2019届二轮复习（理）第十一章第70讲　二项式定理及其应用学案（江苏专用）

第70讲　二项式定理及其应用
考试要求　1.二项式定理(B级要求)；2.高考中对本讲的考查主要是利用通项公式求展开式中某项的系数、某特定的项、项的系数最值问题及几个二项式和或积的展开式中某项的系数等.要关注赋值法思想的运用.

诊 断 自 测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)Can－rbr是二项展开式的第r项.(　　)
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.(　　)
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.(　　)
(4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项.(　　)
(5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
2.(教材改编)(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是 .
解析　(x－y)n展开式中第m项的系数为C(－1)m－1.
答案　(－1)m－1C
3.(2017·山东卷)已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝ .
解析　C(3x)2＝54x2，∴＝6，解得n＝4.
答案　4
4.(2016·徐州模拟)已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C＋…＋C＝ .
解析　逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，
所以C＋C＋C＋…＋C＝26－C＝64－1＝63.
答案　63
知 识 梳 理
1.二项式定理
二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N )
二项展开式的通项公式
Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项
二项式系数
二项展开式中各项的系数C(r∈{0，1，2，…，n})
2.二项式系数的性质
(1)C＝1，C＝1，C＝C＋C.
(2)C＝C.
(3)当n为偶数时，二项式系数中，以最大；当n为奇数时，二项式系数中以和两者相等)最大.
(4)C＋C＋…＋C＝2n.
3.二项展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.

考点一　二项展开式
【例1－1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)(2x＋)5的展开式中，x3的系数是 (用数字填写答案).
(2)(一题多解)(2015·全国Ⅰ卷改编)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为 .
解析　(1)(2x＋)5展开式的通项公式Tk＋1＝C(2x)5－k()k＝C25－kx5－，k∈{0，1，2，3，4，5}，令5－＝3解得k＝4，得T5＝C25－4x5－＝10x3，∴x3的系数是10.
(2)法一　利用二项展开式的通项公式求解.
(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.
所以x5y2的系数为CC＝30.
法二　利用组合知识求解.
(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CC＝30.
答案　(1)10　(2)30
【例1－2】 (1)(2015·全国Ⅱ卷)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝ .
(2)(2016·山东卷)若的展开式中x5的系数为－80，则实数a＝ .
解析　(1)设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，
令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①
令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②
①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，
即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.
(2)∵Tr＋1＝C(ax2)5－r＝a5－rCx10－r，∴10－r＝5，解得r＝2，
∴a3C＝－80，解得a＝－2.
答案　(1)3　(2)－2
规律方法　求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可.
【训练1】 (2017·全国Ⅲ卷)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为 .
解析　由二项式定理可得，展开式中含x3y3的项为
x·C(2x)2(－y)3＋y·C(2x)3(－y)2＝40x3y3，则x3y3的系数为40.
答案　40
考点二　二项式系数的和或各项系数的和的问题
【例2】 在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1)二项式系数的和；
(2)各项系数的和；
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
(4)奇数项系数和与偶数项系数和；
(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.
解　设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，( )
各项系数的和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10.
由于( )是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.
(1)二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210.
(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.
(3)奇数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29，
偶数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29.
(4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①
令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，
得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②
①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，
∴奇数项系数和为；
①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，
∴偶数项系数和为.
(5)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝；
x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝.
规律方法　(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n (a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
【训练2】 (1)(2018·淮安月考)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝ .
(2)若(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 016x2 016，则＋＋…＋的结果是多少？
(1)解析　由题意得a＝C，b＝C，
∴13C＝7C，
∴＝，
∴＝13，解得m＝6，
经检验符合题意.
答案　6
(2)解　当x＝0时，左边＝1，右边＝a0，∴a0＝1.
当x＝时，左边＝0，右边＝a0＋＋＋…＋，
∴0＝1＋＋＋…＋.
即＋＋…＋＝－1.
考点三　二项式定理的应用
【例3】 (1)设a∈ 且0≤a＜13，若512 016＋a能被13整除，则a＝ .
(2)1.028的近似值是 (精确到小数点后三位).
(3)用二项式定理证明2n>2n＋1(n≥3，n∈N ).
解析　(1)512 016＋a＝(52－1)2 016＋a＝C·522 016－C·522 015＋…＋C×52·(－1)2 015＋C·(－1)2 016＋a，
∵C·522 016－C·522 015＋…＋C×52·(－1)2 015能被13整除，且512 016＋a能被13整除，
∴C·(－1)2 016＋a＝1＋a也能被13整除，因此a的值为12.
(2)1.028＝(1＋0.02)8≈C＋C·0.02＋C·0.022＋C·0.023≈1.172.
答案　(1)12　(2)1.172
(3)证明　当n≥3，n∈N .
2n＝(1＋1)n＝C＋C＋…＋C＋C≥C＋C＋C＋C＝2n＋2>2n＋1，∴不等式成立.
规律方法　(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项.
(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式.
【训练3】 (1)1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)r90rC＋…＋9010C除以88的余数是 .
(2)已知2n＋2·3n＋5n－a能被25整除，求正整数a的最小值.
(1)解析　1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)r90rC＋…＋9010C
＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10
＝8810＋C889＋…＋C88＋1，
∵前10项均能被88整除，∴余数是1.
答案　1
(2)解　原式＝4·6n＋5n－a＝4(5＋1)n＋5n－a
＝4(C5n＋C5n－1＋…＋C52＋C5＋C)＋5n－a
＝4(C5n＋C5n－1＋…＋C52)＋25n＋4－a，
显然正整数a的最小值为4.

