2020届二轮复习16椭圆、双曲线、抛物线作业 练习

专题能力训练16　椭圆、双曲线、抛物线　专题能力训练第38页　 一、能力突破训练1.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆=1有公共焦点,则C的方程为(　　)A.=1 B.=1C.=1 D.=1答案:B解析:由题意得,c=3.因为a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,故C的方程为=1.2.已知以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.若|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为(　　)A.2 B.4 C.6 D.8答案:B解析:不妨设抛物线C的方程为y2=2px(p>0),圆的方程为x2+y2=R2.因为|AB|=4,所以可设A(m,2).又因为|DE|=2,所以解得p2=16.故p=4,即C的焦点到准线的距离是4.3.若双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为(　　)A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x答案:A解析:∵e=,∴+1=3.∴.∵双曲线焦点在x轴上,∴渐近线方程为y=±x,∴渐近线方程为y=±x.4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为(　　)A.=1 B.=1 C.=1 D.=1答案:C解析:由双曲线的对称性,不妨取渐近线y=x.如图所示,|AD|=d1,|BC|=d2,过点F作EF⊥CD于点E.由题易知EF为梯形ABCD的中位线,所以|EF|=(d1+d2)=3.又因为点F(c,0)到y=x的距离为=b,所以b=3,b2=9.因为e==2,c2=a2+b2,所以a2=3,所以双曲线的方程为=1.故选C.5.设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的一个交点为P,设O为坐标原点.若=m+n(m,n∈R),且mn=,则该双曲线的离心率为(　　)A. B. C. D.答案:C解析:在y=±x中,令x=c,得A,B.在双曲线=1中,令x=c,得P.当点P的坐标为时,由=m+n,得由(舍去),∴,∴,∴e=.同理,当点P的坐标为时,e=.故该双曲线的离心率为.6.已知双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=　　　　　. 答案:2解析:∵四边形OABC是正方形,∴∠AOB=45°,∴不妨设直线OA的方程即双曲线的一条渐近线的方程为y=x.∴=1,即a=b.∵|OB|=2,∴c=2.∴a2+b2=c2,即a2+a2=(2)2,可得a=2.7.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.答案:解析:如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b.∵∠MAN=60°,∴|AP|=b,|OP|=.设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ,则tanθ=.∵tanθ=,∴,解得a2=3b2,∴e=.8.如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求△PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.解:(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t).由消去y,整理得x2-4kx+4kt=0.由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0).由题意知,点B,O关于直线PD对称,所以解得因此,点B的坐标为.(2)由(1)知|AP|=t·和直线PA的方程tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=.设△PAB的面积为S(t),所以S(t)=|AP|·d=.9.如图,动点M与两定点A(-1,0),B(1,0)构成△MAB,且直线MA,MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设直线y=x+m(m>0)与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|<|PR|,求的取值范围.解:(1)设点M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当x=1时,直线MB的斜率不存在.于是x≠1,且x≠-1.此时,MA的斜率为,MB的斜率为.由题意,有=4.整理,得4x2-y2-4=0.故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0(x≠±1).(2)由消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0.①对于方程①,其判别式Δ=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0,而当1或-1为方程①的根时,m的值为-1或1.结合题设(m>0)可知,m>0,且m≠1.设Q,R的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR),则xQ,xR为方程①的两根,因为|PQ|<|PR|,所以|xQ|<|xR|.因为xQ=,xR=,且Q,R在同一条直线上,所以=1+.此时>1,且≠2,所以1<1+<3,且1+,所以1<<3,且.综上所述,的取值范围是.10.已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足||=·()+2.(1)求曲线C的方程;(2)点Q(x0,y0)(-2<x0<2)是曲线C上动点,曲线C在点Q处的切线为l,点P的坐标是(0,-1),l与PA,PB分别交于点D,E,求△QAB与△PDE的面积之比.