2020届二轮复习圆问题学案（全国通用）

                              专题11  隐圆问题

直线与圆是高中数学的C级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现．但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题

类型一  利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆

典例1   如果圆上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是________

【答案】

【解析】到原点的距离为1的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知圆相交求解

类型二 由圆周角的性质确定隐形圆

典例2  已知圆为圆上的两个动点，且为弦的中点， .当在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【解析】由题意得，

∴点在以为圆心，半径为2的圆上．

设的中点为，则，且．

∵当在圆上运动时，始终有为锐角，

∴以为圆心，半径为2的圆与以为圆心，半径为1的圆外离．

∴，

整理得，

解得或．

∴实数的取值范围为．

类型三  两定点A、B，动点P 满足确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）

典例3 一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8 海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4 海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3 倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．

（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据： ）

（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．

【答案】（1）略（2）能

【解析】：（1）略

（2）如图乙，

以A 为原点，正北方向所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系xOy ．则，设缉私艇在P(x，y)处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私船相遇，则

即,

因为圆心到领海边界线l：x 3.8的距离为1.55，大于圆半径

所以缉私艇能在领海内截住走私船．

1．已知中， ， 所在平面内存在点使得，则面积的最大值为__________．

【答案】

【解析】设，以所在直线为轴、其中垂线所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示），

则，设，由，得，即，

则，

则，

即，

解得，即，

即面积的最大值为.

2．在平面直角坐标系xOy 中，已知B，C 为圆上两点， 点A(1,1)，且AB⊥AC，则线段BC 的长的取值范围为_______

【答案】

【解析】

设BC的中点为M (x,y)，  ,

因为，  

所以，        

化简得，                

所以点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以AM的取值范围是，所以BC的取值范围是．

3．在平面直角坐标系中，已知圆和两点，且，若圆上存在两个不同的点，使得，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【解析】原问题等价于以为圆心的圆与圆有两个交点，

AB中点坐标为，以为圆心的圆的半径，

且圆的圆心为，半径为，

两圆的圆心距为： ，

结合可得关于实数的不等式组：

，

求解关于实数的不等式组可得实数的取值范围为.

4．在平面直角坐标系中，已知点A（，0），B（1，0）均在圆： 外，且圆上存在唯一一点满足，则半径的值为____．

【答案】4

【解析】根据题意,点A(−1,0),B(1,0)，若点满足，

则点P在以AB为直径的圆上，

设AB的中点为M,则M的坐标为 (0,0)， |AB|=2，

则圆M的方程为，

若圆上存在唯一一点满足，则圆C与圆M只有一个交点，即两圆外切，

则有r+1=|MC|=，解可得r=4.

5．已知等边的边长为2，点在线段上，若满足等式的点有两个，则实数的取值范围是_____．

【答案】

【解析】以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则

，AC：

由得 ，

6.已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为____________．

【答案】

【解析】设P(x，y)，sin∠OPA＝sin30°＝，则x2＋y2＝4　①.又P在圆M上，则(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1　②.由①②得1≤≤3，所以≤a≤.

7.在平面直角坐标系xOy中，已知过原点O的动直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B，若点A恰为线段OB的中点，则圆心C到直线l的距离为____________．

【答案】　

【解析】∵ 圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0，整理，得其标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴ 圆C1的圆心坐标为(3，0)；设直线l的方程为y＝kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立(x－3)2＋y2＝4，y＝kx，消去y可得(1＋k2)x2－6x＋5＝0，由题知x1＝x2, y1＝y2，由韦达定理化简可得k2＝，即k＝±，直线l的方程为y＝±x，由点到直线的距离公式知，所求的距离为.

8.在平面直角坐标系xOy中，过点P(－2，0)的直线与圆x2＋y2＝1相切于点T，与圆(x－a)2＋(y－)2＝3相交于点R，S，且PT＝RS，则正数a的值为____________．

【答案】4　

【解析】圆x2＋y2＝1半径为1，PO＝2，则直线PT的倾斜角为30°，则直线方程为x－y＋2＝0，PT＝，RS＝，圆(x－a)2＋(y－)2＝3的半径为，则圆(x－a)2＋(y－)2＝3的圆心(a，)到直线PT的距离为，由点到直线距离公式得|a－1|＝3，则正数a＝4.

9.在平面直角坐标系xOy中，圆M：(x－a)2＋(y＋a－3)2＝1(a＞0)，点N为圆M上任意一点．若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为__________．

【答案】3　

【解析】根据题意，圆M与以N为圆心的圆的位置关系是内切或内含．则dMN≤dON－1，即1≤dON－1.所以dON≥2恒成立．因为N在圆M上运动，所以dON的最小值为dOM－1，即dOM－1≥2，所以≥3，解得a≥3，所以a的最小值为3.

10.已知线段AB的长为2，动点C满足·＝λ(λ为常数)，且点C总不在以点B为圆心，为半径的圆内，则实数λ的最大值是__________．

【答案】－　

【解析】建立平面直角坐标系，B(0，0)，A(2，0)，设C(x，y)，则·＝x(x－2)＋y2＝λ，则(x－1)2＋y2＝λ＋1，得＝，点C的轨迹是以(1，0)为圆心为半径的圆且与x2＋y2＝外离或相切．所以≤，λ的最大值为－.

