2020届二轮复习平面向量的数量积及平面向量的应用学案（全国通用）


2020届二轮复习 平面向量的数量积及平面向量的应用 学案（全国通用）
高频考点一　平面向量数量积的运算
例1、[2017·北京高考]已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则·的最大值为________．
答案　6
解析　解法一：根据题意作出图象，如图所示，A(－2,0)，P(x，y)．

由点P向x轴作垂线交x轴于点Q，则点Q的坐标为(x,0)．
·＝||||cosθ，
||＝2，||＝，
cosθ＝＝，
所以·＝2(x＋2)＝2x＋4.
点P在圆x2＋y2＝1上，所以x∈[－1,1]．
所以·的最大值为2＋4＝6.

【举一反三】(1)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于(　　)
A．20 B.15 C．9 D．6
(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．
答案　(1)C　(2)1　1
解析　(1)＝＋，
＝－＝－＋，
∴·＝(4＋3)·(4－3)
＝(162－92)＝(16×62－9×42)＝9，
故选C.
(2)方法一　以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)， D(0,1)，


方法二　由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，∴·＝||·1＝1，

当E运动到B点时，在方向上的投影最大即为DC＝1，
∴(·)max＝||·1＝1.
【感悟提升】(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．
【变式探究】(1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·＝________.

(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.
答案　(1)22　(2)2
解析　(1)由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以(＋)·(－)＝2，即2－·－2＝2.又因为2＝25，2＝64，所以·＝22.
(2)由题意知：·＝(＋)·(－)
＝(＋)·(－)
＝2－·－2＝4－0－2＝2.
高频考点二　用数量积求向量的模、夹角
例2、已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝，且|2a＋b|＝，则向量a与向量a＋b的夹角为(　　)
A. B. C. D．π
答案　B
解析　由题意，得|2a＋b|2＝4＋4a·b＋3＝7，所以a·b＝0，所以a·(a＋b)＝1，且|a＋b|＝＝2，故cos〈a，a＋b〉＝＝，所以〈a，a＋b〉＝.故选B.
【举一反三】(1)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(　　)
A.－8 B.－6
C.6 D.8
(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________.

答案　(1)D　(2)∪
【方法规律】平面向量数量积求解问题的策略
(1)求两向量的夹角：cosθ＝，要注意θ∈[0，π]．
(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：
①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；
②|a±b|＝＝；
③若a＝(x，y)，则|a|＝.
【变式探究】 (1)已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.120°
(2)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.

答案　(1)A　(2)－2
【感悟提升】(1)根据平面向量数量积的定义，可以求向量的模、夹角，解决垂直、夹角问题；两向量夹角θ为锐角的充要条件是cos θ＞0且两向量不共线；
(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．
【举一反三】(1)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.
(2)在△ABC中，若A＝120°，·＝－1，则||的最小值是(　　)
A. B．2
C. D．6
答案　(1)　(2)C

(2)∵·＝－1，
∴||·||·cos120°＝－1，
即||·||＝2，
∴||2＝|－|2＝2－2·＋2
≥2||·||－2·＝6，
∴||min＝.
高频考点三　平面向量与三角函数
例3、在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sinx，cosx)，x∈.
(1)若m⊥n，求tanx的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值．
解　(1)因为m＝，n＝(sinx，cosx)，m⊥n.
所以m·n＝0，即sinx－cosx＝0，
所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.
(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，
即sinx－cosx＝，所以sin＝，
因为0