2020届二轮复习椭圆、双曲线、抛物线教案（全国通用）

2020届二轮复习 椭圆、双曲线、抛物线 教案（全国通用）
一、椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质

椭圆
双曲线
抛物线
定义
|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)
||PF1|－|PF2||＝2a(2ab>0)
焦点在x轴上
－＝1(a>0，b>0)
焦点在x轴正半轴上y2＝2px(p>0)
图象



几何性质
范围
|x|≤a，|y|≤b[来源:]
|x|≥a，y∈R[来源:学#科#网Z#X#X#K][来源:]
x≥0，y∈R
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(±a,0)
(0,0)
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
关于x轴对称
焦点
(±c,0)

轴
长轴长2a，短轴长2b
实轴长2a，虚轴长2b

离心率
e＝＝(0b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若 (O为原点) ，求k的值.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)或
【解析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由已知有，
又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，
由，可得ab=6，从而a=3，b=2．
所以，椭圆的方程为．
（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．
由已知有y1>y2>0，故．
又因为，而∠OAB=，故．
由，可得5y1=9y2．
由方程组消去x，可得．
易知直线AB的方程为x+y–2=0，
由方程组消去x，可得．
由5y1=9y2，可得5（k+1）=，
两边平方，整理得，
解得，或．
所以，k的值为或
【变式探究】(2017·北京卷)已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，焦点在x轴上，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.学=科网
(1)解：设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意得解得c＝，
所以b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设M(m，n)，则D(m，0)，N(m，－n)，
由题设知m≠±2，且n≠0.
直线AM的斜率kAM＝，
故直线DE的斜率kDE＝－，
所以直线DE的方程为y＝－(x－m)，
直线BN的方程为y＝(x－2)．
联立解得点E的纵坐标yE＝－.
由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，所以yE＝－n.
又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，
S△BDN＝|BD|·|n|，
所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
【变式探究】已知椭圆C1：+y2=1(m>1)与双曲线C2：–y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）
A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e20），则，
由可得：，
不妨设：，
双曲线的一条渐近线方程为：，
据此可得：，，
则，则，
双曲线的离心率：，
据此可得：，则双曲线的方程为.
本题选择C选项.
【变式探究】(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为(　　)
A．2 B.
C. D.
解析：取渐近线y＝x，化成一般式bx－ay＝0，圆心(2，0)到直线的距离为＝，
又由c2＝a2＋b2得c2＝4a2，e2＝4，e＝2.
答案：A
【变式探究】已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）
（A）（B）（C）（D）
【答案】D
【解析】根据对称性，不妨设A在第一象限，，∴，
∴，故双曲线的方程为，故选D.
【变式探究】若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)
A．11 B．9 C．5 D．3
解析　由双曲线定义||PF2|－|PF1||＝2a，∵|PF1|＝3，∴P在左支上，∵a＝3，∴|PF2|－|PF1|＝6，∴|PF2|＝9，故选B.
答案　B
高频考点四　双曲线的几何性质
例4．（2018年全国I卷理数）已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=
A. B. 3 C. D. 4
【答案】B
【解析】根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，
从而得到，所以直线的倾斜角为或，
根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，
可以得出直线的方程为，
分别与两条渐近线和联立，
求得，
所以，故选B.
【变式探究】已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A．
【变式探究】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)学科=网
A. B．2 C. D.
解析　如图，设双曲线E的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则|AB|＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1，0)，∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin 60°＝a，x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos 60°＝2a.将点M(x1，y1)的坐标代入－＝1，可得a2＝b2，∴e＝＝＝，选D.

