2019届二轮复习 直线与圆锥曲线的位置关系 学案 （全国通用）

考情速递：

1. （2018•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．

（1）求椭圆C及圆O的方程；

（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．

①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．

【解析】：（1）由题意可设椭圆方程为，

∵焦点F1（﹣，0），F2（，0），∴．

∵∴，又a2﹣b2=c2=3，

解得a=2，b=1．学    ]

∴椭圆C的方程为：，圆O的方程为：x2+y2=3．

学    ]

可得m2=4k2+1，∴3k2+3=4k2+1，结合k＜0，m＞0，解得k=﹣，m=3．

将k=﹣，m=3代入可得，

解得x=，y=1，故点P的坐标为（．

②设A（x1，y1），B（x2，y2），

由⇒k＜﹣．

联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，

|x2﹣x1|==，

O到直线l的距离d=，|AB|=|x2﹣x1|=，

△OAB的面积为S===，

解得k=﹣，（正值舍去），m=3．

∴y=﹣为所求．

2（2018•天津）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，点A的坐标为（b，0），且|FB|•|AB|=6．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若=sin∠AOQ（O为原点），求k的值．

（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），由已知y1＞y2＞0；

∴|PQ|sin∠AOQ=y1﹣y2；又|AQ|=，且∠OAB=，

∴|AQ|=y2，由=sin∠AOQ，可得5y1=9y2；

由方程组，消去x，可得y1=，

∴直线AB的方程为x+y﹣2=0；由方程组，消去x，可得y2=；

由5y1=9y2，可得5（k+1）=3，两边平方，整理得56k2﹣50k+11=0，

解得k=或k=；∴k的值为或．

例1（2018•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．

（1）求l的方程；   

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

【分析】（1）方法一：设直线AB的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得k的值，即可求得直线l的方程；

方法二：根据抛物线的焦点弦公式|AB|=，求得直线AB的倾斜角，即可求得直线l的斜率，求得直线l的方程；

（2）根据过A，B分别向准线l作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根据中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程．

方法二：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式

|AB|===8，解得：sin2θ=，

∴θ=，则直线的斜率k=1，

∴直线l的方程y=x﹣1；

（2）由（1）可得AB的中点坐标为D（3，2），则直线AB的垂直平分线方程为y﹣2=﹣（x﹣3），即y=﹣x+5，

设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则，

解得：或，

因此，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=16或（x﹣11）2+（y+6）2=144．

【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦公式，考查圆的标准方程，考查转换思想思想，属于中档题．

（2018•郴州三模）已知椭圆E：（a＞b＞0）的焦距为2c，且b=，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与x轴交于点M，N，P为椭圆E上的动点，|PM|+|PN|=2a，△PMN面积最大值为．

（1）求圆O与椭圆E的方程；

（2）圆O的切线l交椭圆E于点A，B，求|AB|的取值范围．

（2）①当直线l的斜率不存在时，不妨取直线l的方程为x=1，解得A（1，），B（1，﹣），|AB|=3．

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，kx1+m），B（x2，kx2+m）．

因为直线l与圆相切，所以=1，即m2=1+k2，

联立，消去y可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，

△=48（4k2+3﹣m2）=48（3k2+2）≠0，x1+x2=﹣，x1x2=，．

|AB|==4，

==，

=．

令=t，则0＜t≤，所以|AB|=，t∈（0，]，

所以|AB|=，所以3＜|AB|≤．

综上，|AB|的取值范围是[3，]．

例2（2018•新课标Ⅲ）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．

（1）证明：k＜﹣；

（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=．证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．

【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法得6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，k==﹣=﹣

又点M（1，m）在椭圆内，即，解得m的取值范围，即可得k＜﹣，

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2

由++=，可得x3﹣1=0，由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．即可证明|FA|+|FB|=2|FP|，求得A，B坐标再求公差．

点M（1，m）在椭圆内，即，解得0＜m

∴．

（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），

可得x1+x2=2，∵++=，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0，y1+y2+y3=0，

∴x3=1，y3=﹣（y1+y2）=﹣2m   .   ]

∵m＞0，可得P在第四象限，故y3=﹣，m=，k=﹣1

由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．

则|FA|+|FB|=4﹣，∴|FA|+|FB|=2|FP|，

联立，可得|x1﹣x2|=

所以该数列的公差d满足2d=|x1﹣x2|=，∴该数列的公差为±．

例3（2018•岳阳二模）如图，A，B是椭圆C：=1长轴的两个端点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是kBQ，kAQ，kAP．

（1）求证：kBQ•kAQ=﹣；

（2）若kAP=4kBQ，求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标． 学    ]

