2020届二轮复习判断点在圆内外，向量应用最厉害学案（全国通用）

【题型综述】点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几种：①利用设而不求思想求出圆心坐标，然后计算圆心到点的距离并和半径比较得解；②向量法，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：如已知是圆的直径，是平面内一点，则点在圆内；点在圆外；点在圆上．③方程法，已知圆的方程，点，则点在圆内；点在圆上；点在圆外.四点共圆问题的解题策略：①利用四点构成的四边形的对角互补；②利用待定系数法求出过其中三点的圆的方程，然后证明第四点坐标满足圆的方程.【典例指引】类型一  向量法判定点与圆的位置关系例1 【2015高考福建，理18】已知椭圆E：过点，且离心率为．(Ⅰ)求椭圆E的方程；                                                     (Ⅱ)设直线交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．【解析】解法一：(Ⅰ)由已知得解得，所以椭圆E的方程为．(Ⅱ)设点AB中点为．由&所以从而.所以.         ,故所以，故G在以AB为直径的圆外．所以不共线，所以为锐角.故点G在以AB为直径的圆外．&类型二 四点共圆应用问题例2. （2014全国大纲21）已知抛物线C：的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.（I）求C的方程；（II）过F的直线与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求的方程.类型三 动圆过定点问题例3(2012福建理19)如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率。过的直线交椭圆于两点，且的周长为8。（Ⅰ）求椭圆的方程。（Ⅱ）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点。试探究：     在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。 （法2）由得，∵动直线与椭圆有且只要一个交点，∴且△=0，&即，化简得             ①此时==，==，∴(,),由得(4，).&假设平面内存在定点满足条件，由图形对称性知，点必在轴上,设(,0)，则=0对满足①式的，恒成立.∵=(－,),=(4－，)，∴=0，整理得，   ②∴，解得=1，∴存在定点(1,0)，使得以为直径的圆恒过点.∵=(－1,),=(3，)，∴==0，&∴恒有，   ∴存在定点(1,0)，使得以为直径的圆恒过点.类型四 证明四点共圆例4.    已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足(Ⅰ)证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.【扩展链接】1.O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.2.若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有：① ；②若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有：① ；②同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）结论：椭圆过焦点弦长公式：3.设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则①.   ②.      ③.④.；⑤.；⑥.；