2019届二轮复习（理）第九章第60讲　曲线与方程学案（江苏专用）

第60讲　曲线与方程
考试要求　1.曲线方程(B级要求)；2.高考中可能重点考查求轨迹方程，求两曲线的交点，直线与圆锥曲线的位置关系.

诊 断 自 测
1.(教材改编)已知点F ，直线l：x＝－，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是 .
解析　由已知MF＝MB，根据抛物线的定义知，
点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线.
答案　抛物线
2.(2018·苏州模拟)方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是 .
解析　原方程可化为或－1＝0，
即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，
故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.
答案　一条直线和一条射线
3.(2018·南通模拟)已知A(－2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是 .
解析　由角的平分线性质定理得PA＝2PB，
设P(x，y)，则＝2，
整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0).
答案　(x－2)2＋y2＝4(y≠0)
4.过椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点M作x轴的垂线，垂足为N，则线段MN中点的轨迹方程是 .
解析　设MN的中点为P(x，y)，
则点M(x，2y)在椭圆上，
∴＋＝1，
即＋＝1(a>b>0).
答案　＋＝1(a>b>0)
5.(2018·镇江模拟)若点P在椭圆＋y2＝1上，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且满足1·2＝t，则实数t的取值范围是 .
解析　设P(x，y)，F1(－2，0)，F2(2，0)，
1＝(－2－x，－y)，2＝(2－x，－y)，
1·2＝(－2－x)(2－x)＋(－y)2＝x2＋y2－8.
∵P在椭圆＋y2＝1上，∴y2＝1－，
∴t＝1·2＝x2＋y2－8＝x2－7，
∵0≤x2≤9，∴－7≤t≤1，
故实数t的取值范围是[－7，1].
答案　[－7，1]
知 识 梳 理
1.曲线与方程的定义
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.
2.求曲线方程的基本步骤


考点一　定义法求轨迹方程
【例1】 如图，动圆C1：x2＋y2＝t2(1
解　由椭圆C2：＋y2＝1，知A1(－3，0)，A2(3，0).
设点A的坐标为(x0，y0)，
由曲线的对称性，得B(x0，－y0)，
设点M的坐标为(x，y)，
直线AA1的方程为y＝(x＋3).①
直线A2B的方程为y＝(x－3).②
由①②得y2＝(x2－9).③
又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y＝1－.④
将④代入③得－y2＝1(x<－3，y<0).
因此点M的轨迹方程为－y2＝1(x<－3，y<0).
规律方法　应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解.
【训练1】 已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且O1O2＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线.
解　如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
由O1O2＝4，得O1(－2，0)，O2(2，0).设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有MO1＝r－1；

由动圆M与圆O2外切，有MO2＝r＋2.
∴MO2－MO1＝3<4＝O1O2.
∴点M的轨迹是以O1，O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支.∴a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝.
∴点M的轨迹方程为－＝1.
考点二　直接法求轨迹方程
【例2】 (2017·常州模拟)已知圆O：x2＋y2＝4，点A(，0)，以线段AB为直径的圆内切于圆O，记点B的轨迹为Γ.

(1)求曲线Γ的方程；
(2)直线AB交圆O于C，D两点，当B为CD的中点时，求直线AB的方程.
解　(1)设AB的中点为M，切点为N，连接OM，MN，则
OM＋MN＝ON＝2，取A关于y轴的对称点A′，

连接A′B，故A′B＋AB＝2(OM＋MN)＝4>A′A＝2.
所以点B的轨迹是以A′，A为焦点，长轴长为4的椭圆.
其中，a＝2，c＝，b＝1，则
曲线Γ的方程为＋y2＝1.
(2)因为B为CD的中点，所以OB⊥CD，则⊥.
设B(x0，y0)，则＝(x0－，y0)，＝(x0，y0)，
所以x0(x0－)＋y＝0.
又＋y＝1，解得x0＝，y0＝±.
则kOB＝±，kAB＝∓，
则直线AB的方程为y＝±(x－)，
即x－y－＝0或x＋y－＝0.
规律方法　直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.
【训练2】 在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)为动点，F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点.已知△F1PF2为等腰三角形.
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足·＝－2，求点M的轨迹方程.
解　(1)设F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0).
由题意可得PF2＝F1F2，即＝2c，
整理得2＋－1＝0，
得＝－1(舍去)或＝.所以e＝.
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝(x－c).
A，B两点的坐标满足方程组
消去y并整理得5x2－8cx＝0.
解得x1＝0，x2＝c，
得方程组的解
不妨设A，B(0，－c).
设点M的坐标为(x，y)，
则＝，＝(x，y＋c).
由y＝(x－c)，得c＝x－y.
于是＝，＝(x，x)，由·＝－2，
即·x＋·x＝－2，
化简得18x2－16xy－15＝0.
将y＝代入c＝x－y，
得c＝>0.
所以x>0.
因此点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0(x>0).
考点三　相关点法求轨迹方程
【例3】 (2018·盐城模拟)如图所示，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p>0).点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O).当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.

