2019届二轮复习（文）第九章第8节　曲线与方程学案（全国通用）

第8节　曲线与方程
最新考纲　1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质；3.会根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程．

知 识 梳 理
1．曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上点的坐标与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解满足如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
2．求动点的轨迹方程的一般步骤
(1)建系——建立适当的坐标系．
(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．
(3)列式——列出动点P所满足的关系式．
(4)代换——依条件式的特点，将其转化为x，y的方程式，并化简．
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
3．两曲线的交点
设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解．
若此方程组无解，则两曲线无交点．
[常用结论与微点提醒]
求轨迹方程的常用方法
1．直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程．
2．定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程．
3．相关点法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程．
诊 断 自 测
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(　　)
(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．(　　)
(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．(　　)
(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．(　　)
解析　对于(2)，由方程得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0，所以方程表示两条直线，错误；对于(3)，前者表示方程，后者表示曲线，错误；对于(4)，曲线y＝是曲线x＝y2的一部分，错误．
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．已知命题“曲线C上的点的坐标是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题中正确的是(　　)
A．满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上
B．方程f(x，y)＝0是曲线C的方程
C．方程f(x，y)＝0所表示的曲线不一定是曲线C
D．以上说法都正确
解析　曲线C可能只是方程f(x，y)＝0所表示的曲线的一部分，因此答案C正确．
答案　C
3．已知M(－1，0)，N(1，0)，|PM|－|PN|＝2，则动点P的轨迹是(　　)
A．双曲线 B．双曲线左支
C．一条射线 D．双曲线右支
解析　由于|PM|－|PN|＝|MN|，所以D不正确，应为以N为端点，沿x轴正向的一条射线．
答案　C
4．已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是 ．
解析　连接OP，则|OP|＝2，∴P点轨迹是去掉M，N两点的圆，∴方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．
答案　x2＋y2＝4(x≠±2)
5．(选修2－1P35例1改编)曲线C：xy＝2上任一点到两坐标轴的距离之积为 ．
解析　曲线xy＝2上任取一点(x0，y0)，则x0y0＝2，该点到两坐标轴的距离之积为|x0 y0|＝|x0y0|＝2.
答案　2
6．(2018·绍兴一中适应性检测)设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，
(1)当a＝3时，点P的轨迹是 ；
(2)当a≠3时，点P的轨迹是 ．
解析　∵a＋≥2＝6(a>0)．
(1)当a＝3时，a＋＝6，此时|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，P点的轨迹为线段F1F2，
(2)当a≠3，a>0时，|PF1|＋|PF2|>|F1F2|.
由椭圆定义知P点的轨迹为椭圆．
答案　(1)线段F1F2　(2)椭圆

考点一　直接法求轨迹方程
【例1】 (2017·义乌模拟)已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)已知点B(－1，0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点．
(1)解　如图，设动圆圆心为O1(x，y)，

由题意，|O1A|＝|O1M|，
当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点．
∴|O1M|＝，
又|O1A|＝，
∴＝，化简得y2＝8x(x≠0)．
当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0，0)也满足方程y2＝8x，
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.
(2)证明　

由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将y＝kx＋b代入y2＝8x中，
得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0.
其中Δ＝－32kb＋64>0.
由根与系数的关系得，x1＋x2＝，①
x1x2＝，②
因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以＝－，
即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，
(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，
2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0③
将①，②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，
∴k＝－b，此时Δ>0，
∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1，0)．
规律方法　利用直接法求轨迹方程
(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简．
(2)运用直接法应注意的问题
①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的．
②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略．
【训练1】 在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－，则动点P的轨迹方程为 ．
解析　因为点B与点A(－1，1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，－1)．
设点P的坐标为(x，y)，由题意得·＝－，化简得x2＋3y2＝4(x≠±1)．故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)．
答案　x2＋3y2＝4(x≠±1)
考点二　定义法求轨迹方程
【例2】 已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4，动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
解　如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系．

