2020届二轮复习二项式定理的应用证明整除或求余数教案（全国通用）

               1．二项式定理⑴二项式定理这个公式表示的定理叫做二项式定理．⑵二项式系数、二项式的通项叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：． ⑶二项式展开式的各项幂指数二项式的展开式项数为项，各项的幂指数状况是①各项的次数都等于二项式的幂指数．②字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到．⑷几点注意①通项是的展开式的第项，这里．②二项式的项和的展开式的第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换的．③注意二项式系数（）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把看成代入二项式定理）这与是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是，但项的系数一个是，一个是，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设，则得公式：． ⑥通项是中含有五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当不是很大，比较小时可以用展开式的前几项求的近似值． 2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”⑵二项式系数的性质：展开式的二项式系数是：，从函数的角度看可以看成是为自变量的函数，其定义域是：．当时，的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和时的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺次是，，．．．，，，．．．，．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当依次取1，2，3，…等值时，的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当是偶数时，是奇数，展开式共有项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为．当是奇数时，是偶数，展开式共有项，所以有中间两项．这两项的二项式系数相等并且最大，最大为．③二项式系数的和为，即．④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．    二项式定理的应用1证明整除或者求余数 【例1】         利用二项式定理证明：是64的倍数．【考点】证明整除或求余数【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】64是8的平方，问题相当于证明是的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形，将其展开后各项含有，与的倍数联系起来．∵是64的倍数．  【例2】         若，证明：能被整除．【考点】证明整除或求余数【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】考虑先将拆成与的倍数有关的和式，再用二项式定理展开．，∵，，，…均为自然数，∴上式各项均为的整数倍．∴原式能被整除．点评：用二项式定理证明整除问题，大体上就是这一模式，先将某项凑成与除数有关的和式，再展开证之．该类题也可用数学归纳法证明，但不如用二项式定理证明简捷．  【例3】         证明：能被整除．【考点】证明整除或求余数【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】∵，∴只需证能被2整除．而能被2整除，因此能被整除．   【例4】         证明：能被整除．【考点】证明整除或求余数【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】．利用上一个变式的结论，只需证也能被整除．一样的道理，该式子可化为：，所以也只需证能被2整除即可．易知综上可知原命题结论成立．  【例5】         ⑴除以的余数________；⑵除以的余数是__________；⑶除以的余数是　　　　．【考点】证明整除或求余数【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】⑴将分解成含的因数，然后用二项式定理展开，不含的项就是余数．又∵余数不能为负数，需转化为正数∴除以的余数为∴应填：⑵将写成，然后利用二项式定理展开．容易看出该式只有不能被整除，因此除以的余数，即除以的余数，故余数为．∴应填：．⑶，用二项式定理展开后，易知除了最后一项，其它都能被整除．因此只需考虑除以的余数．只需考虑最后3项，不难算出余数为1  【例6】         的末尾连续零的个数是（      ）A．7          B．5          C．3             D．2【考点】证明整除或求余数【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】上述展开式中，最后一项为1；倒数第二项为1000；倒数第三项为495000，末尾有三个0；倒数第四项为16170000，末尾有四个0；依次前面各项末尾至少有四个0．所以的末尾连续零的个数是3．故选C．【答案】C