2019届二轮复习　不等式学案（全国通用）

第5练　不等式
[明晰考情]　1.命题角度：不等式的性质和线性规划在高考中一直是命题的热点.2.题目难度：中高档难度．

考点一　不等式的性质与解法
要点重组　不等式的常用性质
(1)如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.
(2)如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n≥2)．
(3)如果a＞b＞0，那么＞(n∈N，n≥2)．
方法技巧　(1)解一元二次不等式的步骤
一化(二次项系数化为正)，二判(看判别式Δ)，三解(解对应的一元二次方程)，四写(根据“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集)．
(2)可化为＜0(或＞0)型的分式不等式，转化为一元二次不等式求解．
(3)指数不等式、对数不等式可利用函数单调性求解．
1．若a，b，c为实数，则下列命题为真命题的是(　　)
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
C．若a＜b＜0，则＜
D．若a＜b＜0，则＞
答案　B
解析　B中，∵a＜b＜0，
∴a2－ab＝a(a－b)＞0，ab－b2＝b(a－b)＞0.
故a2＞ab＞b2，B正确．
2．(2018·全国Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)
A．a＋b＜ab＜0 B．ab＜a＋b＜0
C．a＋b＜0＜ab D．ab＜0＜a＋b
答案　B
解析　∵a＝log0.20.3＞log0.21＝0，
b＝log20.3＜log21＝0，∴ab＜0.
∵＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，
∴1＝log0.30.3＞log0.30.4＞log0.31＝0，
∴0＜＜1，∴ab＜a＋b＜0.
3．若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是(　　)
A．a＋＜＜log2(a＋b)
B.＜log2(a＋b)＜a＋
C．a＋＜log2(a＋b)＜
D．log2(a＋b)＜a＋＜
答案　B
解析　方法一　∵a＞b＞0，ab＝1，
∴log2(a＋b)＞log2(2)＝1.
∵＝＝a－1·2－a，令f(a)＝a－1·2－a，
又∵b＝，a＞b＞0，∴a＞，解得a＞1.
∴f′(a)＝－a－2·2－a－a－1·2－a·ln 2
＝－a－2·2－a(1＋aln 2)＜0，
∴f(a)在(1，＋∞)上单调递减．
∴f(a)＜f(1)，即＜.
∵a＋＝a＋a＝2a＞a＋b＞log2(a＋b)，
∴＜log2(a＋b)＜a＋.
故选B.
方法二　∵a＞b＞0，ab＝1，∴取a＝2，b＝，
此时a＋＝4，＝，log2(a＋b)＝log25－1≈1.3，
∴＜log2(a＋b)＜a＋.
故选B.
4．关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由条件知，x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，
故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝，故选A.
5．若关于x的不等式ax－b＞0的解集是(－∞，－2)，则关于x的不等式＞0的解集为____________．
答案　{x|x＜0或1＜x＜2}
解析　∵关于x的不等式ax－b＞0的解集是(－∞，－2)，
∴a＜0，＝－2，∴b＝－2a，
∴＝＞0，即＜0，
解得x＜0或1＜x＜2.
考点二　基本不等式
要点重组　基本不等式：≥(a>0，b>0)
(1)利用基本不等式求最值的条件：一正二定三相等．
(2)求最值时若连续利用两次基本不等式，必须保证两次等号成立的条件一致．
6．若正数x，y满足4x＋y－1＝0，则的最小值为(　　)
A．12 B．10
C．9 D．8
答案　C
解析　由4x＋y－1＝0，得4x＋y＝1，
则＝＝
＝5＋＋≥5＋2 ＝9，
当且仅当x＝，y＝时，等号成立，
所以的最小值为9，故选C.

7．若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由x2＋6xy－1＝0，可得x2＋6xy＝1，
即x(x＋6y)＝1.
因为x，y都是正数，所以x＋6y＞0.
故2x＋(x＋6y)≥2＝2，
即3x＋6y≥2，
故x＋2y≥(当且仅当2x＝x＋6y，即x＝6y>0时等号成立)．故选A.
8.如图，在Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，且满足＝，点M，N在过点P的直线上，若＝λ，＝μ (λ，μ>0)，则λ＋2μ的最小值为(　　)