答案　D
高频考点五　抛物线的定义及方程
例5．（2018年全国I卷理数）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】D
【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.
【变式探究】(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为(　　)
A. B．2
C．2 D．3

【变式探究】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为( )
（A） （B） （C） （D）1
【答案】C
【解析】设（不妨设），则
，故选C.
【变式探究】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为(　　)
A. B. C. D．2
解析　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由|AF|＝3及抛物线定义可得，x1＋1＝3，∴x1＝2.
∴A点坐标为(2，2)，则直线AB的斜率
k＝＝2.
∴直线AB的方程为y＝2(x－1)，
即为2x－y－2＝0，
则点O到该直线的距离为d＝.
由
消去y得，2x2－5x＋2＝0，
解得x1＝2，x2＝.∴|BF|＝x2＋1＝，
∴|AB|＝3＋＝.∴S△AOB＝|AB|·d
＝××＝.学-科网
答案　C
高频考点六　抛物线的几何性质
例6．（2018年浙江卷）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．

（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x0），则，
由可得：，
不妨设：，
双曲线的一条渐近线方程为：，
据此可得：，，
则，则，
双曲线的离心率：，
据此可得：，则双曲线的方程为.
本题选择C选项.
3. （2018年全国I卷理数）已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=
A. B. 3 C. D. 4
【答案】B
【解析】根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，
从而得到，所以直线的倾斜角为或，
根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，
可以得出直线的方程为，
分别与两条渐近线和联立，
求得，
所以，故选B.
4. （2018年全国Ⅲ卷理数）设是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为
A. B. 2 C. D.
【答案】C

5. （2018年全国Ⅱ卷理数）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.
6. （2018年江苏卷）在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．
【答案】2
【解析】先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率。因为双曲线的焦点到渐近线即的距离为所以，因此
7. （2018年全国Ⅱ卷理数）已知，是椭圆的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则C的离心率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,
由AP斜率为得，，
由正弦定理得,
所以，选D.
8. （2018年浙江卷）已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．
【答案】5
【解析】设，由得
因为A,B在椭圆上,所以
，
与对应相减得，当且仅当时取最大值.
9. （2018年北京卷）已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．
【答案】 (1). (2). 2
【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以椭圆M的离心率为
双曲线N的渐近线方程为，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为，
10. （2018年天津卷）设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若 (O为原点) ，求k的值.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)或
【解析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由已知有，
又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，
由，可得ab=6，从而a=3，b=2．
所以，椭圆的方程为．
（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．
由已知有y1>y2>0，故．
又因为，而∠OAB=，故．
由，可得5y1=9y2．
由方程组消去x，可得．
易知直线AB的方程为x+y–2=0，
由方程组消去x，可得．
由5y1=9y2，可得5（k+1）=，
两边平方，整理得，
解得，或．
所以，k的值为或
11. （2018年江苏卷）如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．

（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．
【答案】（1）椭圆C的方程为；圆O的方程为
（2）①点P的坐标为；②直线l的方程为

（2）①设直线l与圆O相切于，则，
所以直线l的方程为，即．
由，消去y，得
．（*）
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
所以．
因为，所以．
因此，点P的坐标为．
②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．
设，
由（*）得，
所以
．
因为，
所以，即，
解得舍去），则，因此P的坐标为．
综上，直线l的方程为．

12. （2018年全国I卷理数）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）设为坐标原点，证明：.
【答案】(1) AM的方程为或.
(2)证明见解析.
【解析】
（1）由已知得，l的方程为x=1.
由已知可得，点A的坐标为或.
所以AM的方程为或.
（2）当l与x轴重合时，.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以.
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，，
则，直线MA，MB的斜率之和为.
由得
.
将代入得
.
所以，.
则.
从而，故MA，MB的倾斜角互补，所以.
综上，.
13. （2018年全国Ⅲ卷理数）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．
【答案】（1）
（2）或
【解析】（1）设，则.
两式相减，并由得
.
由题设知，于是
.①
由题设得，故.
（2）由题意得，设，则
.
由（1）及题设得.
又点P在C上，所以，从而，.
于是
.
同理.
所以.
故，即成等差数列.
设该数列的公差为d，则
.②
将代入①得.
所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.
故，代入②解得.
所以该数列的公差为或.
14. （2018年全国I卷理数）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】D
【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.
15. （2018年全国Ⅲ卷理数）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．
【答案】2
【解析】设
则
所以
所以
取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为
因为,