一、必做题
1.(2017·全国Ⅰ卷改编)(1＋x)6的展开式中x2的系数为 .
解析　(1＋x)6＝1·(1＋x)6＋·(1＋x)6，
对(1＋x)6的x2项系数为C＝＝15，
对·(1＋x)6的x2项系数为C＝15，
∴x2的系数为15＋15＝30.
答案　30
2.已知的展开式中含x的项的系数为30，则a＝ .
解析　的展开式通项Tr＋1＝Cx(－1)rar·x－＝(－1)rarCx－r，令－r＝，
则r＝1，
∵T2＝－aCx，∴－aC＝30，∴a＝－6.
答案　－6
3.(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是 .
解析　设展开式中的常数项是第r＋1项，则Tr＋1＝C·(4x)6－r·(－2－x)r＝
C·(－1)r·212x－2rx·2－rx＝C·(－1)r·212x－3rx，
∵12x－3rx＝0恒成立，∴r＝4，
∴T5＝C·(－1)4＝15.
答案　15
4.已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 .
解析　由题意，C＝C，解得n＝10，则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29＝512.
答案　512
5.若在(x＋1)4(ax－1)的展开式中，x4的系数为15，则a的值为 .
解析　∵(x＋1)4(ax－1)＝(x4＋4x3＋6x2＋4x＋1)(ax－1)，∴x4的系数为4a－1＝15，∴a＝4.
答案　4
6.若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋an(1－x)n，则a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝ .
解析　在展开式中，令x＝2，得3＋32＋33＋…＋3n＝a0－a1＋a2－a3＋…＋
(－1)nan，
即a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝
＝(3n－1).
答案　(3n－1)
7.(2018·扬州模拟)已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则＝ .
解析　由题意可得a＝C＝70，
再根据 得
求得r＝5或6，此时，b＝7×28，∴＝.
答案　
8.(2016·北京卷)在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为 (用数字作答).
解析　展开式的通项Tr＋1＝C·16－r·(－2x)r＝C(－2x)r.令r＝2，得T3＝C·4x2＝60x2，即x2的系数为60.
答案　60
9.(2016·天津卷)的展开式中x7的系数为 (用数字作答).
解析　先利用二项展开式的通项求出是第几项，再求出系数即可.
的通项Tr＋1＝C(x2)8－r＝(－1)r·Cx16－3r，当16－3r＝7时，r＝3，则x7的系数为(－1)3C＝－56.
答案　－56
10.(2017·浙江卷)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝ ，a5＝ .
解析　令x＝0，得a5＝(0＋1)3(0＋2)2＝4，
而(x＋1)3(x＋2)2＝(x＋1)3[(x＋1)2＋2(x＋1)＋1]
＝(x＋1)5＋2(x＋1)4＋(x＋1)3；
则a4＝C＋2C＋C＝5＋8＋3＝16.
答案　16　4
11.(2018·苏、锡、常、镇联考)已知(ax－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋32x5，则二项式(ax－1)5展开后的各项系数之和为 .
解析　∵(ax－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋32x5，∴x5的系数为C·a5＝32，解得a＝2.
在(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋32x5中，令x＝1可得二项式(2x－1)5展开后的各项系数之和为1.
答案　1
12.已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.
求：(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
解　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7
＝－1.①
令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②
(1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.
(2)(①－②)÷2，
得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.
(3)(①＋②)÷2，
得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.
(4)法一　∵(1－2x)7展开式中，a0、a2、a4、a6大于零，而a1、a3、a5、a7小于零，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.
法二　|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|，
即(1＋2x)7展开式中各项的系数和，令x＝1，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187.
二、选做题
13.(2018·苏、锡、常、镇四市调研)在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示.