A．2 B.
C．3 D.
答案　B
解析　＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋＝＋，
因为M，N，P三点共线，所以＋＝1，
因此λ＋2μ＝(λ＋2μ)
＝＋＋≥＋2 ＝，
当且仅当λ＝，μ＝时“＝”成立，
故选B.
9．若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．
答案　4
解析　∵a，b∈R，ab＞0，
∴≥＝4ab＋≥2＝4，
当且仅当即且a，b同号时取得等号．
故的最小值为4.
10．已知a＞0，b＞0，c＞1且a＋b＝1，则·c＋的最小值为________．
答案　4＋2
解析　－2＝＝＋≥2，
当且仅当b＝a时取等号，
所以c＋
≥2(c－1)＋＋2
≥2＋2＝4＋2，
当且仅当2(c－1)＝，
即c＝1＋时取等号，
故·c＋的最小值是4＋2.
考点三　简单的线性规划问题
方法技巧　(1)求目标函数最值的一般步骤：一画二移三求．
(2)常见的目标函数
①截距型：z＝ax＋by；
②距离型：z＝(x－a)2＋(y－b)2；
③斜率型：z＝.
11．(2018·天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋5y的最大值为(　　)
A．6 B．19 C．21 D．45
答案　C
解析　画出可行域如图中阴影部分所示(含边界)，由z＝3x＋5y，得y＝－x＋.

设直线l0为y＝－x，平移直线l0，当直线y＝－x＋过点P(2,3)时，z取得最大值，zmax＝3×2＋5×3＝21.故选C.
12．设x，y满足约束条件则z＝|x＋3y|的最大值为(　　)
A．15 B．13 C．3 D．2
答案　A
解析　画出约束条件所表示的可行域，如图(阴影部分含边界)所示，

设z1＝x＋3y，可化为y＝－x＋，
当直线y＝－x＋经过点A时，
直线在y轴上的截距最大，此时z1取得最大值，
当直线y＝－x＋经过点B时，
直线在y轴上的截距最小，此时z1取得最小值，
由解得A(3,4)，
此时最大值为z1＝3＋3×4＝15；
由解得B(2,0)，
此时最小值为z1＝2＋3×0＝2，
所以目标函数z＝|x＋3y|的最大值为15.
13．若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是(　　)
A．4 B．9 C．10 D．12
答案　C
解析　满足条件的可行域如图阴影部分(包括边界)，x2＋y2是可行域上动点(x，y)到原点(0,0)距离的平方，显然，当x＝3，y＝－1时，x2＋y2取最大值，最大值为10.故选C.

14．(2018·浙江省金华市浦江县高考适应性考试)已知实数x，y满足则此平面区域的面积为______，2x＋y的最大值为________．
答案　1　2
解析　它表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)．

则其围成的平面区域的面积为×2×1＝1；当x＝1，y＝0时，2x＋y取得最大值2.
15．设实数x，y满足约束条件则z＝的最大值是________．
答案　1
解析　满足条件的可行域如图阴影部分(包括边界)所示．

z＝表示点(x，y)与(0,0)连线的斜率，
由可行域可知，最大值为kOA＝＝1.
考点四　绝对值不等式
要点重组　(1)绝对值三角不等式
①|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时等号成立；
②|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时等号成立．
(2)|ax＋b|≤c(c＞0)⇔－c≤ax＋b≤c.
|ax＋b|≥c(c＞0)⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
16．不等式－＞－的解集为(　　)
A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－2)
C．(1，＋∞)
D．(－2,1)
答案　D
解析　由－＞－，可得＜0，
∴－2＜x＜1.
17．已知x，y∈R，下列不等式成立的是(　　)
A．若|x－y2|＋|x2＋y|≤1，则2＋2≤
B．若|x－y2|＋|x2－y|≤1，则2＋2≤
C．若|x＋y2|＋|x2－y|≤1，则2＋2≤
D．若|x＋y2|＋|x2＋y|≤1，则2＋2≤
答案　B
解析　因为|x－y2|＋|x2－y|≥|x2－x＋y2－y|＝≥2＋2－，
所以2＋2≤，因此B正确；
取x＝，y＝－，此时|x－y2|＋|x2＋y|≤1，
但2＋2＞，因此A错误；
取x＝，y＝，此时|x＋y2|＋|x2－y|≤1，
但2＋2＞，因此C错误；
取x＝－，y＝，此时|x＋y2|＋|x2＋y|≤1，
但2＋2＞，因此D错误，故选B.
18．已知f(x)＝x－2，g(x)＝2x－5，则不等式|f(x)|＋|g(x)|≤2的解集为________；|f(2x)|＋|g(x)|的最小值为________．
答案　　3
解析　由题意得|f(x)|＋|g(x)|＝|x－2|＋|2x－5|＝
所以|f(x)|＋|g(x)|≤2等价于
或或解得≤x≤3.
|f(2x)|＋|g(x)|＝|2x－2|＋|2x－5|＝
|f(2x)|＋|g(x)|的图象如图，则由图象易得|f(2x)|＋|g(x)|的最小值为3.