(1)求p的值；
(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O).
解　(1)因为抛物线C1：x2＝4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y′＝，且切线MA的斜率为－，
所以点A的坐标为，
故切线MA的方程为y＝－(x＋1)＋.
因为点M(1－，y0)在切线MA及抛物线C2上，
所以y0＝－×(2－)＋＝－，①
y0＝－＝－.②
由①②得p＝2.
(2)设N(x，y)，A，B，x1≠x2.
由N为线段AB的中点，知
x＝，③
y＝.④
所以切线MA，MB的方程分别为
y＝(x－x1)＋，⑤
y＝(x－x2)＋.⑥
由⑤⑥得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为
x0＝，y0＝.
因为点M(x0，y0)在C2上，即x＝－4y0，
所以x1x2＝－.⑦
由③④⑦得x2＝y，x≠0.
当x1＝x2时，A，B重合于原点O，
AB的中点N为点O，坐标满足x2＝y.
因此AB的中点N的轨迹方程是x2＝y.
规律方法　“相关点法”的基本步骤
(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1).
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式

(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程便可得到所求动点的轨迹方程.
【训练3】 设直线x－y＝4a与抛物线y2＝4ax交于两点A，B(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求△ABC的重心的轨迹方程.
解　设△ABC的重心为G(x，y)，

点C的坐标为(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).
由方程组
消去y并整理得
x2－12ax＋16a2＝0.
∴x1＋x2＝12a，
y1＋y2＝(x1－4a)＋(x2－4a)＝(x1＋x2)－8a＝4a.
∵G(x，y)为△ABC的重心，
∴
∴
又点C(x0，y0)在抛物线上，
∴将点C的坐标代入抛物线的方程得
(3y－4a)2＝4a(3x－12a)，
即＝(x－4a).
又点C与A，B不重合，
∴x0≠(6±2)a，
∴△ABC的重心的轨迹方程为
＝(x－4a).

一、必做题
1.(2018·无锡质检)设定点M1(0，－3)，M2(0，3)，动点P满足条件PM1＋PM2＝a＋(其中a是正常数)，则点P的轨迹是 .
解析　∵a是正常数，∴a＋≥2＝6.
当PM1＋PM2＝6时，点P的轨迹是线段M1M2；
当a＋>6时，点P的轨迹是椭圆.
答案　椭圆或线段
2.(2018·南京模拟)已知点M与双曲线－＝1的左、右焦点F1，F2的距离之比为2∶3，则点M的轨迹方程为 .
解析　F1(－5，0)，F2(5，0)，设M(x，y)，则＝，化简得x2＋y2＋26x＋25＝0.
答案　x2＋y2＋26x＋25＝0
3.已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且PM＝MQ，则Q点的轨迹方程是 .
解析　由题意知M为PQ中点，
设Q(x，y)，则P为(－2－x，4－y)，
代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0.
答案　2x－y＋5＝0
4.已知圆锥曲线mx2＋4y2＝4m的离心率e为方程2x2－5x＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为 .
解析　∵e是方程2x2－5x＋2＝0的根，
∴e＝2或e＝.
mx2＋4y2＝4m可化为＋＝1，
当它表示焦点在x轴上的椭圆时，
有＝且4>m，∴m＝3；
当它表示焦点在y轴上的椭圆时，
有＝且m>4，∴m＝；
当它表示焦点在x轴上的双曲线时，
可化为－＝1，
有＝2，∴m＝－12.
∴满足条件的圆锥曲线有3个.
答案　3
5.已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若＝，则点P的轨迹方程为 .
解析　设P(x，y)，R(x1，y1)，由＝知点A是线段RP的中点，
∴即
∵点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，
∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.
答案　y＝2x
6.平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是 .
解析　设C(x，y)，则＝(x，y)，＝(3，1)，
＝(－1，3)，
∵＝λ1＋λ2，∴
又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线.
答案　直线
7.(2018·南通月考)已知△ABC的顶点A，B坐标分别为(－4，0)，(4，0)，C为动点，且满足sin B＋sin A＝sin C，则C点的轨迹方程为 .
解析　由sin B＋sin A＝sin C可知b＋a＝c＝10，
则AC＋BC＝10>8＝AB，∴满足椭圆定义.
令椭圆方程为＋＝1，
则a′＝5，c′＝4，b′＝3，则轨迹方程为
＋＝1(x≠±5).
答案　＋＝1(x≠±5)
8.如图，P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，且＝1＋2，则动点Q的轨迹方程是 .

