2019届二轮复习 椭圆 学案 （全国通用）

第05节  椭 圆【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测椭圆(1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.(2)掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.(3)了解圆锥曲线的简单应用.(4)理解数形结合的思想.2014•新课标I. 20；II.20;2015•新课标I. 14；II.20;2016•新课标II. 20;III. 11.2017•新课标I.20;II.20;III. 10.2018•新课标I. 19；II.12; III.20.1.高考对椭圆的考查，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查椭圆的标准方程，结合椭圆的基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查椭圆的几何性质，较多地考查离心率问题；四是考查直线与椭圆的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式等.2.备考重点： (1)掌握椭圆的定义、标准方程、几何性质，关注椭圆的“特征三角形”；（2）熟练运用方程思想及待定系数法；（3）利用数形结合思想，灵活处理综合问题.【知识清单】1.椭圆的定义及其应用1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距．(2)代数式形式：集合①若，则集合P为椭圆；②若，则集合P为线段；③若，则集合P为空集．2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，2.椭圆的标准方程1. 椭圆的标准方程：（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，.2．满足条件：3.椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围 对称性曲线关于轴、原点对称曲线关于轴、原点对称顶点长轴顶点 ,短轴顶点长轴顶点 ,轴顶点焦点焦距离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为4.直线与椭圆的位置关系1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程Ax2＋Bx＋C＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系．2．直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或．（2）弦中点问题，适用“点差法”.【重点难点突破】考点1  椭圆的定义及其应用【1-1】【2018年上海卷】设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）A．     B．     C．     D． 【答案】C【解析】椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．故选：C．【1-2】已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则            .【答案】【领悟技法】1. 涉及到动点到两定点距离之和为常数的问题，可直接用椭圆定义求解．2.涉及椭圆上点、焦点构成的三角形问题，往往利用椭圆定义、勾股定理或余弦定理求解.【触类旁通】【变式一】已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是        ．  【答案】【解析】∵.如图所示，的周长为， 【变式二】【山东省威海市2018届二模】已知椭圆左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为（    ）A．     B．     C．     D． 【答案】D【综合点评】应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.  ]考点2 椭圆的标准方程【2-1】【山西省大同市与阳泉市2018届二测】已知椭圆的左焦点为，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的标准方程为（   ）A．     B．     C．     D． 【答案】B【解析】由左焦点为，可得，即，过点作倾斜角为的直线的方程为，圆心到直线的距离，由直线与圆相交的弦长为，可得，解得，则椭圆方程为，故选B.【2-2】【河北省衡水中学2019届高三上期中】已知圆，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点，则点的轨迹的方程是（    ）A．     B．     C．     D． 【答案】B【解析】由已知，得|PF2|=|PA|，所以|PF2|+|PF1|=|PA|+|PF1|=|F1A|=6又|F1F2|=4，4＜6，根据椭圆的定义，点P的轨迹是F1，F2为焦点，以3为实轴长的椭圆，所以2a=6，2c=4，所以b=，所以，点P的轨迹方程为：．故选：B．【领悟技法】1．求椭圆标准方程的方法求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为 ，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为 (A＞0，B＞0且A≠B)，这种形式在解题中更简便．2．椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏，要深刻理解椭圆中的几何量等之间的关系，并能熟练地应用．【触类旁通】【变式一】【黑龙江省海林市朝鲜族中学】焦点在x轴上的椭圆的长轴长等于4，离心率等于，则该椭圆的标准方程为(　　)A． ＋y2＝1     B． ＋y2＝1C．     D． 【答案】B【变式二】求与椭圆有相同离心率且经过点的椭圆标准方程．【答案】或【解析】法一：∵，设所求椭圆方程为，则，从而，又，∴方程为.若焦点在轴上，设方程为则，且，解得.故所求方程为.法二：若焦点在轴上，设所求椭圆方程为，将点代入，得，故所求方程为.若焦点在轴上，设方程为代入点，得，∴.综上知，所求椭圆的标准方程为或.【综合点评】　1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是：(1)作判断：根据条件判断焦点的位置．(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 ．(3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组．(4)求解，得方程．2．(1)方程与有相同的离心率．(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．考点3 椭圆的几何性质【3-1】【吉林省长春市实验中学2019届高三上开学】直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（    ）A．     