由|O1O2|＝4，得O1(－2，0)，O2(2，0)．
设动圆M的半径为r，
则由动圆M与圆O1内切，
有|MO1|＝r－1；
由动圆M与圆O2外切，有|MO2|＝r＋2.
∴|MO2|－|MO1|＝3＜|O1O2|＝4.
∴点M的轨迹是以O1，O2为焦点，
实轴长为3的双曲线的左支．
∴a＝，c＝2，
∴b2＝c2－a2＝.
∴点M的轨迹方程为－＝1.
规律方法　(1)求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．
(2)理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键．
(3)利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．
【训练2】 已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程．
解　由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．
考点三　相关点法(代入法)求轨迹方程
【例3】 如图，动圆C1：x2＋y2＝t2，1＜t＜3，与椭圆C2：＋y2＝1相交于A，B，C，D四点．点A1，A2分别为C2的左、右顶点．求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．

解　由椭圆C2：＋y2＝1，知A1(－3，0)，A2(3，0)．
设点A的坐标为(x0，y0)；由曲线的对称性，
得B(x0，－y0)，
设点M的坐标为(x，y)，
直线AA1的方程为y＝(x＋3)．①
直线A2B的方程为y＝(x－3)．②
由①②相乘得y2＝(x2－9)．③
又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y＝1－.④
将④代入③得－y2＝1(x＜－3，y＜0)．
因此点M的轨迹方程为－y2＝1(x＜－3，y＜0)．
规律方法　“相关点法”的基本步骤：
(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x0，y0)；
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式
(3)代换：将上述关系式代入主动点满足的曲线方程，便可得到所求被动点的轨迹方程．
【训练3】 已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为(　　)
A.＋＝1(y≠0)
B.＋y2＝1(y≠0)
C.＋3y2＝1(y≠0)
D．x2＋＝1(y≠0)
解析　依题意知F1(－1，0)，F2(1，0)，设P(x0，y0)，
G(x，y)，则由三角形重心坐标关系可得
即代入＋＝1，
得重心G的轨迹方程为＋3y2＝1(y≠0)．
答案　C

基础巩固题组
一、选择题
1．(2017·嘉兴一中质检)若方程x2＋＝1(a是常数)，则下列结论正确的是(　　)
A．任意实数a方程表示椭圆
B．存在实数a方程表示椭圆
C．任意实数a方程表示双曲线
D．存在实数a方程表示抛物线
解析　当a>0且a≠1时，方程表示椭圆，故选B.
答案　B
2．方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是(　　)
A．两条直线 B．两条射线
C．两条线段 D．一条直线和一条射线
解析　原方程可化为或－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线．
答案　D
3．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是(　　)
A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4
C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2
解析　如图，设P(x，y)，圆心为M(1，0)，连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1，

又∵|PA|＝1，
∴|PM|＝＝，
即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.
答案　D
4．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
解析　∵M为AQ的垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5＞|AC|＝2，故M的轨迹是以定点C，A为焦点的椭圆．

∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，
∴M的轨迹方程为＋＝1.
答案　D
5．平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是(　　)
A．直线 B．椭圆 C．圆 D．双曲线
解析　设C(x，y)，因为＝λ1＋λ2，所以(x，y)＝λ1(3，1)＋λ2(－1，3)，即
解得又λ1＋λ2＝1，
所以＋＝1，即x＋2y＝5 ，
所以点C的轨迹为直线，故选A.
答案　A
二、填空题
6．已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若＝，则点P的轨迹方程为 ．
解析　设P(x，y)，R(x1，y1)，由＝知，点A是线段RP的中点，∴即
∵点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，
∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.
答案　y＝2x
7．(2018·台州调考)已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹方程是 ；轨迹所包围的图形的面积为 ．
解析　设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，
得＝2，
∴3x2＋3y2－12x＝0，
即x2＋y2－4x＝0.
∴P的轨迹为以(2，0)为圆心，半径为2的圆．
即轨迹所包围的面积等于4π.
答案　x2＋y2－4x＝0　4π
8．在△ABC中，||＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且||－||＝2，则顶点A的轨迹方程为 ．
解析　以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点．

