2020届二轮复习平面向量学案（全国通用）

培优点八  平面向量1．代数法例1：已知向量，满足，，且，则在方向上的投影为（    ）A．3 B． C． D．【答案】C【解析】考虑在上的投影为，所以只需求出，即可．由可得：，所以．进而．故选C． 2．几何法例2：设，是两个非零向量，且，则_______．【答案】【解析】可知，，为平行四边形的一组邻边和一条对角线，由可知满足条件的只能是底角为，边长的菱形，从而可求出另一条对角线的长度为． 3．建立直角坐标系例3：在边长为1的正三角形中，设，，则__________．【答案】【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题， 观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，如图建系：，，，下面求坐标：令，∴，，由可得：，∴，∴，，∴．  一、单选题1．已知向量，满足，，且向量，的夹角为，若与垂直，则实数的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，故选D．2．已知向量，满足，，，则（    ）A．1 B． C． D．2【答案】A 【解析】由题意可得：，则．故选A．3．如图，平行四边形中，，，，点在边上，且，则（    ）A． B．1 C． D．【答案】B【解析】因为，所以，，则．故选B．4．如图，在中，是边的中线，是边的中点，若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，在中，是边的中线，所以，又因为是边的中点，所以，所以，故选B．5．在梯形中，，，，，动点和分别在线段和上，且，，则的最大值为（    ）  A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，，，所以是直角梯形，且，，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系：因为，，动点和分别在线段和上，则，，，，所以，令且，由基本不等式可知，当时可取得最大值，则．故选D．6．已知中，，，，为线段上任意一点，则的范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，中，，，，则根据余弦定理可得，即．∴为直角三角形
以为原点，为轴，为轴建立坐标系，则，， 则线段的方程为，．设，则．∵，∴．故选C．7．已知非零向量，，满足且，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】非零向量，，满足且，则，∴，∴，∴，∴，，∴与的夹角为，故选A．8．在中斜边，以为中点的线段，则的最大值为（    ）A． B．0 C．2 D．【答案】B【解析】∵在中斜边，∴，∵为线段中点，且，∴原式，当时，有最大值，．故选B．9．设向量，，，满足，，，则的最大值等于（    ）A．1 B． C． D．2【答案】D【解析】设，，，因为，，所以，，所以，，，四点共圆，因为，，所以， 由正弦定理知，即过，，，四点的圆的直径为2，所以的最大值等于直径2，故选D．10．已知与为单位向量，且，向量满足，则的取值范围为（    ）A．  B．C．  D．【答案】B【解析】由，是单位向量，，可设，，，由向量满足，∴，∴，即，其圆心，半径，∴，∴．故选B．11．平行四边形中，，在上投影的数量分别为，，则在上的投影的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】建立如图所示的直角坐标系：设，则，，则，解得．
所以，．在上的摄影，当时，，得到：，当时，，，故选A．12．如图，在等腰直角三角形中，，，是线段上的点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．【答案】A【解析】如图所示，以所在直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，，，设，则，．据此有，，则．据此可知，当时，取得最小值；当或时，取得最大值；的取值范围是．故选A． 二、填空题13．已知向量，，，若，则________．【答案】．【解析】因为，，所以，又，且，则，即．  14．若向量，满足，，且，则与的夹角为__________．【答案】【解析】由得，，即，据此可得，∴，又与的夹角的取值范围为，故与的夹角为．15．已知正方形的边长为2，是上的一个动点，则求的最大值为________．【答案】4【解析】设，则，又，∴，∵，∴当时，取得最大值4，故答案为4．16．在中，，，，为线段上一点，则的取值范围为____．【答案】【解析】以为坐标原点，，所在直线为，轴建立直角坐标系，可得，，，则直线的方程为，设，则，，，，则|  ，
由，可得的最小值为 ，时，则的最大值为 即的取值范围为．故答案为．