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    2020届二轮复习放缩法证明数列不等式教案(全国通用)
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    2020届二轮复习放缩法证明数列不等式教案(全国通用)

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    微专题57 放缩法证明数列不等式

    一、基础知识:

        在前面的章节中,也介绍了有关数列不等式的内容,在有些数列的题目中,要根据不等式的性质通过放缩,将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧

    1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质:

    (1)传递性:若此性质为放缩法的基础即若要证明,但无法直接证明,则可寻找一个中间量使得从而将问题转化为只需证明即可

    (2)若,此性质可推广到多项求和:

    :

    (3)若需要用到乘法,则对应性质为:若此性质也可推广到多项连乘但要求涉及的不等式两侧均为正数

    注:这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同

    2、放缩的技巧与方法:

    (1)常见的数列求和方法和通项公式特点:

    等差数列求和公式:关于的一次函数或常值函数

    等比数列求和公式:关于的指数类函数

    错位相减:通项公式为等差等比的形式

    裂项相消:通项公式可拆成两个相邻项的差,且原数列的每一项裂项之后正负能够相消,进而在求和后式子中仅剩有限项

    (2)与求和相关的不等式的放缩技巧:

    在数列中,求和看通项,所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手

    在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向,这将决定对通项公式是放大还是缩小(应与所证的不等号同方向)

    在放缩时,对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢,常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。

    若放缩后求和发现放了,即与所证矛盾,通常有两条道路选择:第一个方法是微调:看能否让数列中的一些项不动,其余项放缩。从而减小放缩的程度,使之符合所证不等式;第二个方法就是推翻了原有放缩,重新进行设计,选择放缩程度更小的方式再进行尝试。

    (3)放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧:

    裂项相消:在放缩时,所构造的通项公式要具备依项同构的特点,即作差的两项可视为同一数列的相邻两项(或等距离间隔项)

    等比数列:所面对的问题通常为常数的形式所构造的等比数列的公比也要满足 ,如果题目条件无法体现出放缩的目标,则可从所证不等式的常数入手,,常数可视为的形式,然后猜想构造出等比数列的首项与公比,进而得出等比数列的通项公式,再与原通项公式进行比较,看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数即可猜想该等比数列的首项为公比为即通项公式为

    注:此方法会存在风险,所猜出的等比数列未必能达到放缩效果,所以是否选择利用等比数列进行放缩,受数列通项公式的结构影响

    (4)与数列中的项相关的不等式问题:

    此类问题往往从递推公式入手,若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形

    在有些关于项的不等式证明中,可向求和问题进行划归,即将递推公式放缩变形成为可累加累乘的形式,即累乘时要求不等式两侧均为正数),然后通过累加累乘达到一侧为另一侧为求和的结果进而完成证明

    3、常见的放缩变形:

    (1),其中可称进可攻退可守可依照所证不等式不等号的方向进行选择

    注:对于可联想到平方差公式从而在分母添加一个常数即可放缩为符合裂项相消特征的数列例如这种放缩的尺度要小于(1)中的式子。此外还可以构造放缩程度更小的,如:

    (2)从而有

    注:对于还可放缩为

    (3)分子分母同加常数:

    此结论容易记混,通常在解题时,这种方法作为一种思考的方向,到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系。

    (4)

                                 

    可推广为:

                                      

    二、典型例题:

    例1:已知数列的前项和为

    (1)求证:数列是等差数列并求出的通项公式

    (2)设数列的前项和为求证

    解:(1)

        

          

    可得

    验证符合上式

     

    (2) 由(1)得:   

    可知当

                        

    不等式得证

    例2:设数列满足为数列的前项和已知

    (1)求数列的通项公式

    (2)求证:对任意的

    解:(1)    为公比是的等比数列

    ,令

        

    是公比为的等比数列

    (2)证明:

    例3:已知正项数列的前项和为,且

    (1)求证:数列是等差数列

    (2)记数列,证明:

    解:(1)

      

    为等差数列

    (2)思路:先利用(1)可求出的公式进而求出,则,考虑进行放缩求和,结合不等号的方向向裂项相消的形式进行放缩。

    解:令代入可得:

    为等差数列可得:

      

    考虑先证

    时,

    再证

    综上所述: 

    小炼有话说:本题在证明中用到一个常见的根式放缩:

    例4:已知数列满足

    (1)求证:数列是等比数列,并求出数列的通项公式

    (2)设,求证:

    解:(1)