(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；
(2)已知n，r为正整数，且n≥r＋3.求证：任何四个相邻的组合数C，C，C，C不能构成等差数列.
(1)解　存在.杨辉三角形的第n行由二项式系数C，k＝0，1，2，…，n组成.若第n行中有三个相邻的数之比为3∶4∶5，
则＝＝，＝＝，
即3n－7k＝－3，4n－9k＝5，
解得k＝27，n＝62.
即第62行有三个相邻的数C，C，C的比为3∶4∶5.
(2)证明　若有n，r(n≥r＋3)，使得C，C，C，C成等差数列，则2C＝C＋C，2C＝C＋C，
即＝＋，
＝
＋，
所以＝＋，
＝＋，
整理得n2－(4r＋5)n＋4r(r＋2)＋2＝0，
n2－(4r＋9)n＋4(r＋1)(r＋3)＋2＝0.
两式相减得n＝2r＋3，
所以C，C，C，C成等差数列，
由二项式系数的性质可知C＝C 14.(2018·南京盐城一模)设n∈N ，n≥3，k∈N .
(1)求值：
①kC－nC；
②k2C－n(n－1)C－nC(k≥2)；
(2)化简：12C＋22C＋32C＋…＋(k＋1)2C＋…＋(n＋1)2C.
解　(1)①kC－nC＝k×－n×
＝－＝0.
②k2C－n(n－1)C－nC＝k2×－n(n－1)×－n×
＝k×－－
＝＝0.
(2)法一　由(1)可知当k≥2时，(k＋1)2C＝(k2＋2k＋1)·C＝k2C＋2kC＋C
＝＋2nC＋C＝n(n－1)C＋3nC＋C，
故12C＋22C＋32C＋…＋(k＋1)2C＋…＋(n＋1)2C
＝＋n(n－1)＋3n＋＝(1＋4n)＋n(n－1)2n－2＋3n(2n－1－1)＋(2n－1－n)
＝2n－2(n2＋5n＋4).
法二　当n≥3时，由二项式定理，有(1＋x)n＝1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn，
两边同乘以x，得(1＋x)nx＝x＋Cx2＋Cx3＋…＋Cxk＋1＋…＋Cxn＋1，
两边对x求导，得
(1＋x)n＋n(1＋x)n－1x＝1＋2Cx＋3Cx2＋…＋(k＋1)Cxk＋…＋(n＋1)Cxn，
两边再同乘以x，得
(1＋x)nx＋n(1＋x)n－1x2＝x＋2Cx2＋3Cx3＋…＋(k＋1)Cxk＋1＋…＋(n＋1)Cxn＋1，
两边再对x求导，得(1＋x)n＋n(1＋x)n－1x＋n(n－1)·(1＋x)n－2x2＋2n(1＋x)n－1x
＝1＋22Cx＋32Cx2＋…＋(k＋1)2Cxk＋…＋(n＋1)2Cxn.
令x＝1，得2n＋n2n－1＋n(n－1)2n－2＋2n2n－1＝1＋22C＋32C＋…＋(k＋1)2C＋…＋(n＋1)2C，
即12C＋22C＋32C＋…＋(k＋1)2C＋…＋(n＋1)2C＝2n－2(n2＋5n＋4).