2019届二轮复习（文）等差数列及其前n项和学案（全国通用）

 5.2 等差数列及其前n项和
一、 知识梳理：
1．等差数列的定义
如果一个数列 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母 表示．
2．等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是
通项公式的推广：an＝am＋ (n，m∈N )．
3．等差中项：如果A＝，那么A叫做a与b的等差中项．
4．等差数列的常用性质
(1)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N )，则 .
引申：S2n－1＝(2n－1)an.若n为偶数，则S偶－S奇＝；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为 .
若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N )是公差为 的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
5．等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝ 或Sn= ．
6．等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝n2＋n., ⇔Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)．
7．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d0”是“”的 (　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5.（2018年上海，4T）记等差数列的前n项和为Sn，若a3=0，a6+a7=14，则S7= 。
6．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a100，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？









[变式6] 已知数列{an}是等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大的n值是 ．









[变式7] 在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为 ．






5.2 等差数列及其前n项和 跟踪练习
一、 选择题
1．(2016年全国Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝ (　　)
A．100　　　　　　　　 B．99
C．98 D．97
2． (2017年全国Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为A．－24 B．－3 C．3 D．8 (　　)
3．在等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列前13项的和是 (　　)
A．13 B． 26 C．52 D．156
4．在等差数列{an}中，如果a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则数列{an}前9项的和为(　　)
A．297 B．144 C．99 D．66
5．已知Sn表示等差数列{an}的前n项和，且＝，那么等于 (　　)
A. B. C. D.
6．在等差数列{an}中，a1＝2 018，其前n项和为Sn，若－＝－2 008，则S2 018的值等于A．2 017 B．－2 018 C．2 018 D．－2 019 (　　)
7．已知数列{an}是等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率为(　　)
A．4 B. C．－4 D．－[
8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a70的最大自然数n的值为A．6 B．7 C．12 D．13 (　　)
9．在等差数列{an}中，a1>0，a10·a110，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？
解　解法一：由S3＝S11，得3a1＋d＝11a1＋d，则d＝－a1.
从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1.
又a1>0，所以－0>a11>a12>…>a18>…，
所以T18＝|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＋|a11|＋|a12|＋…＋|a18|＝a1＋a2＋…＋a10－(a11＋a12＋…＋a18)＝2S10－S18＝2×36－12＝60.
10．

11．[答案]　－110
12．【答案】 13．【答案】12。
14．[答案]　[解析]　∵{an}，{bn}为等差数列，∴＋＝＋＝＝.
∵＝＝＝＝，∴＝.
15．【答案】5【解析】设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得解得
又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.
16．【答案】(－3,21)
17．解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．
所以{an}的通项公式为an=2n–9．
（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．
18. (1)证明　∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，又an＝－2Sn·Sn－1，
∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0，∴－＝2(n≥2)．
由等差数列的定义知是以＝＝2为首项，以2为公差的等差数列．
(2)解　由(1)知＝＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，
∴Sn＝.当n≥2时，有an＝－2Sn×Sn－1＝－，
又∵a1＝，不适合上式，∴an＝
19．(1)证明：当n＝1时，S1＝a1＝(a1＋2)2，∴(a1－2)2＝0，∴a1＝2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an＋2)2－(an－1＋2)2，∴an－an－1＝4，
∴{an}为等差数列．
(2)由(1)知：an＝a1＋(n－1)4＝4n－2，由bn＝an－30＝2n－31≤0得n≤.
∴{bn}的前15项之和最小，且最小值为－225.
20．解：（I）设等差数列的公差为，
∵，∴，又，∴.
∴.
（II）由（I）知，
∵，∴是以2为首项，2为公比的等比数列.
∴

.
∴.