2019届二轮复习（理）专题一第四讲不等式学案

第四讲　不等式


年份
卷别
考查角度及命题位置
命题分析
2018
Ⅰ卷
线性规划求最值·T13
1.选择、填空题中的考查以简单的线性规划与不等式性质为主，重点求目标函数的最值，有时也与其他知识交汇考查．
2.基本不等式求最值及应用在课标卷考试中是低频点，很少考查．
3.不等式的解法多与集合、函数、解析几何、导数交汇考查.
Ⅱ卷
线性规划求最值·T14
2017
Ⅰ卷
线性规划求最值·T14
Ⅱ卷
线性规划求最值·T5
Ⅲ卷
线性规划求最值·T13
2016
Ⅰ卷
一元二次不等式的解法、集合的交集运算·T1
不等式比较大小、函数的单调性·T8
线性规划的实际应用·T16
Ⅱ卷
一元二次不等式的解法、集合的并集运算·T2
Ⅲ卷
一元二次不等式的解法、集合的交集运算·T1
不等式比较大小、函数的单调性·T6
线性规划求最值·T13



不等式性质及解法

授课提示：对应学生用书第9页

[悟通——方法结论]
1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．
2．解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．
3．解含参数不等式要正确分类讨论．
[全练——快速解答]
1．(2018·深圳一模)已知a>b>0，cbc　　　 B．ac>bc
C．loga(a－c)>logb(b－c) D.>
解析：法一：(性质推理法)A项，因为a>b，c0，由不等式的性质可得a－c>b－c>0，即>>0，
再由反比例函数的性质可得ac 1＝0，即loga(a－c)b>0，cb－c>0，b－a0，即－>0，
所以>，故D正确．
综上，选D.
法二：(特值验证法)由题意，不妨取a＝4，b＝2，c＝－2.
则A项，ac＝－8，bc＝－4，所以ac0，B>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．




简单的线性规划问题

授课提示：对应学生用书第10页

[悟通——方法结论]
平面区域的确定方法
　解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．
[全练——快速解答]
1．(2017·高考全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件
则z＝x－y的取值范围是(　　)
A．[－3,0]　 B．[－3,2]
C．[0,2] D．[0,3]
解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：y＝x，平移直线l0，当直线z＝x－y过点A(2,0)时，z取得最大值2，当直线z＝x－y过点B(0,3)时，z取得最小值－3，所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]．
答案：B
2．已知平面上的单位向量e1与e2 的起点均为坐标原点O，它们的夹角为.平面区域D由所有满足＝λe1＋μe2的点P组成，其中那么平面区域D的面积为(　　)
A. B.
C. D.
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，不妨令单位向量e1＝(1,0)，e2＝，设向量＝(x，y)，因为＝λe1＋μe2，所以即因为所以表示的平面区域D如图中阴影部分所示，所以平面区域D的面积为，故选D.
答案：D
3．(2018·福州模拟)某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序．已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时．生产一把椅子的利润为1 500元，生产一张桌子的利润为2 000元．该厂每个月木工最多完成8 000个工作时、漆工最多完成1 300个工作时．根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是________元．
解析：设该厂每个月生产x把椅子，y张桌子，利润为z元，则得约束条件

画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，画出直线3x＋4y＝0，平移该直线，可知当该直线经过点P时，z取得最大值．由得即P(200,900)，所以zmax＝1 500×200＋2 000×900＝2 100 000.故每个月所获得的最大利润为2 100 000元．

答案：2 100 000

解决线性规划问题的3步骤


[练通——即学即用]
1．(2018·湘东五校联考)已知实数x，y满足且z＝x＋y的最大值为6，则(x＋5)2＋y2的最小值为(　　)
A．5 B．3
C. D.
解析：作出不等式组
表示的平面区域如图中阴影部分所示，

