2020届二轮复习三角恒等变换与解三角形教案（全国通用）

2020届二轮复习  三角恒等变换与解三角形  教案（全国通用）1．和差角公式(1)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；(2)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(3)tan(α±β)＝.2．倍角公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝.3．半角公式(1)sin＝±；(2)cos＝±；(3)tan＝±；(4)tan＝＝.4．正弦定理＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．5．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC. 【2015高考四川，理12】        .【答案】.【解析】法一、.法二、.法三、.【2015高考浙江，理11】函数的最小正周期是      ，单调递减区间是         ．【答案】，，.【解析】，故最小正周期为，单调递减区间为，.【2015高考天津，理15】（本小题满分13分）已知函数，(I)求最小正周期；(II)求在区间上的最大值和最小值.【答案】(I); (II),.(II)因为在区间上是减函数，在区间上是增函数，，所以在区间上的最大值为，最小值为.【2015高考重庆，理18】 已知函数     （1）求的最小正周期和最大值；     （2）讨论在上的单调性.【答案】（1）最小正周期为，最大值为；（2）在上单调递增；在上单调递减.【解析】（1）                           ,因此的最小正周期为，最大值为.（2）当时，有，从而当时,即时，单调递增， 当时,即时，单调递减，综上可知，在上单调递增；在上单调递减.【2015高考上海，理14】在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则         ．【答案】【解析】由题意得：，又,因为DEAF四点共圆，因此【2015高考广东，理11】设的内角，，的对边分别为，，，若， ，，则     .  【答案】．【2015高考湖北，理12】函数的零点个数为          ．【答案】2【解析】因为                                    所以函数的零点个数为函数与图象的交点的个数，函数与图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数有2个零点. 【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度          m. 【答案】【解析】依题意，，，在中，由，所以，因为，由正弦定理可得，即m，在中，因为，，所以，所以m．【2015高考重庆，理13】在ABC中，B=，AB=，A的角平分线AD=,则AC=_______.【答案】【解析】由正弦定理得，即，解得，，从而，所以，.【2015高考福建，理12】若锐角的面积为 ，且，则 等于________．【答案】7【解析】由已知得的面积为，所以，，所以．由余弦定理得，．【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．(Ⅰ) 求；(Ⅱ)若，，求和的长． 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．【解析】(Ⅰ)，，因为，，所以．由正弦定理可得．(Ⅱ)因为，所以．在和中，由余弦定理得，．．由(Ⅰ)知，所以．【2015高考浙江，理16】在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，=.（1）求的值；（2）若的面积为7，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由及正弦定理得，∴，又由，即，得，解得；（2）由，得，，又∵，∴，由正弦定理得，又∵，，∴，故.【2015高考安徽，理16】在中，,点D在边上，，求的长.【答案】【解析】如图，        设的内角所对边的长分别是，由余弦定理得    ，    所以.    又由正弦定理得.    由题设知，所以.    在中，由正弦定理得.【2015高考陕西，理17】（本小题满分12分）的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（I）求；（II）若，求的面积．【答案】（I）；（II）．（Ⅱ）解法一：由余弦定理，得而得，即因为，所以．故的面积为．解法二：由正弦定理，得，从而，又由，知，所以.故所以的面积为.1. 【2014高考江苏卷第14题】 若的内角满足，则的最小值是      . 【考点定位】解三角形,求最值.11．【2014重庆高考理第10题】已知的内角，面积满足所对的边，则下列不等式一定成立的是(     )A.      B.     C.    D.【答案】A【解析】由题设得：          （1）由三角形面积公式及正弦定理得：所以又因为，所以所以恒成立，所以故选A.【考点定位】两角和与差的三角函数、正弦定理、三角形的面积公式.12. 【2014天津高考理第12题】在中，内角所对的边分别是．已知，，则的值为_______．【答案】．【解析】∵代入得，由余弦定理得．【考点定位】正弦定理、余弦定理的推论．13. 【2014大纲高考理第3题】设则  （     ）A．   B．   C．   D．【答案】C．【解析】故选C．【考点定位】三角函数基本关系式 14. 【2014高考安徽卷第16题】（本小题满分12分）设的内角所对边的长分别是，且（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以，由正、余弦定理得.因为，所以.由余弦定理得.由于，所以.故.【考点定位】正、余弦定理、三角函数恒等变形.15. 【2014高考北京理第15题】如图，在中，，点在边上，且，.（1）求；（2）求，的长.【答案】（1）；（2）7.【解析】（1）在中，因为，所以，所以.（2）在中，由正弦定理得，在中由余弦定理得，所以.【考点定位】同角三角函数的关系，两个角的差的正弦公式，正弦定理与余弦定理.16. 【2014高考福建理第16题】已知函数.（1）若，且，求的值；（2）求函数的最小正周期及单调递增区间. 【答案】(1) ;(2) ,【解析】 (1)因为所以.所以 (2)因为,所以.由得.所以的单调递增区间为.【考点定位】1.三角函数的性质.2.三角的恒等变形.17. 【2014高考广东理第16题】已知函数，，且.（1）求的值；（2）若，，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），所以，；（2），，，，则，.【考点定位】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系以及两角和的三角函数18. 【2014高考湖北理第17题】某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系；.