2020届二轮复习多变量的不等式恒成立与存在性问题学案（全国通用）

专题10  多变量的不等式恒成立与存在性问题含参数不等式的恒成立或有解问题，是高考的热点.它往往与函数、数列、三角函数、解析几何综合考查.解决这类问题，主要是运用分离变量法,等价转化为求具体函数的最值；运用数形结合法，等价转化为临界点；运用分类讨论法，等价转化为研究含参函数的最值. 类型一  分类讨论差函数最值典例1. 若不等式在上恒成立，则的取值范围是________.【答案】【解析】由题可设则问题转化为在上恒成立，则 （ⅰ） 当时 则在上单调递增，所以 在上恒成立，与已知不符，
故不符合题意．（ⅱ）当时，令 且 即时， 于是在 上单调递减，
所以 即 在上成立．
则在上单调递减，
故在上成立，符合题意．，即 时， 若 则 在上单调递增；若在 则在上单调递减，又 则在上成立，即 在上恒成立，所以在上单调递增，则在上恒成立．与已知不符，故不符合题意．综上所述， 的取值范围.即答案为.【名师指点】恒成立等价与恒成立，记，则，本题中由于有参数，需要分类讨论，利用导数求最值．【举一反三】已知函数若当时，恒成立，则的取值范围______． 【答案】类型二 参变分离求具体函数最值典例2 若不等式对任意都成立，则实数的最小值为________．【答案】100【解析】由正弦定理得 因此 ，即的最小值为100【名师指点】本题通过不等式恒成立问题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集．若按照参数讨论则取并集，是中档题．不等式恒成立时求参数的取值范围，常常采用分离参数法把不等式变形为如“”形式，则只要求出的最大值，然后解即可．【举一反三】若不等式对任意满足的实数， 恒成立，则实数的最大值为__________．【答案】【解析】∵不等式x2−2y2⩽cx(y−x)对任意满足x>y>0的实数x、y恒成立，∴，令=t>1，∴， ，当时,f′(t)>0,函数f(t)单调递增;当时,f′(t)<0,函数f(t)单调递减。∴当时,f(t)取得最小值, .∴实数c的最大值为.类型三 数形结合求临界点典例3  设函数对任意不等式恒成立，则正数的取值范围是__________．【答案】【解析】对任意，不等式恒成立，则等价为恒成立， ，当且仅当，即时取等号，即的最小值是，由，则，由得，此时函数为增函数，由得，此时函数为减函数，即当时， 取得极大值同时也是最大值，则的最大值为，则由，得，即，则，故答案为.【名师指点】等价于在公共定义域区间内，函数的图像落在的下方，这样在平面直角坐标系中画出相应函数的图像，根据图像上下关系，确定参数取值范围．【举一反三】已知函数,若||≥,则的取值范围是__________.【答案】.【解析】 1.对任意的实数，都存在两个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】因为，所以，令 ，则 当时 ；当时因此要有两个y，需 2.定义在R上的函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，且f(x－2)是偶函数，若对一切实数x，不等式f(2sinx－2)>f(sinx－1－m)恒成立，则实数m的取值范围为________．【答案】【解析】因为 是偶函数，所以函数f(x)的图象关于 对称，由题意知 在 上为增函数，则在 上为减函数，所以不等式 恒成立等价于 即 两边同时平方，得 即 ，即 或，即或，即或，即 或 ，故的取值范围为 即答案为3.设二次函数的导函数为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值__________．【答案】【解析】∵∴∵对任意，不等式恒成立∴，简可得∴且，即∴∴∴∴令，则∴当时， ，当且仅当时取等号当时， 综上所述， 的最大值为故答案为4.若对于任意的正实数都有成立，则实数的取值范围为______【答案】【解析】原不等式等价于.令，则，因在上是单调减函数，且，故当， ， 在内是单调增函数；当，当， ， 在内是单调减函数，所以 ，所以，解得，填．5．设点满足条件，点满足恒成立，其中是坐标原点，则点的轨迹所围成图形的面积是           ．【答案】【解析】不等式组在平面直角坐标系中所表示的区域如下图所示：因为 ，所以由得：设目标函数为：，因为，所以其最优解只可能在顶点处取得，所以，要使恒成立，一定有： 此不等式组在坐标平面内所表示的区域是长为1，宽为 的矩形，面积为.所以答案应填: .6．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】7．不等式对于任意的，存在成立，则实数的取值范围为    ．【答案】【解析】试题分析：由题意得对于任意的成立，即对于任意的成立，所以存在使得成立，因此学科网8．函数，若对于区间上的任意，都有，则实数的最小值是          ．【答案】20【解析】对于区间上的任意都有，等价于对于区间上的任意，都有，∵，∴，∵，∴函数在上单调递增，在上单调递减，∴∴，∴．9．已知变量x，y满足约束条件，若恒成立，则实数的取值范围为________．【答案】.【解析】10．若关于的不等式在（0，+）上恒成立，则实数的取值范围是           ．【答案】【解析】令，令．（1）当时，，不符合题意；（2）当时，在上恒为负，在上恒为正；在上单调递增，则需,此时，符合题意；（3）当时，在恒为负；在单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值也即是最大值，，解得．学科网11．若对，不等式恒成立，则正实数的最大值是____________．【答案】．【解析】12．已知：函数，若对使得，则实数的取值范围__________．【答案】【解析】试题分析：由题意只要在上的最小值大于在上的最小值即可，显然当时，的最小值为0，当时，的最小值为，所以，所以．13．设，不等式对恒成立，则的取值范围________．【答案】【解析】根据题意有，即，结合题中所给的角的范围，求得的取值范围是．14．已知函数，若在区间上是增函数，则实数的取值范围       .【答案】.【解析】∵在恒成立，即在恒成立，∵，∴，即.学科网15．设是定义在R上的奇函数，且当，若对任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是            ．【答案】.【解析】