2019届二轮复习 三角函数的图象与性质 学案 （全国通用）
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第1讲 三角函数的图象与性质
高考统计·定方向
热点题型
真题统计
题型1：三角恒等变换
2018全国卷ⅡT15；2016全国卷ⅡT9；
2016全国卷ⅢT5；2015全国卷ⅠT2；
2014全国卷ⅠT8；2014全国卷ⅡT14
题型2：三角函数的图象与解析式
2017全国卷ⅠT9；2016全国卷ⅡT7；
2016全国卷ⅢT14；2015全国卷ⅠT8；
2014全国卷ⅠT8
题型3：三角函数的性质及应用
2018全国卷ⅡT15；2018全国卷ⅠT16；
2017全国卷ⅠT12；2017全国卷ⅡT14；
2016全国卷ⅠT12
命题规律
分析近五年全国卷发现高考命题有以下规律：
1.三角函数的图象变换多以选择题形式出现，属基础题.
2.三角函数的定义、图象与性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值)常与三角恒等变换交汇命题．大多出现在第6～9或第14～15题位置上，属中档题.
题型1 三角恒等变换
(对应学生用书第9页)
■核心知识储备·
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；
(3)tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝.
3．辅助角公式
asin x＋bcos x＝sin(x＋φ).
■高考考法示例·
【例1】 (1)(2016·全国卷Ⅱ)若cos＝，则sin 2α ＝( )
A． B． C．－ D．－
(2)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
(3)如图211，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，，则α＋2β的值为________．
图211
(1)D (2)－ (3)
[(1)∵cos－α＝，
sin 2α＝cos
＝cos＝2cos2－1＝－，故选D．
(2)∵sin α＋cos β＝1，①
cos α＋sin β＝0，②
∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，
∴sin αcos β＋cos αsin β＝－，
∴sin(α＋β)＝－.
(3)cos α＝，α∈，∴sin α＝，∴tan α＝7；
cos β＝，β∈，∴sin β＝，∴tan β＝；
∴tan 2β＝＝，∴tan(α＋2β)＝＝－1，
∵α∈，β∈，∴α＋2β∈，∴α＋2β＝.]
【教师备选】
(1)设α∈，β∈，且tan α＝，则下列结论中正确的是( )
A．2α－β＝ B．2α＋β＝
C．α－β＝ D．α＋β＝
(2)(2018·西安模拟)设α为锐角，若cos＝－，则sin的值为( )
A． B．
C．－ D．
(1)C (2)B [(1)tan α＝＝＝＝＝＝tan，∵α∈，β＋∈，∴α＝β＋，选C．
(2)∵α为锐角，若cos＝－，
设β＝α＋，∵0＜α＜，＜α＋＜，
∴sin β＝，sin 2β＝2sin βcos β＝－，
cos 2β＝2cos2β－1＝－，
∴sin＝sin＝sin
＝sin 2βcos －cos 2βsin ＝×－×＝.故选B．]
[方法归纳] 三角函数式化简求值的“三看”原则
(1)看“角”：分析未知角与已知角间的差别与联系，实现角的合理拆分；
(2)看“名”：常采用切化弦或诱导公式实现函数名称的统一；
(3)看“形”，常借助和、差、倍、半角公式实现三角函数式的形式统一.
■对点即时训练·
1.(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝( )
A． B． C． D．1
B [由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos2α－1＝，所以cos α＝，sin α＝±，得|tan α|＝.由题意知|tan α|＝，所以|a－b|＝.]