19．已知函数f(x)＝|x2＋ax＋b|在[0，c]内的最大值为M(a，b∈R，c＞0为常数)，且存在实数a，b，使得M取最小值2，则a＋b＋c＝________.
答案　2
解析　令x＝，∵0≤x≤c，c＞0，∴－1≤t≤1，
f(x)＝|x2＋ax＋b|＝
＝
≤＋＋.
∵函数f(x)＝|x2＋ax＋b|在区间[0，c]上的最大值为M，
∴M＝＋＋，
又∵存在实数a，b，使得M取最小值2，
而≥0，≥0，
∴当＝0且＝0时，M有最小值＝2，
又c＞0，解得c＝2，a＝－2，b＝2，
∴a＋b＋c＝2.

1．若不等式(－2)na－3n－1－(－2)n＜0对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　当n为奇数时，要满足2n(1－a)＜3n－1恒成立，
即1－a＜×n恒成立，只需1－a＜×1，
解得a＞；
当n为偶数时，要满足2n(a－1)＜3n－1恒成立，
即a－1＜×n恒成立，只需a－1＜×2，
解得a＜.
综上，＜a＜，故选D.
2．设函数f(x)＝|2x－1|，若不等式f(x)≥对任意实数a≠0恒成立，则x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1]∪[3，＋∞) B．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
C．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
答案　B
解析　不等式f(x)≥对任意实数a≠0恒成立，仅需f(x)≥max.
因为＝－≤3，
所以f(x)≥3，即|2x－1|≥3，
即2x－1≥3或2x－1≤－3，即x≥2或x≤－1，故选B.
3．已知实数x，y满足不等式组则(x－3)2＋(y＋2)2的最小值为________．
答案　13
解析　画出不等式组表示的平面区域(图略)，易知(x－3)2＋(y＋2)2表示可行域内的点(x，y)与(3，－2)两点间距离的平方，通过数形结合可知，当(x，y)为直线x＋y＝2与y＝1的交点(1,1)时，(x－3)2＋(y＋2)2取得最小值13.
4．已知x，y∈R且满足x2＋2xy＋4y2＝6，则z＝x2＋4y2的取值范围为________．
答案　[4,12]
解析　∵2xy＝6－(x2＋4y2)，而2xy≤，
∴6－(x2＋4y2)≤，
∴x2＋4y2≥4(当且仅当x＝2y时取等号)．
又∵(x＋2y)2＝6＋2xy≥0，
即2xy≥－6，
∴z＝x2＋4y2＝6－2xy≤12(当且仅当x＝－2y时取等号)．
综上可知，4≤x2＋4y2≤12.
解题秘籍　(1)不等式恒成立或有解问题能分离参数的，可先分离参数，然后通过求最值解决．
(2)利用基本不等式求最值时要灵活运用两个公式：
①a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号；
②a＋b≥2 (a>0，b>0)，当且仅当a＝b时取等号．注意公式的变形使用和等号成立的条件．
(3)理解线性规划问题中目标函数的实际意义．
(4)含绝对值不等式的恒成立问题可以转化为求含绝对值函数的最值或利用绝对值三角不等式求最值．

1．(2016·浙江)已知a，b＞0，且a≠1，b≠1，若logab＞1，则(　　)
A．(a－1)(b－1)＜0 B．(a－1)(a－b)＞0
C．(b－1)(b－a)＜0 D．(b－1)(b－a)＞0
答案　D
解析　取a＝2，b＝4，则(a－1)(b－1)＝3＞0，排除A；则(a－1)(a－b)＝－2＜0，排除B；(b－1)(b－a)＝6＞0，排除C，故选D.
2．设实数a∈(1,2)，关于x的一元二次不等式x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0的解集为(　　)
A．(3a，a2＋2) B．(a2＋2,3a)
C．(3,4) D．(3,6)
答案　B
解析　∵x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0，∴[x－(a2＋2)](x－3a)<0，又∵a∈(1,2)，∴a2＋2<3a，∴a2＋2 3．(2018·浙江省台州中学模拟)已知实数x，y满足则该不等式组所表示的平面区域的面积为(　　)
A. B. C．2 D．3
答案　B
解析　根据题中所给的约束条件，画出其表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，