因为M’为AB中点，
所以MM’平行于x轴
因为M(-1,1)
所以，则即
故答案为2.
16. （2018年浙江卷）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．

（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(xb>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.
【答案】（1）.（2）见解析。
【解析】（1）由于， 两点关于y轴对称，故由题设知C经过， 两点.
又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.
因此，解得.
故C的方程为.
（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，
如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t， ），（t， ）.
则，得，不符合题设.
从而可设l： （）.将代入得

由题设可知.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.
而

.
由题设，故.
即.
解得.
当且仅当时， ，欲使l：，即，
所以l过定点（2， ）
11.【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足。
(1) 求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线上，且。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。
【答案】(1) 。(2)证明略。
【解析】（1）设P（x，y），M（）,则N（），
由得.
因为M（）在C上，所以.
因此点P的轨迹为.
由题意知F（-1,0），设Q（-3，t），P（m，n），则
，
.
由得-3m-+tn-=1， 又由（1）知，故
3+3m-tn=0.
所以，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
12.【2017山东，理21】在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为.求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.

【答案】（I）.
（Ⅱ）的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.
【解析】
（I）由题意知 ， ，
所以，
因此 椭圆的方程为.
（Ⅱ）设，
联立方程
得，
由题意知，
且，
所以.
由题意可知圆的半径为
由题设知，
所以
因此直线的方程为.
联立方程
得，
因此.
由题意可知，
而
，
令，
则，
因此，
当且仅当，即时等号成立，此时，
所以，
因此，
所以 最大值为.
综上所述： 的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.
13.【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.学科=网
【答案】（Ⅰ）方程为，抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.（Ⅱ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ）由抛物线C： 过点P（1，1），得.
所以抛物线C的方程为.
抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.
（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为， .
由，得.
则， .
因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.
直线ON的方程为，点B的坐标为.
因为




，
所以.
故A为线段BM的中点.
14.【2017天津，理19】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.
（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.
【答案】（Ⅰ）， .（Ⅱ），或.
【解析】
（Ⅰ）解：设的坐标为.依题意， ， ， ，解得， ， ，于是.所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.
（Ⅱ）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可学*科.网得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以.
所以，直线的方程为，或.
15.【2017江苏，8】 在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点,,其焦点是,则四边形的面积是 ▲ .
【答案】
【解析】右准线方程为，渐近线方程为，设，则，， ，则．
16.【2017江苏，17】 如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为, ,离心率为,两准线之间的距离为8.点在椭圆上，且位于第一象限，过点作 直线的垂线,过点作直线的垂线.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线的交点在椭圆上,求点的坐标.

【答案】（1）（2）
【解析】（1）设椭圆的半焦距为c.
因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以， ，
解得，于是，
因此椭圆E的标准方程是.
（2）由（1）知， ， .
设，因为点为第一象限的点，故.
当时， 与相交于，与题设不符.
当时，直线的斜率为，直线的斜率为.
因为， ，所以直线的斜率为，直线的斜率为，
从而直线的方程：， ①
直线的方程：. ②
由①②，解得，所以.
因为点在椭圆上，由对称性，得，即或.
又在椭圆E上，故.
由，解得；，无解.
因此点P的坐标为.
1. 【2016高考新课标1卷】已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A．
2.【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为( )
（A） （B） （C） （D）1
【答案】C
【解析】设（不妨设），则
，故选C.
3.【2016高考新课标2理数】已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）2
【答案】A
【解析】因为垂直于轴，所以，因为，即，化简得，故双曲线离心率.选A.
4.【2016高考浙江理数】已知椭圆C1：+y2=1(m>1)与双曲线C2：–y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）
A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2