2019届二轮复习　立体几何[解答题突破练]学案（全国通用）

第16练　立体几何[解答题突破练]
[明晰考情]　1.命题角度：高考中考查线面的位置关系和线面角，更多体现传统方法.2.题目难度：中档难度．

考点一　空间中的平行、垂直关系
方法技巧　(1)平行关系的基础是线线平行，比较常见的是利用三角形中位线构造平行关系，利用平行四边形构造平行关系．
(2)证明线线垂直的常用方法
①利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；
②利用勾股定理的逆定理；
③利用线面垂直的性质．
1．如图，在六面体ABCDE中，平面DBC⊥平面ABC，AE⊥平面ABC.

(1)求证：AE∥平面DBC；
(2)若AB⊥BC，BD⊥CD，求证：AD⊥DC.
证明　(1)过点D作DO⊥BC，O为垂足．

又∵平面DBC⊥平面ABC，平面DBC∩平面ABC＝BC，DO⊂平面DBC，
∴DO⊥平面ABC.
又AE⊥平面ABC，
∴AE∥DO.
又AE⊄平面DBC，DO⊂平面DBC，
故AE∥平面DBC.
(2)由(1)知，DO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴DO⊥AB.
又AB⊥BC，且DO∩BC＝O，DO，BC⊂平面DBC，
∴AB⊥平面DBC.
∵DC⊂平面DBC，
∴AB⊥DC.
又BD⊥CD，AB∩DB＝B，AB，DB⊂平面ABD，
∴DC⊥平面ABD.
又AD⊂平面ABD，
∴AD⊥DC.
2．(2018·江苏)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中， AA1＝AB，AB1⊥B1C1.

求证：(1)AB∥平面A1B1C；
(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.
证明　(1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1.
因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，
所以AB∥平面A1B1C.
(2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，
四边形ABB1A1为平行四边形．
又因为AA1＝AB，
所以四边形ABB1A1为菱形，
因此AB1⊥A1B.
又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，
所以AB1⊥BC.
又因为A1B∩BC＝B，A1B，BC⊂平面A1BC，
所以AB1⊥平面A1BC.
因为AB1⊂平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.
3．(2018·全国Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．

(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．
(1)证明　因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，
所以OP⊥AC，且OP＝2.
如图，连接OB.

因为AB＝BC＝AC，
所以△ABC为等腰直角三角形，
所以OB⊥AC，OB＝AC＝2.
由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.
因为OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，
OB，AC⊂平面ABC，
所以PO⊥平面ABC.
(2)解　作CH⊥OM，垂足为H，
又由(1)可得OP⊥CH，
因为OM∩OP＝O，OM，OP⊂平面POM，
所以CH⊥平面POM.
故CH的长为点C到平面POM的距离．
由题意可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，
∠ACB＝45°，
所以在△OMC中，由余弦定理可得OM＝，
CH＝＝.
所以点C到平面POM的距离为.
4．如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.

(1)求三棱锥P－ABC的体积；
(2)证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．
解　(1)∵AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，
∴S△ABC＝·AB·AC·sin 60°＝.
由PA⊥平面ABC可知，PA是三棱锥P－ABC的高，且PA＝1，
∴三棱锥P－ABC的体积V＝·S△ABC·PA＝.
(2)在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N，在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM.

∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴PA⊥AC，
∴MN⊥AC.
又∵BN⊥AC，BN∩MN＝N，BN，MN⊂平面BMN，
∴AC⊥平面MBN.
又∵BM⊂平面MBN，∴AC⊥BM.
在Rt△BAN中，AN＝AB·cos∠BAC＝，
从而NC＝AC－AN＝，
由MN∥PA，得＝＝.
考点二　空间角的求解
要点重组　设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α，β的法向量分别为u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)．
(1)线线角
设l，m所成的角为θ，则
cos θ＝＝.
(2)线面角
设直线l与平面α所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈a，u〉|＝.
(3)二面角
设α－l－β的平面角为θ，
则|cos θ|＝|cos〈u，v〉|＝.
方法技巧　求空间角的两种方法
(1)按定义作出角，然后利用图形计算．
(2)利用空间向量，计算直线的方向向量和平面的法向量，通过向量的夹角计算．
5．(2018·诸暨模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠CDA＝，AB＝2CD＝2，E是CD的中点．

