2019届二轮复习　三角函数、三角恒等变换与解三角形学案（全国通用）

回扣3　三角函数、三角恒等变换与解三角形

1．三种三角函数的性质

2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象

(1)“五点法”作图

设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出相应的x的值与y的值，描点、连线可得．

(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口．

(3)图象变换

y＝sin xy＝sin(x＋φ)

y＝sin(ωx＋φ)

y＝Asin(ωx＋φ)．

3．准确记忆六组诱导公式

对于“±α，k∈Z”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符号看象限．

4．三角函数恒等变换“四大策略”

(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等．

(2)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．

(3)弦、切互化：一般是切化弦．

(4)灵活运用辅助角公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ).

5．正弦定理及其变形

＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．

变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.

sin A＝，sin B＝，sin C＝.

a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.

6．余弦定理及其推论、变形

a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，

c2＝a2＋b2－2abcos C.

推论：cos A＝，cos B＝，

cos C＝.

变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，

a2＋b2－c2＝2abcos C.

7．面积公式

S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C.

1．利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号．

2．在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围．

3．求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解．

4．三角函数图象变换中，注意由y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象时，平移量为，而不是φ.

5．在已知两边和其中一边的对角利用正弦定理求解时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解．

1．若sin θ·cos θ＝，则tan θ＋的值是(　　)

A．－2  B．2  C．±2  D.

答案　B

解析　tan θ＋＝＋＝＝2.

2．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是(　　)

A．y＝sin   B．y＝cos

C．y＝sin 2x＋cos 2x   D．y＝sin x＋cos x

答案　A

解析　化简函数的解析式，A中，y＝cos 2x是最小正周期为π的偶函数．

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝2，c＝，cos A＝－，则b的值为(　　)

A．1  B.  C.  D.

答案　A

解析　根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，

则22＝b2＋()2－2b××，所以b2＋b－2＝0，

解得b＝1，或b＝－2(舍去)，故选A.

4．要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(　　)

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

答案　B

解析　∵y＝sin＝sin，

∴要得到y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向右平移个单位长度．

5．若函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0<θ<π)的图象关于点对称，则函数f(x)在上的最小值是(　　)

A．－1   B．－

C．－   D．－

答案　B

解析　f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)

＝2sin，

则由题意知，f＝2sin＝0，又因为0<θ<π，所以<π＋θ＋<，

所以π＋θ＋＝2π，

所以θ＝，所以f(x)＝－2sin 2x.

又因为函数f(x)在上是减函数，

所以函数f(x)在上的最小值为

f＝－2sin ＝－，故选B.

6．(2016·全国Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A等于(　　)

A.  B.  C．－  D．－

答案　C

解析　设BC边上的高AD交BC于点D，

由题意B＝，AD＝BD＝BC，DC＝BC，

tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tan A＝＝－3，

所以cos A＝－，故选C.

7．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)

A.  B.  C.或  D.或

答案　A

解析　∵sin 2α＝，α∈，

∴2α∈，即α∈，cos 2α＝－，

又sin(β－α)＝，β∈，

∴β－α∈，cos(β－α)＝－，

∴cos(α＋β)＝cos [(β－α)＋2α]

＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α

＝×－×＝，

又α＋β∈，

∴α＋β＝，故选A.

8．设函数y＝sin ωx(ω>0)的最小正周期是T，将其图象向左平移T个单位长度后，得到的图象如图所示，则函数y＝sin ωx(ω>0)的单调递增区间是(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

答案　A

解析　方法一　由已知图象知，y＝sin ωx(ω>0)的最小正周期是2×＝，所以＝，解得ω＝，所以y＝sin x.

由2kπ－≤x≤2kπ＋得到单调递增区间是(k∈Z)．

方法二　因为T＝，所以将y＝sin ωx(ω>0)的图象向左平移T个单位长度后，

所对应的解析式为y＝sin ω.