2．(2018·成都二诊)若tan ＝，则cos 2α＋sin 2α＝( )
A．－ B．－ C． D．
C [∵tan ＝，∴tan α＝＝＝，
∴cos 2α＋sin 2α＝＝＝＝，故选C．]
【教师备选】
若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是( )
A． B．
C．或 D．或
A [因为α∈，所以2α∈，又sin 2α＝，故2α∈，α∈ ，所以cos 2α＝－，又β∈，故β－α∈，于是cos(β－α)＝－，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－×－×＝，
且α＋β∈，
故α＋β＝，故选A．]
题型2 三角函数的图象与解析式
(对应学生用书第10页)
■核心知识储备·
1．“五点法”作图
设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．
2．图象变换
■高考考法示例·
【例2】 (1)(2016·全国卷Ⅱ)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)
(2)(2018·葫芦岛二模)已知函数f(x)＝sinωx＋(0＜ω＜2)满足条件：f(－)＝0，为了得到y＝f(x)的图象，可将函数g(x)＝cos ωx的图象向右平移m个单位长度(m＞0)，则m的最小值为( )
A．1 B．
C． D．
(1)B (2)A [(1)将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin 2＝2sin的图象．由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即平移后图象的对称轴为x＝＋(k∈Z)．
(2)由题意，得sin＝0，所以－ω＋＝kπ(k∈Z)，结合0＜ω＜2，得ω＝，所以f(x)＝sin＝cos＝cos，所以只需将函数g(x)＝cos x的图象向右至少平移1个单位长度，即可得到函数y＝f(x)的图象，故选A．]
[方法归纳]
1．求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋Β(Α＞0，ω＞0)解析式的方法
字母
确定途径
说 明
A、B
由最值确定
A＝，B＝
ω
由函数的周期确定
利用图象中最高、最低点与x轴交点的横坐标确定周期
φ
由图象上的特殊点确定
代入图象上某一个已知点的坐标，表示出φ后，利用已知范围求φ
2.三角函数图象的平移问题
(1)当原函数与所要变换得到的目标函数的名称不同时，首先要将函数名称统一．
(2)将y＝sin ωx(ω＞0)的图象变换成y＝sin(ωx＋φ)的图象时，应把ωx＋φ变换成ω，根据确定平移量的大小，根据的符号确定平移的方向．
■对点即时训练·
1．(2017·天津高考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．
(1)A (2)D (3) π [(1)法一：f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)
＝sin，
∵T＝＝π，
∴ω＝2.
又f(－x)＝f(x)，即f(x)为偶函数，∴φ＋＝kπ＋，φ＝kπ＋，k∈Z.又|φ|＜，∴φ＝，
∴f(x)＝sin＝cos 2x，
令2kπ＜2x＜2kπ＋π得kπ＜x＜kπ＋，k∈Z.
∴f(x)在上单调递减，故选A．
法二：由f(x)＝sin知T＝＝π，
∴ω＝2.又∵f(x)为偶函数，∴φ＋＝，∴φ＝.
∴f(x)＝cos 2x，依据图象特征可得f(x)在上单调递减．
(2)A项，因为f(x)＝cos的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确．
B项，因为f(x)＝cos图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，B项正确．
C项，f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－π，当k＝1时，x＝，所以f(x＋π)的一个零点为x＝，C项正确．
D项，因为f(x)＝cos的递减区间为(k∈Z)，递增区间为(k∈Z)，所以是减区间，是增区间，D项错误．故选D．
(3)结合图象得＝－，即T＝π.]
【教师备选】
已知向量m＝(sin ωx,1)，n＝(cos ωx，cos2ωx＋1)，设函数f(x)＝m·n＋b.
(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝对称，且当ω∈[0,3]时，求函数f(x)的单调增区间；
(2)在(1)的条件下，当x∈时，函数f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围．
[解] m＝(sin ωx,1)，n＝(cos ωx，cos2ωx＋1)，
f(x)＝m·n＋b＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋1＋b
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋＋b＝sin＋＋b.
(1)∵函数f(x)的图象关于直线x＝对称，
∴2ω·＋＝kπ＋(k∈Z)，
解得ω＝3k＋1(k∈Z)，∵ω∈[0,3]，∴ω＝1，
∴f(x)＝sin＋＋b，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
(2)由(1)知f(x)＝sin＋＋b，
∵x∈，∴2x＋∈，
∴当2x＋∈，即x∈时，函数f(x)单调递增；
当2x＋∈，即x∈时，函数f(x)单调递减．
又f(0)＝f ，
∴当f >0≥f 或f ＝0时，函数f(x)有且只有一个零点．
即sin ≤－b－
