2019届二轮复习 数列的综合应用 学案（全国通用）



1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式
2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法
3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题

热点题型一 公式法求和
例1、（2018年天津卷）设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.
（I）求和的通项公式；
（II）设数列的前n项和为，
（i）求；
（ii）证明.
【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析.

故.
（ii）因为，
所以
【变式探究】等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16。
(1)求数列{an}的通项公式。
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第4项和第16项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn。

【提分秘籍】
几类可以使用公式求和的数列
(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解。 ……
(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式求解。
【举一反三】
已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和。
(1)求an及Sn。
(2)设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q2－(a4＋1)q＋S4＝0。求{bn}的通项公式及其前n项和Tn。
【解析】(1)因为{an}是首项为1，公差为2的等差数列，
.
热点题型二 分组法求和
例2、已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N 。
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和。
【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝－＝n。
故数列{an}的通项公式为an＝n。
(2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn。记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)。
记A＝21＋22＋…22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则
A＝＝22n＋1－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n ＝n。
故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2。
【提分秘籍】
分组转化法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和。
(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和。
提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论。 ……
【举一反三】
在等比数列{an}中，已知a1＝3，公比q≠1，等差数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a2，b13＝a3。
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)记cn＝(－1)nbn＋an，求数列{cn}的前n项和Sn。
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，等差数列{bn}的公差为d。

热点题型三 裂项相消法求和
例3．【2017课标II，理15】等差数列的前项和为，，，则 。
【答案】
【解析】设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意有 ，解得 ，

【考点】 等差数列前n项和公式；裂项求和。
【变式探究】已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an。
(1)求Sn的表达式；
(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn。
【解析】(1)∵S＝an，an＝Sn－Sn－1，(n≥2)，
∴S＝(Sn－Sn－1)，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，①
由题意Sn－1·Sn≠0，
①式两边同除以Sn－1·Sn，得－＝2，
∴数列是首项为＝＝1，公差为2的等差数列。
∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，
∴Sn＝。
(2)又bn＝＝
＝，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝＝。
【提分秘籍】
常见的裂项方法(其中n为正整数)
数列
裂项方法

( 为非零常数)
＝

＝



＝(－)

a>0，a≠1
loga＝loga(n＋1)－logan
【举一反三】
在等比数列{an}(n∈N )中，a1>1，公比q>0，设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0。
(1)求{an}的通项an。
(2)若cn＝，求{cn}的前n项和Sn。
【解析】(1)因为b1＋b3＋b5＝6，所以log2a1＋log2a3＋log2a5＝6，所以log2(a1a3a5)＝6，所以log2(aq6)＝6，

所以Sn＝－
＝－＝－。
热点题型四 错位相减法求和
例4、【2017山东，理19】已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2
（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1, 1)，P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，所围成的区域的面积.

【答案】(I)（II）
（II）过……向轴作垂线，垂足分别为……,
由(I)得
记梯形的面积为.
由题意，
所以
……+
=……+ ①
又……+ ②
①-②得

=
所以
【变式探究】已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N )满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0。
(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式； ……
(2)若bn＝3n＋1，求数列{an}的前n项和Sn。
【解析】(1)因为bn≠0，

【提分秘籍】
利用错位相减法的解题策略
一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是在和式的两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解。若{bn}的公比为参数(字母)，则应对公比分等于1和不等于1两种情况分别求和。
【举一反三】
已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＋2n＝2an。
(1)证明：数列{an＋2}是等比数列。并求数列{an}的通项公式an。
(2)若数列{bn}满足bn＝log2(an＋2)，设Tn是数列的前n项和。求证：Tn<。
【解析】(1)由Sn＋2n＝2an得Sn＝2an－2n，


1. （2018年浙江卷）已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列
{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由是的等差中项得，
.
设，
所以，
因此，
又，所以.
2. （2018年天津卷）设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.
（I）求和的通项公式；
（II）设数列的前n项和为，
（i）求；
（ii）证明.
【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析.