(1)证明：AE⊥PB；
(2)设F是棱PB上的点，EF∥平面PAD，求EF与平面PAB所成角的正弦值．
(1)证明　取AD的中点G，连接PG，BG，

平面PAD⊥平面ABCD，PG⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD，
∴PG⊥平面ABCD，∴AE⊥PG.
又∵tan∠DAE＝tan∠ABG，∴AE⊥BG.
又∵PG∩BG＝G，PG，BG⊂平面PBG，
∴AE⊥平面PBG，∴AE⊥PB.
(2)解　作FH∥AB交PA于点H，连接DH，

∵EF∥平面PAD，平面FHDE∩平面PAD＝DH，
∴EF∥DH.
∴四边形FHDE为平行四边形．
∴HF＝DE＝AB，
即H为PA的一个四等分点．
又AB⊥AD，平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，AB⊂平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD，
作DK⊥PA于点K，
∴AB⊥DK，DK⊥PA，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，
∴DK⊥平面PAB，
∴∠DHK为所求线面角，
sin∠DHK＝＝＝.
6．在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的正方形，点C在平面AA1B1B上的射影H恰好为A1B的中点，且CH＝，设D为CC1的中点．
(1)求证：CC1⊥平面A1B1D；
(2)求DH与平面AA1C1C所成角的正弦值．

方法一　(几何法)
(1)证明　因为CC1∥AA1且在正方形AA1B1B中AA1⊥A1B1，
所以CC1⊥A1B1，
取A1B1的中点E，连接DE，HE，
则HE∥BB1∥CC1且HE＝BB1＝CC1.
又D为CC1的中点，
所以HE∥CD且HE＝CD，
所以四边形HEDC为平行四边形，
因此CH∥DE，
又CH⊥平面AA1B1B，
所以CH⊥HE，DE⊥HE，
所以DE⊥CC1，
又A1B1∩DE＝E，A1B1，DE⊂平面A1B1D，
所以CC1⊥平面A1B1D.

(2)解　取AA1的中点F，连接CF，作HK⊥CF于点K，
因为CH∥DE，FH∥A1B1，CH∩FH＝H，DE∩A1B1＝E，
所以平面CFH∥平面A1B1D，
由(1)得CC1⊥平面A1B1D，
所以CC1⊥平面CFH，又HK⊂平面CFH，
所以HK⊥CC1，
又HK⊥CF，CF∩CC1＝C，CF，CC1⊂平面AA1C1C，
所以HK⊥平面AA1C1C，
所以DH与平面AA1C1C所成的角为∠HDK.
在Rt△CFH中，CF＝＝2，KH＝，
在Rt△DHK中，
由于DH＝2，sin∠HDK＝＝，
故DH与平面AA1C1C所成角的正弦值为.
方法二　(向量法)
(1)证明　如图，以H为原点，建立空间直角坐标系，

则C(0,0，)，C1(，，)，A1(，0,0)，
B1(0，，0)，D，
所以＝(，，0)，＝，
＝.
所以·＝0，·＝0，
因此CC1⊥平面A1B1D.
(2)解　设平面AA1C1C的法向量为n＝(1，x，y)，
由于＝(，，0)，＝(－，0，)，
则n·＝＋x＝0，
n·＝－＋y＝0，
得x＝－1，y＝，
所以n＝.
又＝，
设θ为DH与平面AA1C1C所成的角，
所以sin θ＝＝＝，
故DH与平面AA1C1C所成角的正弦值为.
7．(2018·浙江省杭州市第二中学模拟)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABD＝30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF∥BD，且BD＝2EF.
(1)求证：平面ADE⊥平面BDEF；
(2)若二面角C－BF－D的大小为60°，求CF与平面ABCD所成角的正弦值．