【分析】（1）设Q（x1，y1），由题意方程求出A，B的坐标，代入斜率公式即可证明；

（2）由（1）结合kAP=4kBQ，可得kAP•kAQ=﹣1，设P（x2，y2），直线PQ：x=ty+m，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及kAP•kAQ=﹣1列式求得m值，则可证明直线PQ恒过定点，并求出定点坐标．

【证明】：（1）设Q（x1，y1），由椭圆，得B（﹣2，0），A（2，0），

∴；

∴（t2+1）（m2﹣4）+（m﹣2）t（﹣2mt）+（m﹣2）2（t2+4）=0，

∴5m2﹣16m+12=0，解得m=2或m=．

∵m≠2，∴，

∴直线PQ：，恒过定点． 

（2018年北京）已知抛物线C：y2=2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．

（1）求直线l的斜率的取值范围；

（2）设O为原点，=λ，=μ，求证：+为定值．

【解析】（1）∵抛物线C：y2=2px经过点

P（1，2），∴4=2p，解得p=2，

设过点（0，1）的直线方程为y=kx+1，

设A（x1，y1），B（x2，y2）

联立方程组可得

消y可得k2x2+（2k-4）x+1=0，

∴Δ=（2k-4）2-4k2＞0，且k≠0解得k＜1，

且k≠0，x1+x2=-，x1x2=，

故直线l的斜率的取值范围（-∞，0）∪（0，1）．

因为+=+ =+======2，

∴+=2，∴+为定值．

 学      

1.（2018•浙江）已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m＞1）上两点A，B满足=2，则当m=　　时，点B横坐标的绝对值最大．

【答案】5

①﹣②得（y1﹣2y2）（y1+2y2）=﹣3m，

可得y1﹣2y2=﹣m，

解得y1=，y2=，

则m=x22+（）2，

即有x22=m﹣（）2==，

即有m=5时，x22有最大值4，

即点B横坐标的绝对值最大．

故答案为：5．

2. （2018•南通一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，两条准线之间的距离为4．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2+y2=上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．

化为：﹣18x0﹣16=0，≤x0≤．

解得：x0=﹣．代入解得：y0=，

∴kAB=，因此，直线AB的方程为：y=（x+2）．

必刷题：

A卷

1．（2018•江西二模）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（　　）

A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x

【答案】：A

2（2018•济南一模）已知椭圆C：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（　　）   ]

A． B．

C． D．

【答案】：B

【解析】椭圆长轴的长为6，即2a=6，得a=3

∵两个焦点恰好将长轴三等分，

∴2c=•2a=6，得c=1，

因此，b2=a2﹣c2=9﹣1=8，再结合椭圆焦点在x轴上，

可得此椭圆方程为：．

故选：B．

3（2018•江门一模）F是抛物线y2=2x的焦点，以F为端点的射线与抛物线相交于A，与抛物线的准线相交于B，若，则=（　　）

A．1 B． C．2 D．

【答案】：D

【解析】由题意，设A的横坐标为m，则由抛物线的定义，可得，∴m=，

∴|FA|=，|FB|=3，

∴=|FA FB|=，

故选D．

4（2018•吴忠模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆 x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

5（2018•和平区二模）已知点P是直线3x+4y﹣2=0上的点，点Q是圆（x+1）2+（y+1）2=1上的点，则|PQ|的最小值是　　．

【答案】

【解析】：圆心（﹣1，﹣1）到点P的距离的最小值为点（﹣1，﹣1）到直线的距离d==，

故点Q到点P的距离的最小值为d﹣1=．如图：

故答案为：．

6. （2018•焦作四模）已知椭圆Γ：的离心率为，椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4．

（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；

（Ⅱ）直线l与椭圆Γ交于A，B两点，AB的中点M在圆x2+y2=1上，求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．

（Ⅱ）根据题意，直线l与椭圆Γ交于A，B两点，

当直线l的斜率不存在时，

令x=±1，得，，

当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），

由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，

则，，

所以，，

将代入x2+y2=1，得，

又因为=，

原点到直线l的距离，

所以

==×

==．

当且仅当12k2=1+4k2，即时取等号．

综上所述，△AOB面积的最大值为1．

B卷

1.（2018•南开区校级模拟）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（　　）

A． B．=1

C． D．

【答案】：D

【解析】双曲线的一条渐近线方程为y=x，

∴=，

即b=a，

∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，

∴c=，

∴a2+b2=c2=7，

∴a=2，b=，   |  |X|X|K]

∴双曲线的方程为﹣=1．

故选：D．

2（2018•海淀区一模）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且点T（2，1）在椭圆C上，设与OT平行的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，直线TP，TQ分别与x轴正半轴交于M，N两点．

（I）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）判断|OM|+|ON|的值是否为定值，并证明你的结论．

【解析】：（Ⅰ）由题意，   

解得：，，

故椭圆C的标准方程为；

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

则直线，

直线

故，

|OM|+|ON|===

==4．