2020届二轮复习“立体几何”专题提能课课时作业（全国通用）

课时跟踪检测（九）  “立体几何”专题提能课A组——易错清零练1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)A．12　　　　　　　　 　B．18C．24   D．30解析：选C　由三视图知，该几何体是一个长方体的一半再截去一个三棱锥后得到的，如图所示，该几何体的体积V＝×4×3×5－××4×3×(5－2)＝24，故选C.2．如图，一个三棱锥的三视图均为直角三角形．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为(　　)A．4π　　　　 　 　 B．16πC．24π　　　　　　  D．25π解析：选C　由三视图知该几何体是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，三条侧棱长分别为2,2,4，将该三棱锥补成一个长方体，可知该三棱锥的外接球直径就是长方体的体对角线，所以外接球直径2R＝＝2，则R＝，故该球的表面积为4πR2＝24π，故选C.3．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为(　　)A．2   B．4＋2C．4＋4   D．4＋6 解析：选C　由三视图知，该几何体是直三棱柱ABC­A1B1C1，其中AB＝AA1＝2，BC＝AC＝，∠C＝90°，其直观图如图所示，侧面为三个矩形，故该“堑堵”的侧面积S＝(2＋2)×2＝4＋4，故选C.4．正方体的8个顶点中，有4个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为________．解析：如图，设正方体的棱长为a，则正方体的表面积为S1＝6a2.正四面体P­ABC的边长为＝a，则其表面积为S2＝4××a×a×sin 60°＝2a2.所以正方体与正四面体的表面积之比为S1∶S2＝6a2∶2a2＝∶1.答案：∶1B组——方法技巧练1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(　　)A．6   B．8C．10   D．12解析：选D　根据题中所给的三视图，可以还原几何体，如图所示．该几何体可以将凸出的部分补到凹进去的地方成为一个长、宽、高分别是3,2,2的长方体，所以该几何体的体积为2×2×3＝12，故选D.2．圆锥的母线长为L，过顶点的最大截面的面积为L2，则圆锥底面半径与母线长的比的取值范围是(　　)A.   B.C.   D.解析：选D　设圆锥的高为h，过顶点的截面的顶角为θ，则过顶点的截面的面积S＝L2sin θ，而0<sin θ≤1，所以当sin θ＝1，即截面为等腰直角三角形时取最大值，故圆锥的轴截面的顶角必须大于或等于90°，得L>r≥Lcos 45°＝L，所以≤<1. 3．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1，则点B到平面D1AC的距离等于________．解析：如图，连接BD1，易知D1D就是三棱锥D1­ABC的高，AD1＝CD1＝，AC＝2，取AC的中点O，连接D1O，则D1O⊥AC，所以D1O＝＝.设点B到平面D1AC的距离为h，则由VB­D1AC＝VD1­ABC，即S△D1AC·h＝S△ABC·D1D，又S△D1AC＝D1O·AC＝××2＝，S△ABC＝AB·BC＝×2×2＝2，所以h＝.答案：4.如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC­A1B1C1的底面ABC位于平行四边形ACDE中，AE＝2，AC＝AA1＝4，∠E＝60°，点B在线段ED上．(1)当点B在何处时，平面A1BC⊥平面A1ABB1；(2)点B在线段ED上运动的过程中，求三棱柱ABC­A1B1C1表面积的最小值．解：(1)由于三棱柱ABC­A1B1C1为直三棱柱，则AA1⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.而AA1∩AB＝A，只需BC⊥平面A1ABB1，即AB⊥BC，就有“平面A1BC⊥平面A1ABB1”．在平行四边形ACDE中，因为AE＝2，AC＝AA1＝4，∠E＝60°.过B作BH⊥AC于H，则BH＝.若AB⊥BC，有BH2＝AH·CH.由AC＝4，得AH＝1或3.两种情况下，B为ED的中点或与点D重合．(2)三棱柱ABC­A1B1C1的表面积等于侧面积与两个底面积之和．显然三棱柱ABC­A1B1C1其底面积和平面A1ACC1的面积为定值，只需保证侧面A1ABB1和侧面B1BCC1面积之和最小即可．过B作BH⊥AC于H，则BH＝.令AH＝x，则侧面A1ABB1和侧面B1BCC1面积之和等于4(AB＋BC)＝4[＋]．其中＋可以表示动点(x,0)到定点(0，－)和(4，)的距离之和，当且仅当x＝2时取得最小值．所以三棱柱的表面积的最小值为2××4×＋42＋4×2＝4＋8＋16.5．(2019届高三·宁波十校联考)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为CD中点．把△ADE沿AE翻折，使得平面ADE⊥平面ABCE.(1)求证：AD⊥BE；(2)求BD与平面DEC所成角的正弦值．解：(1)证明：∵在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝2，E为CD中点，∴AE＝＝EB，则AE2＋BE2＝AB2，∴BE⊥AE.∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面ADE，∴AD⊥BE.(2)法一：取AE的中点O，连接DO，则DO⊥AE.∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE＝AE，∴DO⊥平面ABCE，∴VD­BCE＝S△BEC·DO＝××1×1×＝.连接OB，OC，∵OA＝，AB＝2，∠OAB＝45°，∴在△OAB中，由余弦定理得，OB＝＝，同理可得OC＝.在Rt△DOB中，BD＝＝.在Rt△DOC中，DC＝＝.∵DE＝1，EC＝1，∴在△DEC中，由余弦定理得，cos∠DEC＝＝－，∴∠DEC＝120°，∴S△DEC＝×1×1×＝.设B到平面DEC的距离为h，∴VB­DEC＝×S△DEC×h＝，解得h＝.设DB与平面DEC所成的角为α，则sin α＝＝，∴BD与平面DEC所成角的正弦值为.法二：取AE的中点O，连接DO，则DO⊥AE，∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE＝AE，∴DO⊥平面ABCE，∴以O为坐标原点，OD所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则B，D，E，C，∴＝，＝(0,1,0)，＝，设m＝(x，y,1)为平面DEC的一个法向量，则即取z＝1，可得m＝(－，0,1)，设BD与平面DEC所成的角为α，∴sin α＝|cos〈，m〉|＝＝，即BD与平面DEC所成角的正弦值为.C组——创新应用练1．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是上底面A1B1C1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长的最小值为(　　)A．1   B.C.   D.解析：选A　由PQ∥平面AA1B1B知Q在过点P且平行于平面AA1B1B的平面上，易知点Q在A1D1，B1C1中点的连线MN上，故PQ的最小值为PM＝AA1＝1.2．(2018·昆明模拟)古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为(　　)A．63π   B．72πC．79π   D．99π解析：选A　由三视图得，凿去部分是一个半球与一个圆柱的组合体，其中半球的半径为3，体积为×π×33＝18π，圆柱的底面半径为3，高为5，体积为π×32×5＝45π.所以凿去部分的体积为18π＋45π＝63π.故选A.3．(2018·沈阳质检)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A­BCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，点P在棱AC上运动，设CP的长度为x，若△PBD的面积为f(x)，则f(x)的图象大致是(　　)解析：选A　如图，作PQ⊥BC于Q，作QR⊥BD于R，连接PR，则由鳖臑的定义知PQ∥AB，QR∥CD，PQ⊥QR.设AB＝BD＝CD＝1，CP＝x，则＝＝，即PQ＝，又＝＝＝，所以QR＝，所以PR＝＝＝ ，又由题知PR⊥BD，所以f(x)＝ ＝ ，结合选项知选A.4．(2018·长春模拟)已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则该圆锥体积的最大值为________．解析：由题意得圆锥的母线长为3，设圆锥的底面半径为r，高为h，则h＝，所以圆锥的体积V＝πr2h＝πr2＝π.设f(r)＝9r4－r6(r>0)，则f′(r)＝36r3－6r5，令f′(r)＝36r3－6r5＝6r3(6－r2)＝0，得r＝，所以当0<r<时，f′(r)>0，f(r)单调递增，当r>时，f′(r)<0，f(r)单调递减，所以f(r)max＝f()＝108，所以Vmax＝π×＝2π.答案：2π5．(2018·惠州模拟)某三棱锥的三视图如图所示，且图中的三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为________．解析：将三视图还原为如图所示的三棱锥P­ABC，其中底面ABC是直角三角形，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，BC＝2，PA2＋y2＝102，(2)2＋PA2＝x2，所以xy＝x＝x≤＝64，当且仅当x2＝128－x2，即x＝8时取等号，因此xy的最大值是64.答案：646．(2019届高三·湖北七市(州)联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵ABM­DCP与刍童ABCD­A1B1C1D1的组合体中，AB＝AD，A1B1＝A1D1.(1)证明：直线BD⊥平面MAC；(2)若AB＝1，A1D1＝2，MA＝，三棱锥A­A1B1D1的体积V′＝，求该组合体的体积．解：(1)证明：由题可知ABM­DCP是底面为直角三角形的直棱柱，∴AD⊥平面MAB，∴AD⊥MA，又MA⊥AB，AD∩AB＝A，∴MA⊥平面ABCD，∴MA⊥BD.又AB＝AD，∴四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又MA∩AC＝A，∴BD⊥平面MAC.(2)设刍童ABCD­A1B1C1D1的高为h，则三棱锥A­A1B1D1的体积V′＝××2×2×h＝，∴h＝，故该组合体的体积V＝×1××1＋×(12＋22＋)×＝＋＝.