(1)证明　在△ABD中，∠ABD＝30°，
由AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos 30°，
解得BD＝，
所以AD2＋BD2＝AB2，
根据勾股定理得∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD.
又因为DE⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
所以AD⊥DE.
又因为BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDEF，
所以AD⊥平面BDEF，
又AD⊂平面ADE，
所以平面ADE⊥平面BDEF，
(2)解　方法一　如图，由(1)可得∠ADB＝90°，∠ABD＝30°，
则∠BDC＝30°，则△BCD为锐角为30°的等腰三角形．
CD＝CB＝1, 则CG＝.
过点C作CH∥DA，交DB，AB于点G，H，
则点G为点F在平面ABCD上的投影．连接FG，

则CG⊥BD，DE⊥平面ABCD，则CG⊥平面BDEF.
过点G作GI⊥BF于点I，连接HI，CI，
则BF⊥平面GCI，
即∠GIC为二面角C－BF－D的平面角，
则∠GIC＝60°.
则tan 60°＝，CG＝，则GI＝ .
在直角梯形BDEF中，G为BD的中点，BD＝，GI⊥BF，GI＝，
设DE＝x ，则GF＝x，
S△BGF＝·BG·GF＝·BF·GI，
则DE＝.tan∠FCG＝＝，
则sin∠FCG＝，即CF与平面ABCD所成角的正弦值为.
方法二　由题意可知DA，DB，DE两两垂直，以D为坐标原点，DA，DB，DE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.

设DE＝h，则D(0,0,0)，B(0，，0)，C，F.
＝，＝，
设平面BCF的法向量为m＝(x，y，z)，
则
所以取x＝，
所以m＝，
取平面BDEF的法向量为n＝(1,0,0)，
由|cos〈m，n〉|＝＝cos 60°，
解得h＝，则DE＝，
又＝，
则||＝，
设CF与平面ABCD所成的角为α，
则sin α＝＝.
故直线CF与平面ABCD所成角的正弦值为.
8.如图，在四棱锥P－ABCD ，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝1，DA＝2，DP⊥平面ABP，O，M分别是AD，PB的中点．

(1)求证：PD∥平面OCM；
(2)若AP与平面PBD所成的角为60°，求线段PB的长．
(1)证明　连接OB，设BD与OC的交点为N，连接MN.

因为O为AD的中点，AD＝2，
所以OA＝OD＝1＝BC.
又因为AD∥BC，
所以四边形OBCD为平行四边形，
所以N为BD的中点，
又因为M为PB的中点，
所以MN∥PD.
又因为MN⊂平面OCM，PD⊄平面OCM，
所以PD∥平面OCM.
(2)解　由四边形OBCD为平行四边形，知OB＝CD＝1，
所以△AOB为等边三角形，所以∠BAD＝60°
所以BD＝＝，
即AB2＋BD2＝AD2，即AB⊥BD.
因为DP⊥平面ABP，所以AB⊥PD.
又因为BD∩PD＝D，BD，PD⊂平面BDP，
所以AB⊥平面BDP，
所以∠APB为AP与平面PBD所成的角，即∠APB＝60°，
所以在Rt△ABP中，可得PB＝.


例　(15分)如图，已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，现将△DAC沿着对角线AC向上翻折到△PAC的位置，此时PA⊥PB.

