【解析】本题主要考查将极坐标方程化为直角坐标方程的方法．将曲线C1的方程ρsin 2θ＝cos θ 化为直角坐标方程为y2＝x，将曲线C2的方程ρsin θ＝1化为直角坐标方程为y＝1.由解得
故曲线C1和C2交点的直角坐标为(1，1)．
2．（2014·湖北卷） (选修4­4：坐标系与参数方程)
已知曲线C1的参数方程是(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，则C1与C2交点的直角坐标为 ．
【答案】　
【解析】由消去t得y＝x(x≥0)，即曲线C1的普通方程是y＝x(x≥0)；由ρ＝2，得ρ2＝4，得x2＋y2＝4，即曲线C2的直角坐标方程是x2＋y2＝4.联立解得
故曲线C1与C2的交点坐标为.
3．（2014·湖南卷）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是 ．
【答案】ρcos θ－ρsin θ＝1　

4．(2014·辽宁卷)选修4­4：坐标系与参数方程
将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
(1)写出C的参数方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得由x＋y＝1得x2＋＝1，即曲线C的方程为x2＋＝1.
故C的参数方程为(t为参数)．
(2)由解得或
不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率k＝，于是所求直线方程为y－1＝，
化为极坐标方程，并整理得
2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝.学 .
5．(2014·陕西卷)C．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点到直线ρsin＝1的距离是 ．
【答案】C．1