解:(1)由题意可知=(-2-x,1-y),=(2-x,1-y),=(x,y),=(0,2).∵||=·()+2,∴=2y+2,∴x2=4y.∴曲线C的方程为x2=4y.(2)设Q,则S△QAB=2=2.∵y=,∴y'=x,∴kl=x0,∴切线l的方程为y-x0(x-x0),它与y轴的交点为H,|PH|==1-.直线PA的方程为y=-x-1,直线PB的方程为y=x-1.由得xD=.由得xE=,∴S△PDE=|xD-xE|·|PH|=1-,∴△QAB与△PDE的面积之比为2.二、思维提升训练11.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为(　　)A.16 B.14 C.12 D.10答案:A解析:(方法一)由题意知直线l1,l2斜率不存在时,不合题意.设直线l1的方程为y=k1(x-1)(k1≠0),与抛物线方程联立,得消去y,得x2-2x-4x+=0,所以x1+x2=.同理,直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=.由抛物线的定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=+4=+8≥2+8=16,当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.(方法二)如图所示,由题意可得F(1,0),设直线AB的倾斜角为θ不妨令θ∈0,.作AK1垂直准线,AK2垂直x轴,结合图形.根据抛物线的定义,可得所以|AF|·cosθ+2=|AF|,即|AF|=.同理可得|BF|=,所以|AB|=.又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为+θ,则|DE|=,所以|AB|+|DE|=≥16,当θ=时取等号,即|AB|+|DE|最小值为16,故选A.12.设F1,F2是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点,过点F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=|OP|,则C的离心率为(　　)A. B.2 C. D.答案:C解析:如图所示,由题意可知,|PF2|=b,|OP|=a.由题意,得|PF1|=a.设双曲线渐近线的倾斜角为θ.∴在△OPF1中,由余弦定理知cos(180°-θ)==-cosθ.∵cosθ=,∴=-,解得c2=3a2.∴e=.13.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为线段FN的中点,则|FN|=　　　　　. 答案:6解析:设N(0,a),由题意可知F(2,0).又M为线段FN的中点,则M.因为点M在抛物线C上,所以=8,即a2=32,即a=±4.所以N(0,±4).所以|FN|==6.14.在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为　　　　　. 答案:y=±x解析:抛物线x2=2py的焦点为F,准线方程为y=-.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=4·=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2==p,所以.所以该双曲线的渐近线方程为y=±x.15.已知圆C:(x+1)2+y2=20,点B(1,0),点A是圆C上的动点,线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P.(1)求动点P的轨迹C1的方程;(2)设M,N为抛物线C2:y=x2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P,Q两点,求△MPQ面积的最大值.解:(1)由已知可得,点P满足|PB|+|PC|=|AC|=2>2=|BC|,所以动点P的轨迹C1是一个椭圆,其中2a=2,2c=2.动点P的轨迹C1的方程为=1.(2)设N(t,t2),则PQ的方程为y-t2=2t(x-t)⇒y=2tx-t2.联立方程组消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,则有而|PQ|=×|x1-x2|=,点M到PQ的距离为h=.由S△MPQ=|PQ|h代入化简,得S△MPQ=,当且仅当t2=10时,S△MPQ取最大值.16.已知动点C是椭圆Ω:+y2=1(a>1)上的任意一点,AB是圆G:x2+(y-2)2=的一条直径(A,B是端点),的最大值是.(1)求椭圆Ω的方程.(2)设椭圆Ω的左、右焦点分别为点F1,F2,过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆Ω于P,Q两点.在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)设点C的坐标为(x,y),则+y2=1.连接CG,由.因为G(0,2),=(-x,2-y),所以=x2+(y-2)2-=a(1-y2)+(y-2)2-=-(a-1)y2-4y+a+,其中y∈[-1,1].因为a>1,所以当y=≤-1,即1<a≤3时,取y=-1,得有最大值-(a-1)+4+a+,与已知矛盾;当y=>-1,即a>3时,的最大值是.由条件得,即a2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).综上所述,椭圆Ω的方程是+y2=1.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点坐标为(x0,y0),则满足=1,=1,两式相减,整理,得=-=-,从而直线PQ的方程为y-y0=-(x-x0).又右焦点F2的坐标是(2,0),将点F2的坐标代入PQ的方程得-y0=-(2-x0).因为直线l与x轴不垂直,所以2x0-=5>0,从而0<x0<2.假设在线段OF2上存在点M(m,0)(0<m<2),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,则线段PQ的垂直平分线必过点M,而线段PQ的垂直平分线方程是y-y0=(x-x0),将点M(m,0)代入得-y0=(m-x0),得m=x0,从而m∈.