B．     C．     D． 【答案】C【3-2】【湖南省长沙市长郡中学2018届高考模拟（二）】已知椭圆：的右焦点为，短轴的一个端点为，直线：交椭圆于，两点，若，点与直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（   ）A．     B．     C．     D． 【答案】B【解析】可设为椭圆的左焦点，连接，根据椭圆的对称性可得四边形是平行四边形，，，取，点到直线的距离不小于，所以，，解得，椭圆的离心率的取值范围是，故选B.【领悟技法】1.在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用解题；2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.【触类旁通】【变式一】椭圆的两顶点为，且左焦点为F，是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为(　　)A．       B．        C．       D．【答案】B【解析】由题可知为直角三角形，其中|AB|＝，，由勾股定理，即，整理得，同除，∴，∵，∴．【变式二】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：的面积只与椭圆的短轴长有关．【答案】（1）；（2）见解析.（2）由（1）知，所以的面积为即的面积只与椭圆的短轴长有关．【综合点评】1.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a－c)，过焦点垂直于长轴的通径长为等．(2)设椭圆上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处．(3)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.2．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．考点4 直线与椭圆的位置关系【4-1】【2018年理新课标I卷】设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.【答案】(1) AM的方程为或. (2)证明见解析.【解析】（1）由已知得，l的方程为x=1.由已知可得，点A的坐标为或.所以AM的方程为或.（2）当l与x轴重合时，.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，，则，直线MA，MB的斜率之和为.由得.将代入得.所以，.则.从而，故MA，MB的倾斜角互补，所以.综上，.【4-2】【2017课标1，理20】已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1， ）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.【答案】（1）.（2）见解析. 【解析】试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此，解得.故C的方程为.【领悟技法】1.涉及直线与椭圆的基本题型有：（1）位置关系的判断（2）弦长、弦中点问题（3）轨迹问题（4）定值、最值及参数范围问题  ]（5）存在性问题2．常用思想方法和技巧有：（1）设而不求（2）坐标法（3）根与系数关系3. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或，求距离．【触类旁通】【变式一】【2018年全国卷Ⅲ理】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．【答案】（1）（2）或设该数列的公差为d，则.②将代入①得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.故，代入②解得.所以该数列的公差为或. 【变式二】【2017江苏，17】 如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为, ,离心率为,两准线之间的距离为8.点在椭圆上，且位于第一象限，过点作 直线的垂线,过点作直线的垂线.  （1）求椭圆的标准方程；  （2）若直线的交点在椭圆上,求点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】解：（1）设椭圆的半焦距为c. 因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，， 解得，于是， 因此椭圆E的标准方程是.由①②，解得，所以.因为点在椭圆上，由对称性，得，即或.又在椭圆E上，故.由，解得；，无解.因此点P的坐标为.【综合点评】1.涉及直线与椭圆的基本题型有：（1）位置关系的判断（2）弦长、弦中点问题（3）轨迹问题（4）定值、最值及参数范围问题（5）存在性问题2．常用思想方法和技巧有：（1）数形结合思想；（2）设而不求；（3）坐标法；（4）根与系数关系.【易错试题常警惕】易错典例：已知椭圆的一个焦点为，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.易错分析：研究直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往易忽视直线的斜率不存在的情况而导致失解．正确解析：（1）由题意知，且有，即，解得，因此椭圆的标准方程为； 学  ]（2）①设从点所引的直线的方程为，即，当从点所引的椭圆的两条切线的斜率都存在时，分别设为、，则，将直线的方程代入椭圆的方程并化简得，，化简得，即，则、是关于的一元二次方程的两根，则，化简得；②当从点所引的两条切线均与坐标轴垂直，则的坐标为，此时点也在圆上.综上所述，点的轨迹方程为.温馨提醒：(1)研究直线与圆锥曲线位置关系问题，要特别注意运用数形结合思想；(2)在解答此类问题时，要注意直线斜率是否存在，分类讨论，避免漏解.【学 素养提升之思想方法篇】化整为零，积零为整——分类讨论思想1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．2.分类讨论思想的常见类型 ⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的； ⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； ⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.【典例】【湖南省长沙市雅礼中学2019届高三月考二】已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（），且点F（，0）为其右焦点。（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l与椭圆C交于B，D两点，满足，且原点到直线l的距离为？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）不存在联立方程，得．则，，．    设，，则，解得．    当斜率不存在时，l的方程为，易求得．综上，不存在符合条件的直线．