2020届二轮复习（理）中难提分突破特训(二)作业 练习

中难提分突破特训(二)1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2kn(k∈N*)，Sn的最小值为－9.(1)确定k的值，并求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(－1)n·an，求数列{bn}的前2n＋1项和T2n＋1.解　(1)由已知得Sn＝n2－2kn＝(n－k)2－k2，因为k∈N*，当n＝k时，(Sn)min＝－k2＝－9，故k＝3.所以Sn＝n2－6n.因为Sn－1＝(n－1)2－6(n－1)(n≥2)，所以an＝Sn－Sn－1＝(n2－6n)－[(n－1)2－6(n－1)]，得an＝2n－7(n≥2)．当n＝1时，S1＝－5＝a1，综上，an＝2n－7.(2)依题意，bn＝(－1)n·an＝(－1)n(2n－7)，所以T2n＋1＝5－3＋1＋1－3＋5＋…＋(－1)2n(4n－7)＋2．已知具有相关关系的两个变量x，y的几组数据如下表所示：x246810y3671012(1)请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋，并估计当x＝20时，y的值；(3)将表格中的数据看作5个点的坐标，则从这5个点中随机抽取3个点，记落在直线2x－y－4＝0右下方的点的个数为ξ，求ξ的分布列以及期望．参考公式：＝，＝－ .解　(1)散点图如图所示．(2)依题意，＝×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，＝×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6，＝4＋16＋36＋64＋100＝220，iyi＝6＋24＋42＋80＋120＝272，＝＝＝＝1.1，∴＝7.6－1.1×6＝1，∴线性回归方程为＝1.1x＋1，故当x＝20时，＝23.(3)可以判断，落在直线2x－y－4＝0右下方的点满足2x－y－4>0，故符合条件的点的坐标为(6,7)，(8,10)，(10,12)，故ξ的所有可能取值为1,2,3，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝，故ξ的分布列为ξ123P 故E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝＝.3．已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD⊥AB，DC＝2AD＝2AB＝2，AA1＝4，点M为C1D1的中点．(1)求证：平面AB1D1∥平面BDM；(2)求直线CD1与平面AB1D1所成角的正弦值．解　(1)证明：由题意得，DD1∥BB1，DD1＝BB1，故四边形DD1B1B为平行四边形，所以D1B1∥DB，由D1B1⊂平面AB1D1，DB⊄平面AB1D1，故DB∥平面AB1D1，由题意可知AB∥DC，D1C1∥DC，所以，AB∥D1C1.因为M为D1C1的中点，所以D1M＝AB＝1，所以四边形ABMD1为平行四边形，所以BM∥AD1，由AD1⊂平面AB1D1，BM⊄平面AB1D1，所以BM∥平面AB1D1，又由于BM，BD相交于点B，BM，BD⊂平面BDM，所以平面BDM∥平面AB1D1.(2)由题意，以D为坐标原点，分别以D，D，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则点D1(0,0,4)，C(0,2,0)，A(1,0,0)，B1(1,1,4)，＝(－1,0,4)，＝(0,1,4)，设平面AB1D1的一个法向量为n＝(x，y，z)，有即令z＝1，则n＝(4，－4,1)，＝(0，－2,4)，令θ为直线CD1与平面AB1D1所成的角，则sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝.4．在直角坐标系xOy中，曲线C1：(θ为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ－2cosθ＝0.(1)求曲线C2的直角坐标方程；(2)若曲线C1上有一动点M，曲线C2上有一动点N，求|MN|的最小值．解　(1)由ρ－2cosθ＝0，得ρ2－2ρcosθ＝0.∵ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，∴x2＋y2－2x＝0，即曲线C2的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)由(1)可知，圆C2的圆心为C2(1,0)，半径为1.设曲线C1上的动点M(3cosθ，2sinθ)，由动点N在圆C2上可得|MN|min＝|MC2|min－1.∵|MC2|＝＝，∴当cosθ＝时，|MC2|min＝，∴|MN|min＝|MC2|min－1＝－1.5．已知不等式|2x－3|<x与不等式x2－mx＋n<0(m，n∈R)的解集相同且非空．(1)求m－n；(2)若a，b，c∈(0,1)，且ab＋bc＋ac＝m－n，求a2＋b2＋c2的最小值．解　(1)当x≤0时，不等式|2x－3|<x的解集为空集，不符合题意；当x>0时，|2x－3|<x⇒－x<2x－3<x⇒1<x<3，∴1,3是方程x2－mx＋n＝0的两根，∴∴∴m－n＝1.(2)由(1)得ab＋bc＋ac＝1，∵≥ab，≥bc，≥ac，∴a2＋b2＋c2＝＋＋≥ab＋bc＋ac＝1.∴a2＋b2＋c2的最小值是1.