由图象知，ω＝，所以ω＝，

所以y＝sinx.由2kπ－≤x≤2kπ＋得到单调递增区间是(k∈Z)．

9．已知f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)，函数y＝f(x＋φ)的图象关于直线x＝0对称，则φ的值可以是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　已知f＝sin x＋cos x＝2sin，

y＝f＝2sin关于直线x＝0对称，

所以f(0)＝2sin＝±2，

所以φ＋＝＋kπ，k∈Z，φ＝＋kπ，k∈Z，

当k＝0时，φ＝，故选B.

10．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)－1，其图象与直线y＝1相邻两个交点的距离为，若f(x)>0对x∈恒成立，则φ的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　由已知得函数f(x)的最小正周期为，则ω＝，

当x∈时，x＋φ∈，

因为f(x)>0，即cos>，

所以(k∈Z)，

解得－＋2kπ≤φ≤－＋2kπ(k∈Z)，

又|φ|<，所以－<φ≤－，故选B.

11.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f的值为________．

答案　1

解析　根据图象可知，A＝2，＝－，

所以周期T＝π，ω＝＝2.又函数过点，

所以sin＝1，又0<φ<π，

所以φ＝，则f(x)＝2sin，

因此f＝2sin＝1.

12．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是________．

答案　

解析　由两个三角函数图象的对称中心完全相同可知，两函数的周期相同，故ω＝2，

所以f(x)＝3sin，

那么当x∈时，－≤2x－≤，

所以－≤sin≤1，故f(x)∈.

13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，角B为锐角，且sin2B＝8sin A·sin C，则的取值范围为____________．

答案　

解析　因为sin2B＝8sin A·sin C，由正弦定理可知，

b2＝8ac，所以cos B＝

＝＝

＝－5∈(0,1)，

令t＝，t>0，则0<－5<1，

解得<t2<，即t∈.

14.如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝，cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，则BC的长为________．

答案　3

解析　因为cos∠BAD＝－，

故sin∠BAD＝＝，

在△ADC中运用余弦定理，可得

cos∠CAD＝＝，

则sin∠CAD＝ ＝，

所以sin∠BAC＝sin(∠BAD－∠CAD)

＝×＋×＝＝，

在△ABC中运用正弦定理，可得

＝⇒BC＝××＝3.

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0.

(1)求角B的大小；

(2)若a＝2，b＝，求△ABC的面积．

解　(1)由已知得

－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin Acos B＝0，

即sin Asin B－sin Acos B＝0，因为sin A≠0，

所以sin B－cos B＝0，

又cos B≠0，所以tan B＝，

又0<B<π，所以B＝.

(2)因为sin B＝，cos B＝，b＝，

所以＝＝＝，

又a＝2，所以sin A＝＝，

因为a<b，所以cos A＝.

因为A＋B＋C＝π，

所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝，

所以S△ABC＝absin C＝.

16．已知函数f(x)＝sin xcos x＋sin2x＋(x∈R)．

(1)当x∈时，求函数f(x)的最小值和最大值；

(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝，f(C)＝2，若向量m＝(1，a)与向量n＝(2，b)共线，求a，b的值．

解　(1)∵函数f(x)＝sin xcos x＋sin2x＋(x∈R)，

∴f(x)＝sin 2x＋＋

＝sin 2x－cos 2x＋1

＝sin＋1.

∵－≤x≤，∴－≤2x－≤，

∴－≤sin≤1，

∴1－≤sin＋1≤2，

∴f(x)的最小值是1－，最大值是2.

(2)∵f(C)＝sin＋1＝2，

∴sin＝1，

∵0<C<π，∴－<2C－<，

∴2C－＝，解得C＝.

∵向量m＝(1，a)与向量n＝(2，b)共线，

∴b－2a＝0，即b＝2a.①

由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos ，

即a2＋b2－ab＝3.②

由①②得a＝1，b＝2.