      是公比为的等比数列

    (2)思路:,无法直接求和,所以考虑放缩成为可求和的通项公式(不等号:),若要放缩为裂项相消的形式,那么需要构造出顺序同构的特点。观察分母中有,故分子分母通乘以,再进行放缩调整为裂项相消形式。

    解:

    所以

                    

     

    小炼有话说(1)本题先确定放缩的类型,向裂项相消放缩,从而按依序同构的目标进行构造,在构造的过程中注意不等号的方向要与所证一致。

    (2)在求和过程中需要若干项不动,其余进行放缩,从而对求和的项数会有所要求(比如本题中才会有放缩的情况),对于较少项数要进行验证。

    例:已知数列的前项和,且

    1)求

    2)求数列的前项和

    3)设数列的前项和,且满足,求证:

    解:(1)在中,令可得:

    2  

      

    可得:

    是公差为6的等差数列

    3)由(2)可得:

                        

    例6:已知数列满足

    (1)试判断数列是否为等比数列并说明理由

    (2)设数列的前项和为求证:对任意的

    解:(1)

    为公比是的等比数列

    (2)思路:首先由(1)可求出的通项公式对于可发现为奇数时为偶数时结合通项公式可将其写成从而求出无法直接求和所以考虑对通项公式进行放缩,可联想到等比数列,进而求和后与所证不等式右端常数比较后再进行调整需前两项不动)即可

    解:(1)可得:

      

                                  

    因为为正项数列 

    例7:已知数列满足:,且

    (1)求数列的通项公式

    (2)证明:对于一切正整数,均有

    解:(1)

     

       为公比是的等比数列

     

       

    (2)思路:所证不等式可化简为:,由于是连乘形式,所以考虑放缩为分子分母可相消的特点,观察分母的形式为,所以结合不等号方向,将分子向该形式转化:,再根据右边的值对左边放缩的程度进行调整即可。

    证明:所证不等式为:

    等价于证明:

      

                  

    即不等式得证

    小炼有话说(1)对于一侧是连乘形式的表达式,在放缩时可考虑通过分子分母相消达到化简式子的目的。与裂项相消相似按照依序同构的原则构造。

    (2)本题中用到了分式放缩的常用方法:通过分子分母加上相同的数达到放缩目的,但要注意不等号的方向(建议验证),常用的放缩公式为:(分子小与分母),(分子大于分母)

    8:已知函数

    1)若函数处切线斜率为,已知,求证:

    2)在(1)的条件下,求证:

    解:(1

    整理后可得:

              

    下面用数学归纳法证明:

    时,成立

    假设成立,则

      

    时,不等式成立

    2

    由(1)可知  

     

     

     

    例9:已知数列的各项均为正值,对,且

    (1)求数列的通项公式

    (2)当时,证明对,都有成立

    解:(1)

       可得:

    为公比是的等比数列

      

    (2)思路:所证不等式为:左边含有两个变量,考虑通过消元简化所证不等式。设,则只需证明:,易知为递增数列。所以只需证明,即,左边共项,结合的特点可考虑将项分为3组:

    ,再求和即证不等式

    解:所证不等式由(1)可得:

      只需证:

     

              

    为递增数列  

      只需证

    10数列是公差不为零的等差数列数列满足

    (1)当求证

    (2)当为等比数列

    取最小值时求证:

    解:(1)由可得

    两式相除可得:

    (2) 思路:本题的突破口在于既在等差数列又在等比数列从而在两个不同风格的数列中均能够用进行表示然后便得到的关系式抓住的特点即可求出的值

    为等差数列   

    另一方面,为等比数列  

      

    可视为以为首项为公比的等比数列前项和

        

    能够被6整除  

    经检验:均符合题意

    思路:所证不等式两侧均为数列求和的形式,所以先观察两侧是否有能直接求和的式子,从而化简一侧的表达式,由(1)和(2)可知,,所以对于右侧,显然无法直接找到求和方法而对于,虽然没有通项公式,可对向可求和的方式进行变形得到从而可想到利用裂项相消的方式进行求和得到。对于右侧只能考虑进行放缩针对的特点可向等比数列靠拢结合不等号方向可得。所以。于是所证的不等式就变为只需证明,即证明,考虑对进行放缩,抓住这个特点,由已知可得为递增数列但右侧为无法直接放缩证明,所以要对的放缩进行调整,计算出可得进而但此时只能证明不等式成立对于有限的项逐次验证即可

    由(1)可得:

                                

    只需证明即可

    即证明:

    可知为递增数列

    可得

          

    可知成立

    得证

    成立

      

    综上所述:恒成立

     

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