解方程组得三个顶点的坐标分别为(1,0)，(2,1)，(4,0)，
根据三角形的面积公式得S＝×(4－1)×1＝，故选B.
4．(2018·浙江省杭州市第二中学模拟)已知不等式组表示的平面区域M的面积为9，若点P(x，y)∈M，则z＝2x＋y的最大值为(　　)
A．3 B．6 C．9 D．12
答案　C
解析　由题意知a>0，作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示(含边界)．

则A(a，a)，B(a，－a)，所以平面区域的面积S＝·a·2a＝9，解得a＝3(舍负)，此时A(3,3)，B(3，－3)，
由图可得当z＝2x＋y过点A(3,3)时，z＝2x＋y取得最大值9，故选C.
5．已知正实数a，b满足＋＝3，则(a＋1)(b＋2)的最小值是(　　)
A. B. C. D．6
答案　B
解析　∵＋＝3，∴2a＋b＝3ab，
又2a＋b≥2，∴2≤3ab，得ab≥，
因此(a＋1)(b＋2)＝ab＋2a＋b＋2＝4ab＋2≥4×＋2＝，当且仅当2a＝b＝时，等号成立．
6．设x，y∈R，下列不等式成立的是(　　)
A．1＋|x＋y|＋|xy|≥|x|＋|y| B．1＋2|x＋y|≥|x|＋|y|
C．1＋2|xy|≥|x|＋|y| D．|x＋y|＋2|xy|≥|x|＋|y|
答案　A
解析　当x＝1，y＝－1时，
1＋2|x＋y|＜|x|＋|y|，故B错误；
当x＝4，y＝时，
1＋2|xy|＜|x|＋|y|，故C错误；
当x＝，y＝－时，
|x＋y|＋2|xy|＜|x|＋|y|，故D错误；
故选A.
7．实数x，y满足且z＝2x＋y的最大值是最小值的4倍，则a的值是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，当目标函数z＝2x＋y经过可行域中的点B(1,1)时有最大值3，当目标函数z＝2x＋y经过可行域中的点A(a，a)时有最小值3a，由3＝4×3a，得a＝.

8．若对任意的x，y∈R，不等式x2＋y2＋xy≥3(x＋y－a)恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1]
答案　B
解析　不等式x2＋y2＋xy≥3(x＋y－a)对任意的x，y∈R恒成立等价于不等式x2＋(y－3)x＋y2－3y＋3a≥0对任意的x，y∈R恒成立，所以Δ＝(y－3)2－4(y2－3y＋3a)＝－3y2＋6y＋9－12a＝－3(y－1)2＋12(1－a)≤0对任意的y∈R恒成立，所以1－a≤0，即a≥1，故选B.
9．设函数f(x)＝，则不等式f(x)＞－f 的解集是________．
答案　
解析　函数f(x)的定义域为(－1,1)且在(－1,1)上单调递增，f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＞－f ⇔f(x)＞f ⇔－＜x＜1，
解得x∈.
10．(2018·诸暨模拟)若x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋y的最大值为______，最小值为______．
答案　6　－10
解析　作出x，y满足约束条件的可行域如图阴影部分(含边界)所示，

由z＝3x＋y知，y＝－3x＋z ，所以动直线y＝－3x＋z在y轴上的截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．
由可行域得B(－2，－4)，A(2,0)，结合可行域可知当动直线经过点B 时，目标函数取得最小值z＝－3×2－4＝－10 .
目标函数经过可行域的点A 时，取得最大值6.
11．(2018·绍兴模拟)若实数x，y，z满足x＋2y＋3z＝1，x2＋4y2＋9z2＝1，则实数z的最小值是________．
答案　－
解析　x＋2y＋3z＝1，则x＝1－2y－3z，据此可得(1－2y－3z)2＋4y2＋9z2＝1，
整理可得4y2＋(6z－2)y＋(9z2－3z)＝0，
满足题意时上述关于y的一元二次方程有实数根，
则Δ＝(6z－2)2－16(9z2－3z)≥0，
整理可得(3z－1)(9z＋1)≤0，则－≤z≤.
则实数z的最小值是－.
12．已知a>0，b>0，则＋的最大值是________．
答案　
解析　∵＋＝，
∴＝.
令＋＝t，则＝.
∵a>0，b>0，∴t≥2，
∴＝.
又∵y＝t＋在上单调递增，
∴min＝2＋＝，
∴＋的最大值是8×＝.