11.在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝－x＋2与圆x2＋y2＝r2(r＞0)交于A，B两点．若圆上存在一点C，满足＝＋，则r的值为________．

【答案】　

【解析】2＝＝2＋2··＋2，即r2＝r2＋r2cos∠AOB＋r2，整理化简得cos∠AOB＝－，过点O作AB的垂线交AB于D，则cos∠AOB＝2cos2∠AOD－1＝－，得cos2∠AOD＝.又圆心到直线的距离为OD＝＝，所以cos2∠AOD＝＝＝，所以r2＝10，r＝.

12.已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点．若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，则点A横坐标的取值范围是__________．

【答案】[1，5]　

【解析】圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，说明点A(x，y)到M (1，1)的距离小于等于4，即(x－1)2＋(y－1)2≤16，而y＝6－x，得x2－6x＋5≤0，即1≤x≤5.点A横坐标的取值范围为[1，5]．

13.已知点A(0，2)为圆M：x2＋y2－2ax－2ay＝0(a＞0)外一点，圆M上存在点T使得∠MAT＝45°，则实数a的取值范围是________________．

【答案】－1≤a＜1　

【解析】点A(0，2)在圆M：x2＋y2－2ax－2ay＝0(a＞0)外，得4－4a＞0，则a＜1.圆M上存在点T使得∠MAT＝45°，则≤r＝a，即AM≤2a，(a－2)2＋a2≤4a2(a＞0)，解得－1≤a.综上，实数a的取值范围是－1≤a＜1.

14.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x－y－8＝0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为____________．

【答案】－

【解析】设圆O1的方程为(x－a)2＋(y－ka)2＝k2a2 ①，圆O2的方程为＋＝ ②，②－①，得2ax－x＋2aky－ky＋－a2＝0，即2x＋2y－a－＝0.设P(x0，y0)，则(x0－a)2＋(y0－ka)2＝k2a2，即x＋y＝2ax0＋2ay0－a2，又2x0＋2y0－a－＝0，可得2ax0＋2ay0－a2＝6，故x＋y＝6，即点P的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为－.

15.已知直线l过点P(1，2)且与圆C：x2＋y2＝2相交于A，B两点，△ABC的面积为1，则直线l的方程为________________．

【答案】x－1＝0，3x－4y＋5＝0

【解析】由S△ABC＝×2×sin∠ACB＝1，sin∠ACB＝1，∠ACB＝90°，则点C(0，0)到直线l的距离为1，设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，利用距离公式可得k＝，此时直线l的方程为3x－4y＋5＝0，当k不存在时，x－1＝0满足题意．

16.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，A为圆C与x轴负半轴的交点，过A作圆C的弦AB，记线段AB的中点为M.若OA＝OM，则直线AB的斜率为________．

【答案】2　

【解析】设点B(x0，y0)，则M，圆x2＋(y－1)2＝5与x轴负半轴的交点A(－2，0)，OA＝OM＝2＝，即＋＝4.又 x＋(y0－1)2＝5，两式相减得y0＝2x0＋4.而A(－2，0)也满足y0＝2x0＋4，即直线AB的方程为y0＝2x0＋4，则直线AB的斜率为2.

17.在平面直角坐标系xOy中，圆C1：(x＋1)2＋(y－6)2＝25，圆C2：(x－17)2＋(y－30)2＝r2.若圆C2上存在一点P，使得过点P可作一条射线与圆C1依次交于点A、B，满足PA＝2AB，则半径r的取值范围是______________．

【答案】[5，55]　

【解析】在圆C2上任取一点P，过点P可作一条射线与圆C1依次交于点A、B，当AB过圆心时，此时PA在该点处最小，AB在该点情况下最大，此时在P点情况下最小，当P，A，B三点共线时，如图1，2，PA为所有位置最小，且是所有位置中最小，所以只要满足≤2，即满足题意，

5≤r≤55.

18.直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9，直线l：y＝kx＋3与圆C相交于A、B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为________．

【答案】

【解析】以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则C点到直线l的距离小于1，即d＝≤1，解得k≤－.

19平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足MA2＋MO2＝10，则实数a的取值范围是________．

【答案】[0，3]　

【解析】设M(x，y)，由MA2＋MO2＝10，A(0，2)，得x2＋(y－1)2＝4，而(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，它们有公共点，则1≤a2＋(a－3)2≤9，解得实数a的取值范围是[0，3]．

20.平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4，P为圆C上一点．若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60°，则圆M的方程为______________．

【答案】(x－1)2＋y2＝1　

【解析】∵ 当P在圆C上运动时∠APB恒为60°，∴ 圆M与圆C一定是同心圆，∴ 可设圆M的方程为(x－1)2＋y2＝r2.当点P坐标是(3，0)时，设直线AB与x轴的交点为H，则MH＋HP＝2，MH＝r，AB＝2×r，所以r＋2×r×＝2，解得r＝1，所以所求圆M的方程为(x－1)2＋y2＝1.