2020届二轮复习空间向量在立体几何中的应用教案（全国通用）
展开2020届二轮复习 空间向量在立体几何中的应用 教案（全国通用）
类型一、空间向量的运算
【例1】已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的单位法向量。
【答案】单位法向量=±（，－，）.
【解析】设面ABC的法向量，则⊥且⊥，即
，即，解得，
令，则
∴单位法向量=±（，－，）.
【总结升华】一般情况下求法向量用待定系数法。由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把的某个坐标设为1，再求另两个坐标。平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解。
类型二：向量法证明平行或垂直
【例2】如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点
（Ⅰ）证明：直线；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。
【解析】作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系
,
(1)
设平面OCD的法向量为,则
即
取,解得
(2)设与所成的角为,
, 与所成角的大小为
(3)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,
由 , 得.
所以点B到平面OCD的距离为
【总结升华】1. 用向量证明线面平行的方法有：
(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；
(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；
(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示．
2. 用向量法证垂直问题：
(1)证明线线垂直，只需证明两直线的方向向量数量积为0；
(2)证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直；
(3)证明面面垂直，只需证明两平面的法向量的数量积为0，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直．
举一反三：
【变式】 ID 401056【高清视频空间向量在立体几何中的应用例题1】如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．求证：
(1)DE∥平面ABC；
(2)B1F⊥平面AEF.
【解析】如图建立空间直角坐标系A－xyz，令AB＝AA1＝4，
则A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(2，2，0)，B(4，0，0)，B1(4，0，4)．
(1) 取AB中点为N，则N(2，0，0)，C(0，4，0)，D(2，0，2)，
∴＝(－2，4，0)，＝(－2，4，0)，
∴＝.∴DE∥NC，
又NC在平面ABC内，DE不在平面ABC内，故DE∥平面ABC.
(2)＝(－2，2，－4)，＝(2，－2，－2)，
＝(2，2，0)，
·＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，
则⊥，∴B1F⊥EF，
∵·＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.
∴⊥，即B1F⊥AF，
又∵AF∩FE＝F，∴B1F⊥平面AEF.
类型三：异面直线所成的角
【例3】如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱,,则直线与直线夹角的余弦值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A.
【解析】解析:不妨设,则,,直线与直线夹角为锐角,所以余弦值为,选A.
举一反三：
【变式】三棱柱中,底面边长和侧棱长都相等,,则异面直线与所成角的余弦值为_____________.
【答案】
【解析】设该三棱柱的边长为1,依题意有,则
而
类型四：直线与平面所成的角
【例4】如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。试确定，使直线与平面所成角的正切值为；
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,ｍ)，C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).
所以
又由的一个法向量.
设与所成的角为，
则
依题意有，解得.
故当时，直线。
举一反三：
【变式】如图，三棱锥P-ABC中，∠ABC=，PA=1，AB=，AC=2，PA⊥面ABC．
(1)求直线AB和直线PC所成角的余弦值；
(2)求PC和面ABC所成角的正弦值；
【答案】
(1)以A为坐标原点，分别以AB、AP所在直线为y轴、z轴,以过A点且平行于BC直线为x轴建立空间直角坐标系.
在直角△ABC中,∵AB=，AC=2，∴BC=1
A(0,0,0)，B(0,,0)，C(1,,0)，P(0,0,1).
(0,,0)，(1,,),
cos<,>===
∴直线AB与直线PC所成的角余弦为.
(2)取平面ABC的一个法向量=(0，0，1)，
设PC和面ABC所成的角为，则
sin=|cos<，>|==.
∴PC和面ABC所成的角的正弦值为．
类型五：二面角
【例5】 ID 401056 【高清视频空间向量在立体几何中的应用例题2】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝.
(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；
(2)求二面角A－A1C1－B1的正弦值；
(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．
【解析】
如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点，依题意得A(2，0，0)，B(0，0，0)，
C(，－，)，A1(2，2，0)，B1(0，2，0)，C1(，，)．
(1) 易得＝(－，－，)，＝(－2，0，0)，
于是cos〈，〉＝＝＝，
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为.
