2020届二轮复习（理）中难提分突破特训(三)作业 练习

中难提分突破特训(三)1．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝BB1，∠B1BC＝60°，B1C1⊥AB1.(1)证明：AB＝AC；(2)若AB⊥AC，且AB1＝BB1，求二面角A1－CB1－C1的余弦值．解　(1)证明：如图，取BC的中点O，连接AO，OB1.因为BC＝BB1，∠B1BC＝60°，所以△BCB1是等边三角形，所以B1O⊥BC，又BC∥B1C1，B1C1⊥AB1，所以BC⊥AB1，所以BC⊥平面AOB1，所以BC⊥AO，由三线合一可知△ABC为等腰三角形，所以AB＝AC.(2)设AB1＝BB1＝2，则BC＝BB1＝2.因为AB⊥AC，所以AO＝1.又因为OB1＝，所以OB＋AO2＝AB，所以AO⊥OB1.以O为坐标原点，向量的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，C(－1,0,0)，A1(－1，，1)，B1(0，，0)，＝(0，，1)，＝(1，，0)，设平面A1B1C的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即可取n＝(，－1，)，由(1)可知，平面CB1C1的法向量可取＝(0,0,1)，所以cos〈，n〉＝＝，由图示可知，二面角A1－CB1－C1为锐二面角，所以二面角A1－CB1－C1的余弦值为.2．已知函数f(x)＝2sinxsin.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)锐角△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，角A的平分线交BC于D，直线x＝A是函数f(x)图象的一条对称轴，AD＝BD＝2，求边a.解　(1)∵f(x)＝2sinxsin，∴f(x)＝2sinxsinx·＋2sinxcosx·＝＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋.令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)∵x＝A是函数f(x)图象的一条对称轴，∴2A－＝＋kπ，k∈Z.∴A＝＋，k∈Z.又△ABC是锐角三角形，∴A＝.在△ABD中，∠BAD＝，BD＝，AD＝2，由正弦定理，得＝，∴sinB＝.∴B＝.∴C＝π－－＝.∠CDA＝＋＝.∴AC＝AD＝2.在△ABC中，由正弦定理，得＝，∴BC＝a＝.3．绿水青山就是金山银山．某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上种植水果，并推出山村游等旅游项目．为预估今年7月份游客购买水果的情况，随机抽样统计了去年7月份100名游客的购买金额．分组如下：[0,20)，[20,40)，…，[100,120]，得到如图所示的频率分布直方图：(1)请用抽样的数据估计今年7月份游客人均购买水果的金额(同一组中的数据用该组区间中点值作代表)；(2)若把去年7月份购买水果不低于80元的游客，称为“水果达人”．填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？(3)为吸引顾客，商家特推出两种促销方案．方案一：每满80元可立减10元；方案二：金额超过80元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．若每斤水果10元，你打算购买12斤水果，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．参考公式和数据：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.临界值表： P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0100.005k02.0722.7063.8416.6357.879解　(1)＝(10×0.005＋30×0.0075＋50×0.010＋70×0.0125＋90×0.010＋110×0.005)×20＝62.估计今年7月份游客人均购买水果的金额为62元．(2)列联表如下：K2＝≈4.762>3.841，因此有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系．(3)若选方案一：则需付款10×12－10＝110元；若选方案二：设付款X元，则X的可能取值为84,96,108,120.P(X＝84)＝C3＝，P(X＝96)＝C2×＝，P(X＝108)＝C××2＝，P(X＝120)＝C3＝，所以E(X)＝84×＋96×＋108×＋120×＝102.因为102<110，所以选择方案二更划算．4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C的极坐标方程；(2)若直线l1，l2的极坐标方程分别为θ＝(ρ∈R)，θ＝(ρ∈R)，设直线l1，l2与曲线C的交点为O，M，N，求△OMN的面积．解　(1)由参数方程(θ为参数)，得普通方程为x2＋(y－2)2＝4，所以C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsinθ＝0，即ρ＝4sinθ.(2)不妨设直线l1：θ＝(ρ∈R)与曲线C的交点为O，M，则ρM＝|OM|＝4sin＝2，又直线l2：θ＝(ρ∈R)与曲线C的交点为O，N，则ρN＝|ON|＝4sin＝2.又∠MON＝，所以S△OMN＝|OM|·|ON|＝×2×2＝2.5．已知函数f(x)＝|3x＋2|.(1)解不等式：f(x)<4－|x－1|；(2)已知m>0，n>0，m＋n＝1，若对任意的x∈R，m>0，n>0，不等式|x－a|－f(x)≤＋(a>0)恒成立，求正数a的取值范围．解　(1)由题意得不等式为|3x＋2|＋|x－1|<4.①当x≥1时，原不等式化为4x＋1<4，解得x<，不符合题意；②当－<x<1时，原不等式化为2x＋3<4，解得x<，∴－<x<；③当x≤－时，原不等式化为－4x－1<4，解得x>－，∴－<x≤－.综上可得－<x<，∴原不等式的解集为.(2)∵m>0，n>0，m＋n＝1，∴＋＝(m＋n)＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当＝且m＋n＝1，m>0，n>0，即m＝n＝时等号成立，∴min＝4.由题意得|x－a|－|3x＋2|≤4(a>0)恒成立，①当x≥a时，可得x－a－3x－2≤4恒成立，即－a≤2x＋6恒成立，∴－a≤(2x＋6)min＝2a＋6，由a>0，可得上式显然成立；②当－<x<a时，可得a－x－3x－2≤4恒成立，即a≤4x＋6恒成立，∵4x＋6>，∴a≤；③当x≤－时，可得a－x＋3x＋2≤4恒成立，即a≤2－2x恒成立，∴a≤(2－2x)min＝.综上可得0<a≤，∴正数a的取值范围是.