（1）求实验室这一天的最大温差；（2）若要求实验室温度不高于11，则在哪段时间实验室需要降温？【答案】（1）4；（2）在10时至18时实验室需要降温.（2）依题意，当时实验室需要降温.由（1）得，所以，即，又，因此，即，故在10时至18时实验室需要降温.【考点定位】两个角的和的正弦公式、三角不等式的解法.19. 【2014高考湖南理第18题】如图5,在平面四边形中,.(1)求的值;(2)若, ,求的长.【答案】(1) (2) 【解析】 (1)由关于的余弦定理可得,所以.(2)因为为四边形内角,所以且,则由正余弦的关系可得且,再由正弦的和差角公式可得,再由的正弦定理可得.【考点定位】三角形正余弦定理、正余弦之间的关系与和差角公式20. 【2014高考江苏第15题】已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意，所以．（2）由（1）得，，所以．【考点】三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角和与差的正弦、余弦公式．21. 【2014高考辽宁理第17题】在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求：（1）a和c的值；（2）的值.【答案】（1）a=3，c=2；（2）.【解析】（1）由得，，又，所以ac=6.由余弦定理，得.又b=3，所以.解，得a=2，c=3或a=3，c=2.因为a>c,∴ a=3，c=2.（2）在中，由正弦定理，得，又因为，所以C为锐角，因此.于是=.【考点定位】解三角形、三角恒等变换.22. 【2014高考山东卷第16题】已知向量，，设函数，且的图象过点和点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）将的图象向左平移（）个单位后得到函数的图象.若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调增区间.【答案】（I）.（II）函数的单调递增区间为.【解析】（1）由题意知：.因为的图象过点和，所以，即，解得.（2）由（1）知：.由题意知：，设的图象上符合题意的最高点为，由题意知：，所以，即到点的距离为1的最高点为.将其代入得，因为，所以，因此，由，得，所以，函数的单调递增区间为.学+科网【考点定位】平面向量的数量积，三角函数的化简，三角函数的图象和性质.23. 【2014高考四川第16题】已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）若是第二象限角，，求的值.【答案】（1）；（2）,.【解析】（1）；（2）由题设得：，即，.若，则，若，则.【考点定位】三角函数的性质、三角恒等变换三角函数的求值.24.【2014高考浙江理第18题】在中，内角所对的边分别为.已知，（I）求角的大小； （II）若，求的面积. 【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意得，，即，，由得，，又，得，即，所以；（2）由，，得，由，得，从而，故，所以的面积为．【考点定位】诱导公式，、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 25.【2014高考重庆理科第17题】已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.（I）求和的值；（II）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因的图象上相邻两个最高点的距离为，所以的最小正周期，从而.又因的图象关于直线对称，所以因得所以.（2）由（1）得所以.由得所以因此=【考点定位】诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象和性质. 1．已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝(　　)A．－  B.C．－或0  D.或02．若tan α＝2tan，则＝(　　)A．1  B．2C．3  D．4解析：基本法：＝＝＝＝，∵tan α＝2tan，∴＝＝3.故选C.答案：C3．已知tan β＝，sin(α＋β)＝，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为(　　)(导学号 55460112)A.  B.  C.  D.或解析：依题意得sinβ＝，cos β＝.注意到sin(α＋β)＝<sinβ，因此有α＋β>(否则，若α＋β≤，则有0<β<α＋β≤，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sin β＝.答案：A4．函数f(x)＝sin 2x＋tancos 2x的最小正周期为(　　)A.　　　B．π　　　C．2π　　　D． 4π解析：∵f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π.答案：B5．已知tan(3π－α)＝－，tan(β－α)＝－，则tan β＝________.解析：基本法：依题意得tan α＝， 又tan(β－α)＝－，∴tan β＝tan[(β－α)＋α]＝＝.答案：6．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________．解析：基本法：由sin α＋2cos α＝0得tan α＝－2.∴2sin αcos α－cos2α＝＝＝＝＝－1.答案：－17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asin A＝(2sin B＋sin C)b＋(2c＋b)·sin C，则A＝________．解析：根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，故cos A＝－，又A为三角形的内角，故A＝120°.答案：120°8.如图，山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为________米．解析：如题图，在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°.∵∠ADC＝150°，∴∠ADB＝30°.∴∠DAB＝180°－120°－30°＝30°. 由正弦定理，可得＝.∴＝，得AD＝400(米)．在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150°，由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2·AD·CD·cos∠ADC＝(400)2＋8002－2×400×800×cos 150°＝4002×1 3，解得AC＝400(米)．故索道AC的长为400米．答案：4009．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tan A＋tan B)＝＋.(1)证明：a＋b＝2c；(2)求cos C的最小值．(2)解：由(1)知c＝，[ ∴cos C＝＝＝－≥，当且仅当a＝b时，等号成立，故cos C的最小值为.