(2) 易知＝(0，2，0)，＝(－，－，)．
设平面AA1C1的一个法向量m＝(x，y，z)，则
即不妨令x＝，可得m＝(，0，)．
设平面A1B1C1的一个法向量n＝(x，y，z)，则
即不妨令y＝，可得n＝(0，，)．
则cos〈m，n〉＝＝＝，从而sin〈m，n〉＝，
所以二面角A－A1C1－B1的正弦值为.
(3) 由N为棱B1C1的中点，得N(，，)．设M(a，b，0)，
则＝(－a，－b，)．因为MN⊥平面A1B1C1，
由(2)知平面A1B1C1的一个法向量为n＝(0，，)，所以∥n，
所以－a＝0，＝，
解得.故M(，，0)．因此＝(，，0)，
所以线段BM的长||＝.
【总结升华】求两异面直线所成的角，用向量法就是求两直线上的两方向向量的夹角，但需注意二者范围的区别．同样地，利用向量法求二面角的大小，就是求两个半平面的法向量的夹角(或夹角的补角)，在具体求解中应适当选取或求解直线的方向向量及平面的法向量．在空间直角坐标系中，常采用待定系数法求平面的法向量．
举一反三：
【变式】在如图所示的几何体中,四边形是等腰梯形,∥,平面.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【解析】(Ⅰ)在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=60°,CB=CD,
由余弦定理可知,
即,在中,∠DAB=60°,,则为直角三角形,且.又AE⊥BD,平面AED,平面AED,且,故BD⊥平面AED;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,设,则,建立如图所示的空间直角坐标系,,向量为平面的一个法向量.
设向量为平面的法向量,则,即,
取,则,则为平面的一个法向量.
,而二面角F-BD-C的平面角为锐角,则
二面角F-BD-C的余弦值为.
解法二:取的中点,连接,由于,因此,
又平面,平面,所以
由于平面,所以平面
故,所以为二面角的平面角.在等腰三角形中,由于,因为,又,所以,
故,因此二面角的余弦值为.
类型六：空间距离
【例5】已知正三棱柱—,，,是侧棱的中点。
（1） 求二面角的正切值；
（2）求点到平面的距离．
【答案】如图，建立空间直角坐标系．
则．
（1）设为平面的法向量．
由 得．
取
又平面的一个法向量
．
结合图形可知，二面角的正切值为3．
（2）由（1）知：
点到平面的距离＝．
【总结升华】利用向量法求点到平面的距离的步骤如下：(1)求出该平面的一个法向量n；(2)找出以该点及平面内的某点为端点的线段对应的向量a；(3)利用公式d＝求距离．
举一反三：
【变式】设A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），求D到平面ABC的距离。
【解析】∵A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），
∴
设平面ABC的法向量=（x，y，z），
则，，
∴
即
令z=－2，则=（3，2，－2）
∴由点到平面的距离公式：
===，
∴点D到平面ABC的距离为。
类型七、利用空间向量解决立体几何中的探索问题
【例6】如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面，△是等边三角形，， ，是线段的中点．（1）求证：；（2）求四棱锥的体积；（3）试问线段上是否存在点，使二面角的余弦值为?若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
【证明】（1）因为侧面，平面，
所以．
又因为△是等边三角形，是线段的中点，
所以．
因为，所以平面．
而平面，所以．
（2）由（1）知平面，所以是四棱锥的高．
由，，可得．
因为△是等边三角形，可求得．
所以．
（3）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
设,
则
.
设为平面的法向量,
.
设平面的法向量为．
.
化简得.
解得.
所以存在点，且 .
【总结升华】空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断。在解题过程上中，往往把“是否存在”问题，转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，所以使问题的解决更简单、有效，在立体几何二轮复习中，我们要善于运用这一方法。
