2020届数学(理)二轮复习第2部分专题4第1讲　空间几何体的表面积、体积及有关量的计算学案



第1讲　空间几何体的表面积、体积及有关量的计算

[做小题——激活思维]
1．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)
A．1 cm　　　　　　　 B．2 cm
C．3 cm D． cm
B　[S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm)．]
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)

A.＋2π B.
C. D.
B　[由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为π×12×2＋×π×12×1＝.]
3．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．
π　[设正方体的棱长为a，则6a2＝18，∴a＝.
设球的半径为R，则由题意知2R＝＝3，
∴R＝.
故球的体积V＝πR3＝π×＝π.]
4.如图，直三棱柱ABC­A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D­A1BC的体积是________．

　[V＝V＝V＝×S×＝.]
5．[一题多解](2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有____________个面，其棱长为____________．

图1　　　　　　　　　　　　　图2
26　－1　[先求面数有如下两种方法．
法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有2×9＋8＝26(个)面．
法二：一般地，对于凸多面体，顶点数(V)＋面数(F)－棱数(E)＝2.(欧拉公式)
由题图知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24.
故由V＋F－E＝2，得面数F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26.
再求棱长．作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH，如图，设其边长为x，则正八边形的边长即为半正多面体的棱长．
连接AF，过H，G分别作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分别为M，N，则
AM＝MH＝NG＝NF＝x.
又AM＋MN＋NF＝1，∴x＋x＋x＝1.
∴x＝－1，即半正多面体的棱长为－1.]
[扣要点——查缺补漏]
1．空间几何体分为多面体和旋转体
研究其特性常采用化空间为平面的方法，如截面图、轴截面等，如T5.
2．旋转体的表面积和体积公式
(1)S圆柱侧＝2πrl，S圆锥侧＝πrl，S圆台侧＝π(r1＋r2)l，S球＝4πR2 ，V柱＝sh，V锥＝sh，V球＝πR3，如T1.
(2)球的截面的性质：用一个平面去截球，截面是圆面；球心和截面圆的距离d与球的半径R及截面圆半径r之间的关系是r＝.
3．空间几何体的体积与表面积求法
(1)割补法：求不规则几何体的体积或表面积时，通过割补，转化成规则几何体求解．如T2.
(2)等积变换：涉及三棱锥的体积，注意灵活选择底面和对应的高．如T4.
4．多面体与球
(1)当球内切于正方体时，球的直径等于正方体的棱长，当球外接于长方体时，长方体的体对角线长等于球的直径；当球与正方体各棱都相切时，球的直径等于正方体底面的对角线长．如T3.
(2)若正四面体的棱长为a，则正四面体的外接球半径为a，内切球半径为a.

　空间几何体的三视图、展开图、截面图(5年3考)

[高考解读]　高考对该点的考查先前以三视图的识别为主，近几年有向侧面展开图、截面图形的性质等方向考查的趋势，总体思路是多考查一点空间想象能力.
1．(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(　　)

A．2　　　　　　 B．2
C．3 D．2
切入点：先由三视图还原直观图，再把直观图展成平面图．
B　[由三视图可知，该几何体为如图1所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图2所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为＝＝2.故选B.

图1　　　　　　　　　　　图2]
2．(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
切入点：将每条棱所在直线与平面α所成的角相等转化为共顶点的三条棱所在直线与平面α所成角相等．
A　[记该正方体为ABCD­A′B′C′D′，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱A′A，A′B′，A′D′与平面α所成的角都相等．如图，连接AB′，AD′，B′D′，因为三棱锥A′­AB′D′是正三棱锥，所以A′A，A′B′，A′D′与平面AB′D′所成的角都相等．分别取C′D′，B′C′，BB′，AB，AD，DD′的中点E，F，G，H，I，J，连接EF，FG，GH，IH，IJ，JE，易得E，F，G，H，I，J六点共面，平面EFGHIJ与平面AB′D′平行，且截正方体所得截面的面积最大．又EF＝FG＝GH＝IH＝IJ＝JE＝，所以该正六边形的面积为6××＝，所以α截此正方体所得截面面积的最大值为，故选A.]

立体几何中的“截、展”
(1)“截”，指的是截面，如柱、锥、台的直截面、斜截面以及旋转体的轴截面，它们集中反映了几何体的主要元素的数量关系，能够列出有关量的关系．
(2)“展”，指的是侧面展开图，在有关沿表面的最短路径问题中，就是求侧面或某些面展开图上两点间的距离，即将空间问题转化为平面问题．一般多面体常以棱所在的直线为剪开线展开，旋转体以母线为剪开线展开．

1．(三视图的识别)榫卯，是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式．凸出部分叫榫(或叫榫头)；凹进部分叫卯(或叫榫眼、榫槽)．其特点是在物件上不使用钉子，利用榫卯加固物件，体现出中国古老的文化和智慧．若如图3摆放的木构件是由带榫、卯的木构件咬合成的，则图中带卯的木构件的俯视图可以是(　　)


A　　　　　B　　　　　　C　　　　　D
B　[根据题意，因为有凹进部分的木构件叫卯，所以带卯的木构件是题图2.则该带卯的木构件的俯视图即为选项B中的图示．故选B.]
2.(侧面展开图)如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为4 m，则圆锥底面圆的半径等于________m.
　[把圆锥侧面沿过点P的母线展开成如图所示的扇形，
由题意OP＝4，PP′＝4，
则cos∠POP′＝＝－，所以∠POP′＝.
设底面圆的半径为r，则2πr＝×4，
所以r＝.]
3．(截面的计算问题)已知圆锥的底面直径为，母线长为1，过圆锥的顶点，作圆锥的截面，则截面面积的最大值为________．
　[由于圆锥的底面直径为，母线长为1，设圆锥轴截面的顶角为α，则cos α＝＝－.
又α∈(0，π)，∴α＝.因等截面面积的最大值为×1×1×sin ＝.]
　几何体的表面积和体积(5年9考)

[高考解读]　高考对该点的考查主要有两种，一是以三视图为载体考查简单几何体或组合体的表面积或体积；二是利用空间几何体的几何特征及体(面)积求其它几何量.
1．[一题多解](2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(　　)

A．90π　　　　 B．63π
C．42π D．36π
B　[法一：(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得，如图所示．
将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π.故选B.
法二：(估值法)由题意知，V圆柱＜V几何体＜V圆柱．又V圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π＜V几何体＜90π.观察选项可知只有63π符合．故选B.]
2．(2012·山东高考)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1­EDF的体积为________．
切入点：利用等体积法，即V＝V可求．
　[三棱锥D1­EDF的体积即为三棱锥F­DD1E的体积．因为E，F分别为AA1，B1C上的点，所以在正方体ABCD­A1B1C1D1中△EDD1的面积为定值，F到平面AA1D1D的距离为定值1，所以V＝××1＝.]
3．[重视题](2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O­EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.
118.8　[由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，
对角线长分别为6 cm和4 cm，
故V挖去的四棱锥＝××4×6×3＝12(cm3)．
又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，
所以模型的体积为
V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，
所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．]
[教师备选题]
1．(2017·全国卷Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________．
4　[如图，连接OD，交BC于点G，

由题意，知OD⊥BC，OG＝BC.
设OG＝x，则BC＝2x，DG＝5－x，
三棱锥的高h＝
＝＝，
S△ABC＝×2x×3x＝3x2，则三棱锥的体积
V＝S△ABC·h＝x2·
＝·.
令f(x)＝25x4－10x5，x∈，则f′(x)＝100x3－50x4.
令f′(x)＝0得x＝2.当x∈(0,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈时，f′(x)