2019届二轮复习　不等式选讲学案（全国通用）

第2讲　不等式选讲
[考情考向分析]　本部分主要考查绝对值不等式的解法．求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
热点一　含绝对值不等式的解法
含有绝对值的不等式的解法
(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)a恒成立⇔f(x)min>a；f(x)a；f(x)对任意的实数a恒成立，求b的取值范围．
解　(1)当b＝1时，f(x)＝|2x＋1|＋|2x－1|>4，
即⇒x>1或
⇒x|b＋1|，所以(2b)2>(b＋1)2，
即(3b＋1)(b－1)>0，
所以b的取值范围为∪(1，＋∞)．
热点三　不等式的证明
1．含有绝对值的不等式的性质
||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
2．算术—几何平均不等式
定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：如果a，b为正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理3：如果a，b，c为正数，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
例3　(2018·合肥模拟)已知函数f(x)＝|x－1|＋.
(1)解不等式f(x)≤x＋1；
(2)设函数f(x)的最小值为c，实数a，b满足a>0，b>0，a＋b＝c，求证：＋≥1.
(1)解　f(x)≤x＋1，即|x－1|＋≤x＋1.
①当x3，∴31，a＝m－1，b＝n－1，m＋n＝4，
＋＝＋＝m＋n＋＋－4＝≥＝1，
当且仅当m＝n＝2时，等号成立，∴原不等式得证．
思维升华　(1)作差法是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．
(2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧．
跟踪演练3　(2018·石家庄模拟)已知函数f(x)＝|3x＋1|＋|3x－1|，M为不等式f(x)|a＋b|.
(1)解　f(x)＝|3x＋1|＋|3x－1|