3. （2018年江苏卷）设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．
（1）设，若对均成立，求d的取值范围；
（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．
【答案】（1）d的取值范围为．
（2）d的取值范围为，证明见解析。
【解析】（1）由条件知：．
因为对n=1，2，3，4均成立，

当时，有，从而．
因此，当时，数列单调递增，
故数列的最大值为．
②设，当x>0时，，
所以单调递减，从而 当时，，
因此，当时，数列单调递减，
故数列的最小值为．
因此，d的取值范围为．
4. （2018年全国Ⅱ卷理数） 记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．
【解析】
（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．
（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．
5. （2018年全国Ⅲ卷理数）等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
【答案】（1）或
（2）

1.【2017课标1，理12】几位大生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家习数的兴趣，他们推出了“解数题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是
A．440 B．330 C．220 D．110
【答案】A
【解析】由题意得，数列如下：

和，设，
所以，则，此时，
所以对应满足条件的最小整数，故选A. ……
2.【2017课标II，理15】等差数列的前项和为，，，则 。
【答案】
【解析】设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意有 ，解得 ，
数列的前n项和，
裂项可得，
所以．
3.【2017山东，理19】已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2
（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1, 1)，P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，所围成的区域的面积.

【答案】(I)（II）

①-②得

=
所以
1.【2016高考山东理数】（本小题满分12分）
已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令 求数列的前n项和Tn. ……
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】

两式作差，得


所以
【2015江苏高考，11】数列满足，且（），则数列的前10项和为
【答案】

【2015高考天津，理18】（本小题满分13分）已知数列满足，且
成等差数列.
(I)求的值和的通项公式；
(II)设，求数列的前项和.
【答案】(I) ; (II) .
【解析】（Ⅰ） 由已知，有，即，
所以，又因为，故，由，得，
当时，，
当时，，
所以的通项公式为

【2015高考四川，理16】设数列的前项和，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和，求得成立的n的最小值.
【答案】（1）；（2）10.
【解析】（1）由已知，有，
即.
从而.
又因为成等差数列，即.
所以，解得.
所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列.
故.
（2）由（1）得.
所以.
由，得，即.
因为，
所以.
于是，使成立的n的最小值为10.
【2015高考新课标1，理17】为数列{}的前项和.已知＞0，=.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ）设 ,求数列{}的前项和.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）当时，，因为，所以=3， + + .
当时，==，即，因为，所以=2，
=.
1．（2014·江西卷）已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N )满足
anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.
(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；
(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.
【解析】(1)因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N )，所以－＝2，即cn＋1－cn＝2，
所以数列{cn}是以c1＝1为首项，d＝2为公差的等差数列，故cn＝2n－1.
(2)由bn＝3n－1，知an＝(2n－1)3n－1，于是数列{an}的前n项和Sn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1，3Sn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n，将两式相减得－2Sn＝1＋2×(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n＝－2－(2n－2)×3n，
所以Sn＝(n－1)3n＋1.
2．（2014·全国卷）等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.
(1)求{an}的通项公式； ……
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
＋＝＝.
3．（2014·山东卷）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝(－1)n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】 (1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋×2＝2a1＋2，
S4＝4a1＋×2＝4a1＋12，
由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，
所以an＝2n－1.
(2)由题意可知，
bn＝(－1)n－1
＝(－1)n－1
＝(－1)n－1.
当n为偶数时，
Tn＝－＋…＋－
＝1－

4．（2013·江西卷）正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N ，都有Tn<.
【解析】(1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得
[Sn－(n2＋n) (Sn＋1)＝0.
由于{an}是正项数列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n. + + .
于是a1＝S1＝2，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.
综上，数列{an}的通项为an＝2n.
(2)证明：由于an＝2n，bn＝，
则bn＝＝.
Tn＝

＝<＝.
5．（2013·湖南卷）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－，n∈N ，则
(1)a3＝________；
(2)S1＋S2＋…＋S100＝________．
【解析】(1)－　(2)　[解析 (1)因Sn＝(－1)nan－，则S3＝－a3－，S4＝a4－，解得a3＝－.

6．（2013·山东卷）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＋＝λ(λ为常数)，令cn＝b2n(n∈N )，求数列{cn}的前n项和Rn.
【解析】解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
由S4＝4S2，a2n＝2an＋1
得
解得a1＝1，d＝2，因此an＝2n－1，n∈N .