2020届二轮复习整数（整除）性问题学案（全国通用）

                              专题13  整数（整除）性问题

解决整数（整除）性问题，一般将所求参数求出，尽量出现分式、根式等形式，再根据整数性质加以研究、求解.

类型一  根式型

典例1. 已知数列是等差数列，，数列是等比数列，．

① 若．求数列和的通项公式；

② 若是正整数且成等比数列，求的最大值．

【答案】（1），（2）

【解析】

解：（1）由题得，所以，从而等差数列的公差，所以，从而，所以．

（2）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，，，.

因为成等比数列，所以．

设，，，

则，整理得，.

解得（舍去负根）.

，要使得最大，即需要d最大，即及取最大值.，，

当且仅当且时，及取最大值.

从而最大的， 所以，最大的   

类型二 分式型

典例2已知，问是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由？

【答案】，n＝16，

【解析】解：∴ ∴，

∵成等比数列．∴ ，所以

又∵为正整数且，∴，n＝16，且1<m<n，使得成等比数列.

类型三 指数型

典例3  已知数列的通项公式为，是其前n项的和，问是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对；若不存在，请说明理由.

【答案】

【解析】解： ，由，得

当时，分母小于0恒成立，化简可知不等式不可能成立，又因为是正整数，故 当时，由得，，所以；当时，由得，，所以或；当时，由得，，所以或或，

综上可知，存在符合条件的所有有序实数对为：．

1.已知函数,，若存在，使为的最小值，为的最大值，则此时数对为

_________.

【答案】（1，2）

【解析】解：由知，又得

；而的最小值时=，又为的最大值即

所以得得0或1，则此时数对为（1，2）

2.m∈N，若函数存在整数零点，则m的取值集合为________.

【答案】{0，3，14，30}．

【解析】解：当x∈Z，且x≤10时，∈Z．若m=0，则x= -5为函数f(x)的整数零点．

若m≠0，则令f(x)=0，得m=∈N．注意到-5≤x≤10，且∈N，得x∈{1，6，9，10}，此时m∈{3，，14，30}．故m的取值集合为{0，3，14，30}．

3.已知二项式，其中，且，在其二项展开式中，若存在连续三项的二项式系数成等差数列，问这样的n共有多少个？

【答案】42

【解析】解：连续三项的二项式系数分别为、、（），由题意，依组合数的定义展开并整理得，故，则，代入整理得，，，，故的取值为，，…，，共42个.

4.已知等差数列的公差d不为0，等比数列的公比q为小于1的正有理数，若，且是正整数，则q等于 ________.

【答案】

【解析】

（负舍）

因为q为小于1的正有理数，所以

5.函数中，为负整数，则使函数至少有一个整数零点的所有的值的和为______________.

【答案】-14

【解析】因为

所以当时，当时，所有的值的和为

6.设均为大于的自然数，函数，若存在实数使得，则. 

【答案】

【解析】因为，所以，

所以

当时

7.各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成公差为d（d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列. 若，则q的所有可能的值构成的集合为      .

【答案】

【解析】因为，所以，

当时；当时（舍）；当时；所以q的所有可能的值构成的集合为