(1)求证：平面PAB⊥平面ABC；
(2)求直线AB与平面PAC所成角的正弦值．
审题路线图
(1)―→―→―→
→
(2)方法一　(作角)
―→―→

方法二　(向量法)
―→―→
―→―→
规范解答·评分标准
(1)证明　因为PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，
所以PA⊥平面PBC，2分
所以PA⊥BC，
又BC⊥AB，AB∩AP＝A，
所以BC⊥平面PAB，4分
又BC⊂平面ABC，
所以平面PAB⊥平面ABC.6分
(2)解　方法一　如图，作BD⊥PC于点D，连接AD，
由(1)知，PA⊥平面PBC，
所以PA⊥BD，
而BD⊥PC，PA∩PC＝P，PA，PC⊂平面PAC，
所以BD⊥平面PAC，
所以∠BAD为直线AB与平面PAC所成的角．9分
在Rt△PBC中，BC＝3，PC＝4，PB＝，

所以BD＝，又AB＝4，
在Rt△ADB中，sin∠BAD＝＝，13分
所以直线AB与平面PAC所成角的正弦值为.15分
方法二　由(1)知平面PAB⊥平面ABC，
所以在平面PAB内，过点P作PE⊥AB于点E，
则PE⊥平面ABC，
如图，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系(z轴与直线PE平行)，

在Rt△PBC中，BC＝3，PC＝4，PB＝，
在Rt△APB中，AP＝3，AB＝4，PE＝，BE＝，
可知A(0，－4,0)，B(0,0,0)，C(－3,0,0)，
P，＝(－3,4,0)，＝，10分
则易得平面PAC的一个法向量为m＝，12分
＝(0,4,0)，所以cos〈，m〉＝＝，
故直线AB与平面PAC所成角的正弦值为.15分
构建答题模板
方法一
[第一步]　找垂直：利用图形中的线线垂直推证线面垂直和面面垂直．
[第二步]　作角：利用定义结合垂直关系作出所求角．
[第三步]　计算：将所求角放在某三角形中，计算．
方法二
[第一步]　找垂直：利用图形中的线线垂直推证线面垂直和面面垂直，同时为建系作准备．
[第二步]　写坐标：建立空间直角坐标系，写出特殊点的坐标．
[第三步]　求向量：求直线的方向向量或平面的法向量．
[第四步]　求夹角：计算向量的夹角，得到所求的线面角或二面角．

1．在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，BC＝CD＝＝2.
(1)证明：BD⊥PA；
(2)若△PAD为正三角形，求直线PA与平面PBD所成角的余弦值．

(1)证明　在直角梯形ABCD中，因为AD＝＝2，BD＝＝2，AB＝4，
所以AD2＋BD2＝AB2，所以BD⊥AD.
又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，BD⊂底面ABCD，
所以BD⊥平面PAD，
又PA⊂平面PAD，
所以BD⊥PA.
(2)解　方法一　如图，取PD的中点M，连接AM，BM.
因为△PAD为正三角形，所以AM⊥PD.
又由(1)知，BD⊥平面PAD，
所以平面PBD⊥平面PAD，
又平面PAD∩平面PBD＝PD，AM⊂平面PAD，
所以AM⊥平面PBD，
故∠APM即为直线PA与平面PBD所成的角．
故cos∠APM＝，
即直线PA与平面PBD所成角的余弦值为.

方法二　在平面PAD内，过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，取AB的中点N，连接QN，易知，PQ，AQ，QN两两垂直．

以Q为坐标原点，QA，QN，QP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则P(0,0，)，A(，0,0)，
B(－，2，0)，D(－，0,0)．
设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量．
由n·＝0，n·＝0，且＝(0,2，0)，
＝(－，0，－)，
得
取z＝－1，则n＝( ，0，－1)，
又＝(，0，－)，
所以cos〈n，〉＝＝，
因此直线PA与平面PBD所成角的余弦值为.
2．设平面ABCD⊥平面ABEF，AB∥CD，AB∥EF，∠BAF＝∠ABC＝90°，BC＝CD＝AF＝EF＝1，AB＝2.