则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，
|AE|＝|AF|.∴|AB|－|AC|＝2＜|BC|＝4，
∴点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)且a＝，c＝2，∴b＝，∴轨迹方程为－＝1(x＞)．
答案　－＝1(x＞)
三、解答题
9．设λ＞0，点A的坐标为(1，1)，点B在抛物线y＝x2上运动，点Q满足＝λ，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足＝λ，求点P的轨迹方程．

解　由＝λ知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，
则x2－y0＝λ(y－x2)，即y0＝(1＋λ)x2－λy.①
再设B(x1，y1)，由＝λ，
即(x－x1，y0－y1)＝λ(1－x，1－y0)，
解得②
将①式代入②式，消去y0，
得③
又点B在抛物线y＝x2上，
所以y1＝x，再将③式代入y1＝x，得(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝[(1＋λ)x－λ]2，
即(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝(1＋λ)2x2－2λ(1＋λ)x＋λ2，
所以2λ(1＋λ)x－λ(1＋λ)y－λ(1＋λ)＝0.
因λ＞0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x－y－1＝0.
故所求点P的轨迹方程为y＝2x－1.
10．(2016·全国Ⅲ卷)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
解　由题设F，设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，
且A，B，P，Q，
R.
记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.
(1)证明　由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.
记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1＝＝＝＝－＝－b＝k2.所以 AR∥FQ.
(2)解　设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1，0)，
则S△ABF＝|b－a FD|＝|b－a|，
S△PQF＝.由题设可得|b－a|＝，所以x1＝1，x1＝0(舍去)．
设满足条件的AB的中点为E(x，y)．
当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．
当AB与x轴垂直时，E与D重合．
所以，所求轨迹方程为y2＝x－1.
能力提升题组
11．已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足||·||＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x
解析　＝(4，0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)．
∴||＝4，||＝，·＝4(x－2)．根据已知条件得4＝4(2－x)．
整理得y2＝－8x.∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.
答案　B
12．已知△ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1(x>3) D.－＝1(x>4)
解析　如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝63)．

答案　C
13．如图，P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，且＝＋，则动点Q的轨迹方程是 ．

解析　由于＝＋，
又＋＝＝2＝－2，
设Q(x，y)，则＝－＝，
即P点坐标为，
又P在椭圆上，则有＋＝1，
即＋＝1.
答案　＋＝1
14．(2017·温州十校模拟)已知点C(1，0)，点A，B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点．
(1)求点P的轨迹T的方程；

(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．
解　(1)连接CP，OP，由·＝0，知AC⊥BC，
∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|，
由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，
即|OP|2＋|CP|2＝9，
设点P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，
化简，得x2－x＋y2＝4.

(2)存在．根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1，0)的距离的点都在抛物线y2＝2px(p＞0)上，其中＝1.
∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x，
由方程组得x2＋3x－4＝0，
解得x1＝1，x2＝－4，由x≥0，
故取x＝1，此时y＝±2.
故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1，2)．
15．如图所示，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p>0)．点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)．当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.

(1)求p的值；
(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)．
解　(1)因为抛物线C1：x2＝4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y′＝，且切线MA的斜率为－，所以A点坐标为，
故切线MA的方程为y＝－(x＋1)＋.
因为点M(1－，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是
y0＝－(2－)＋＝－，①
y0＝－＝－.②
由①②得p＝2.
(2)设N(x，y)，A，B，x1≠x2.
由N为线段AB的中点知
x＝，③
y＝.④
切线MA，MB的方程分别为
y＝(x－x1)＋，⑤
y＝(x－x2)＋.⑥
由⑤⑥得MA，MB的交点M的坐标为
.
因为点M(x0，y0)在C2上，即x＝－4y0，
所以x1x2＝－.⑦
由③④⑦得x2＝y，x≠0.
当x1＝x2时，A，B重合于原点O，AB的中点N为点O，坐标满足x2＝y.
因此AB的中点N的轨迹方程为x2＝y.