解析　由于＝1＋2，
又1＋2＝＝2＝－2，
设Q(x，y)，
则＝－＝，
即P点坐标为，又P在椭圆上，
则有＋＝1，即＋＝1.
答案　＋＝1
9.(2018·广州模拟)已知点C(1，0)，点A，B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点.
(1)求点P的轨迹T的方程；

(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由.
解　(1)连接CP，OP，由·＝0，知AC⊥BC，
∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|，
由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，
即|OP|2＋|CP|2＝9，
设点P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，
化简，得x2－x＋y2＝4.

(2)存在.根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1，0)的距离的点都在抛物线y2＝2px(p＞0)上，其中＝1.
∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x，
由方程组得x2＋3x－4＝0，
解得x1＝1，x2＝－4，由x≥0，
故取x＝1，此时y＝±2.
故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1，2).
10.(2017·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2.

(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.
解　(1)设椭圆的半焦距为c.
因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，
所以＝，＝8，
解得a＝2，c＝1，于是b＝＝，
因此椭圆E的标准方程是＋＝1.
(2)由(1)知，F1(－1，0)，F2(1，0).
设P(x0，y0)，因为点P为第一象限的点，故x0>0，y0>0.
当x0＝1时，l2与l1相交于F1，与题设不符.
当x0≠1时，直线PF1的斜率为，直线PF2的斜率为.因为l1⊥PF1，l2⊥PF2，
所以直线l1的斜率为－，
直线l2的斜率为－，
从而直线l1的方程：y＝－(x＋1)，①
直线l2的方程：y＝－(x－1).②
由①②，解得x＝－x0，y＝，所以Q.
因为点Q在椭圆上，由对称性，得＝±y0，
即x－y＝1或x＋y＝1.
又P在椭圆E上，故＋＝1.
由解得
无解.
因此点P的坐标为.
二、选做题
11.曲线C是平面内与两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.
其中，所有正确结论的序号是 .
解析　因为原点O到两个定点F1(－1，0)，F2(1，0)的距离的积是1，且a>1，所以曲线C不过原点，即①错误；因为F1(－1，0)，F2(1，0)关于原点对称，所以PF1·PF2＝a2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S△F1PF2＝PF1·PF2·
sin∠F1PF2≤PF1·PF2＝a2，即△F1PF2的面积不大于a2，所以③正确.
答案　②③
12.(2018·南京模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)，F为其焦点，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示.

(1)求点C的轨迹M的方程；
(2)直线n是抛物线不与x轴重合的切线，切点为P，轨迹M与直线n交于点Q，求证：以线段PQ为直径的圆过点F.
(1)解　依题意可得，直线l的斜率存在，故设其方程为y＝kx＋，又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x，y)，
由⇒x2－2pkx－p2＝0⇒x1·x2＝－p2.
易知直线OA：y＝x＝x，直线BC：x＝x2，
由得y＝＝－，
即点C的轨迹M的方程为y＝－.
(2)证明　由题意知直线n的斜率存在.
设直线n的方程为y＝k1x＋m，
由⇒x2－2pk1x－2pm＝0⇒Δ＝4p2k＋8pm.
∵直线n与抛物线相切，
∴Δ＝0⇒pk＋2m＝0，可得P(pk1，－m).
又由⇒Q，
∵F，·＝·
＝－－mp＋pm＋＝0，
∴FP⊥FQ，∴以PQ为直径的圆过点F.