(1)证明： CE∥平面ADF；
(2)求直线DF与平面BDE所成角的正弦值．
(1)证明　∵AB∥CD, AB∥EF，∴CD∥EF.
又∵CD＝EF，
∴四边形CDFE是平行四边形．
∴CE∥DF，又CE⊄平面ADF，DF⊂平面ADF，
∴CE∥平面ADF.
(2)解　取AB的中点G，连接CG交BD于点O，连接EO，EG.
∵CD∥EF，
∴DF与平面BDE所成的角等于CE与平面BDE所成的角．
∵AB⊥AF，平面ABCD⊥平面ABEF，
∴AF⊥平面ABCD.
又∵EG∥AF，
∴EG⊥平面ABCD，
∴EG⊥BD.连接DG，

在正方形BCDG中，BD⊥CG，
故BD⊥平面ECG.
∴平面BDE⊥平面ECG.
在平面CEO中，作CH⊥EO，交直线EO的延长线于点H，得CH⊥平面BDE.
∴∠CEH是CE与平面BDE所成的角．
过点G作GQ⊥EO.
∵OC＝OG，
∴CH＝GQ＝.
∵CE＝，
∴sin∠CEH＝＝.
3．(2018·宁波模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAD为正三角形，四边形ABCD为直角梯形，CD∥AB，BC⊥AB，平面PAD⊥平面ABCD，点E，F分别为AD，CP的中点，AD＝AB＝2CD＝2.
(1)证明：直线EF∥平面PAB；
(2)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．

(1)证明　设BC的中点为M，连接EM，FM，
易知EM∥AB，FM∥PB，
因为EM∥AB，EM⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
所以EM∥平面PAB.
同理FM∥平面PAB.
又EM∩FM＝M，EM⊂平面FEM，FM⊂平面FEM，
所以平面FEM∥平面PAB，
又EF⊂平面FEM，
所以直线EF∥平面PAB.

(2)解　连接PE，PM，
因为平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，且PE⊥AD，PE⊂平面PAD，
所以PE⊥平面ABCD，PE⊥BC.
又因为EM⊥BC，PE∩EM＝E，
所以BC⊥平面PEM，
所以平面PBC⊥平面PEM.
过点E作EH⊥PM于点H，连接FH，
由平面PBC⊥平面PEM可知，EH⊥平面PBC.
所以直线EF与平面PBC所成的角为∠EFH.
易求得EF＝PC＝，EH＝，
所以sin∠EFH＝＝＝.
4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AB的中点，将△ADE沿直线DE折起至△A′DE的位置，使得平面A′DE⊥平面BCDE，F为线段A′C的中点．
(1)求证：BF∥平面A′DE；
(2)求直线A′B与平面A′DE所成角的正切值．

(1)证明　取A′D的中点M，连接FM，EM，
∵F为A′C的中点，
∴FM∥CD且FM＝CD，
又E为AB的中点，且AB∥CD，且AB＝CD，
∴BE∥CD且BE＝CD，
∴BE∥FM且BE＝FM，
∴四边形BFME为平行四边形．
∴BF∥EM，
又EM⊂平面A′DE，BF⊄平面A′DE，
∴BF∥平面A′DE.

(2)解　在平面BCDE内作BN⊥DE，交DE的延长线于点N，
∵平面A′DE⊥平面BCDE，平面A′DE∩平面BCDE＝DE，BN⊂平面BCDE，
∴BN⊥平面A′DE，连接A′N，
则∠BA′N为A′B与平面A′DE所成的角．
易知△BNE∽△DAE，
∴＝＝，又BE＝1，
∴BN＝，EN＝.
在△A′DE中，作A′P⊥DE，垂足为P，
∵A′E＝1，A′D＝2，
∴A′P＝，∴EP＝.
在Rt△A′PN中，PN＝PE＋EN＝，A′P＝，
∴A′N＝.
∴在Rt△A′BN中，tan∠BA′N＝＝，
∴直线A′B与平面A′DE所成角的正切值为.