2020届二轮复习数列求和的方法教案（全国通用）

【例1】已知等比数列{}中，,公比,又分别是某等差数列的第项，第项，第项.(1)求；(2)设,求数列的前项和.【解析】（1）依题意有，即,，即2.∵,∴.故.【点评】（1）利用公式法求数列的前项和，一般先求好数列前项和公式的各个基本量，再代入公式.（2）第2问注意要分类讨论，因为与7的大小关系不能确定.【反馈检测1】已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列. （Ⅰ）求数列的通项； （Ⅱ）求数列{}的前项和.  方法二错位相减法使用情景已知数列，其中是等差数列，是等比数列，则采用错位相减法.解题步骤若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令，则 两式相减并整理即得.【例2】 已知函数 ，是数列的前项和，点（，）（）在曲线上.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，且是数列的前项和. 试问是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由.（Ⅱ）因为    ①所以               ②            ③②－③得  .整理得，                 ④策略二  利用商值比较法由④式得.因为所以，即. 所以所以存在最大值.策略三  利用放缩法由①式得，又因为是数列的前项和，所以. 所以所以存在最大值.【反馈检测2】数列的通项是关于的不等式的解集中正整数的个数，．（1）求数列的通项公式；  （2）若，求数列的前项和；（3）求证：对且恒有．  方法三分组求和法使用情景有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列.解题步骤可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.【例3】已知数列{}的前项和为，且满足．（1）证明：数列为等比数列，并求数列{}的通项公式；（2）数列{}满足，其前项和为，试求满足的最小正整数．（2）设          ①【点评】（1）数列求和时，要分成两个数列求和，其中一个是数列通项是，它用错位相减来求和，另外一个数列是，它是一个等差数列，直接用公式法求和.（2）解不等式时，直接用代值试验解答就可以了.【反馈检测3】已知数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.  方法四裂项相消法使用情景类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.解题步骤把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前项的和变成首尾若干少数项之和. .【例4】 已知等差数列满足：，.的前项和为. （Ⅰ）求 及；（Ⅱ）令（）,求数列的前项和.【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，因为，，所以有，解得，所以；==.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，【点评】利用裂项相消时，注意消了哪些项，保留了哪些项.如，.为了确定保留了哪些项，最好前后多写一些项.【反馈检测4】 设数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.  【反馈检测5】已知各项均为正数的数列的前项和为,且().(Ⅰ) 求的值及数列的通项公式； (Ⅱ) 记数列的前项和为,求证:().  方法五倒序相加法使用情景如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和.解题步骤可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和.【例5 】 已知数列的前项和，函数对有，数列满足.（1）分别求数列、的通项公式；（2）若数列满足，是数列的前项和，若存在正实数，使不等式对于一切的恒成立，求的取值范围．【解析】（1）                        ①-②得            即                    要使得不等式恒成立,对于一切的恒成立,即                  令,则当且仅当时等号成立,故           所以为所求.             【点评】如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可以利用倒序相加法求和. 【例6】求证：【点评】如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可以利用倒序相加法求和.【反馈检测6】已知函数（1）证明：；（2）求的值.  方法六并项求和法使用情景有些数列的通项里有，这种数列求和时，一般要分奇数和偶数来分类讨论.解题步骤一般把项数分成奇数和偶数两种情况分类讨论. .【例7】求和：…．【解析】当为偶数时，．当为奇数时，【点评】（1）如果数列的通项里有，这种数列求和时，一般要分奇数和偶数来分类讨论.把两项合成一项来求和. (2)这种情况最好先计算偶数的情况，再计算奇数的情况.讨论奇数情况时，为了减少计算量，提高计算效率，可以利用，而可以利用前面计算出来的偶数的结论（因为是偶数），只要把偶数情况下表达式中所有的都换成即可.【反馈检测7】已知数列的首项为，前项和，且数列是公差为的等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．       
高中数常见题型解法归纳及反馈检测第39讲：数列求和的方法参考答案 【反馈检测1答案】（1）；（2）.【反馈检测1详细解析】（Ⅰ）由题设知公差， 由，成等比数列得＝， 解得，    故的通项. (Ⅱ)由（Ⅰ）知，由等比数列前项和公式得 .【反馈检测2答案】（1）；（2）；（3）见解析.（3）                                                                由知于是故当且时为增函数    综上可知 .       （2）由（1）知，故数列的前项和【反馈检测4答案】（1）；（2）.【反馈检测4详细解答】（1）因为，，        ①所以当时，． 当时，，        ② ，①－②得，，所以．因为，适合上式，所以；（2）由（1）得，所以，所以【反馈检测5答案】（1）， ；（2）见后面解析.【反馈检测5详细解析】(Ⅰ)当时,,解得或(舍去)． 当时,,,相减得即,又,所以,则,所以是首项为,公差为的等差数列,故． 证法二:当时,．当时,先证,即证显然成立.所以所以,   综上,对任意,均有成立.【反馈检测6答案】（1）；（2）..【反馈检测7答案】（1）；（2）【反馈检测7详细解析】（1）（1）由已知得，  ∴．当时，．，∴，．（2）由⑴可得．当为偶数时，，综上，