由z＝x＋y，得y＝－x＋z，平移直线y＝－x，由图形可知当直线y＝－x＋z经过点A时，直线y＝－x＋z的纵截距最大，此时z最大，最大值为6，即x＋y＝6.由得A(3,3)，∵直线y＝k过点A，∴k＝3.(x＋5)2＋y2的几何意义是可行域内的点与D(－5,0)的距离的平方，数形结合可知，(－5,0)到直线x＋2y＝0的距离最小，可得(x＋5)2＋y2的最小值为2＝5.故选A.
答案：A
2．已知变量x，y满足约束条件记z＝4x＋y的最大值是a，则a＝________.
解析：如图所示，变量x，y满足的约束条件的可行域如图中阴影部分所示．作出直线4x＋y＝0，平移直线，知当直线经过点A时，z取得最大值，由解得所以A(1，－1)，此时z＝4×1－1＝3，故a＝3.
答案：3
3．(2018·高考全国卷Ⅰ)若x、y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．
解析：作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．

由z＝3x＋2y得y＝－x＋.
作直线l0：y＝－x.平移直线l0，当直线y＝－x＋过点(2,0)时，z取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.
答案：6



授课提示：对应学生用书第118页

一、选择题
1．已知互不相等的正数a，b，c满足a2＋c2＝2bc，则下列等式中可能成立的是(　　)
A．a>b>c　　 B．b>a>c
C．b>c>a D．c>a>b
解析：若a>b>0，则a2＋c2>b2＋c2≥2bc，不符合条件，排除A，D；
又由a2－c2＝2c(b－c)得a－c与b－c同号，排除C；
当b>a>c时，a2＋c2＝2bc有可能成立，例如：取a＝3，b＝5，c＝1.故选B.
答案：B
2．已知b>a>0，a＋b＝1，则下列不等式中正确的是(　　)
A．log3a>0 B．3a－b
log31，所以a>1，这与b>a>0，a＋b＝1矛盾，所以A不正确；对于B，由3a－b3×2＝6, 所以D不正确，故选C.
答案：C
3．在R上定义运算：xy＝x(1－y)．若不等式(x－a)(x－b)>0的解集是(2,3)，则a＋b＝(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：由题知(x－a)(x－b)＝(x－a)[1－(x－b)]>0，即(x－a)[x－(b＋1)]3.当x3，解得－33或0≤x0，
又x1＋x2＝4a，x1x2＝3a2，
∴x1＋x2＋＝4a＋＝4a＋≥2＝，当且仅当a＝时取等号．
∴x1＋x2＋的最小值是.
答案：C
11．某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为(　　)
A．31 200元 B．36 000元
C．36 800元 D．38 400元
解析：设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z＝1 600x＋2 400y，则约束条件为

作出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点A(5,12)时，有最小值zmin＝36 800(元)．
答案：C
12．(2018·淄博模拟)已知点P(x，y)∈{(x，y)|M(2，－1)，则·(O为坐标原点)的最小值为(　　)
A．－2 B．－4
C．－6 D．－8
解析：由题意知＝(2，－1)，＝(x，y)，设z＝·＝2x－y，显然集合{(x，y)|对应不等式组所表示的平面区域．作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z＝2x－y对应的直线经过点A时，z取得最小值．由得A(－2,2)，所以目标函数的最小值zmin＝2×(－2)－2＝－6，即·的最小值为－6，故选C.
答案：C
二、填空题
13．(2018·青岛模拟)若a>0，b>0，则(a＋b)·的最小值是________．
解析：(a＋b)＝2＋＋＋1＝3＋＋，因为a>0，b>0，所以(a＋b)≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即a＝b时等号成立．所以所求最小值为3＋2.
答案：3＋2
14．(2018·高考全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
解析：由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)，x＋y取得最大值⇔斜率为－1的直线x＋y＝z(z看做常数)的横截距最大，
由图可得直线x＋y＝z过点C时z取得最大值．
由得点C(5,4)，
∴zmax＝5＋4＝9.
答案：9
15．(2018·石家庄模拟)若x，y满足约束条件则z＝的最小值为________．
解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z＝表示区域内的点与点P(－3,2)连线的斜率．由图知当可行域内的点与点P的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，则有＝2，解得k＝－或k＝0(舍去)，所以zmin＝－.
答案：－
16．已知a>b>1，且2logab＋3logba＝7，则a＋的最小值为________．
解析：令logab＝t，由a>b>1得0