2020届二轮复习三视图与体积表面积学案（全国通用）

培优点十三  三视图与体积、表面积1．由三视图求面积例1：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_________．【答案】【解析】由三视图可得该几何体由一个半球和一个圆锥组成，其表面积为半球面积和圆锥侧面积的和．球的半径为3，∴半球的面积，圆锥的底面半径为3，母线长为5，∴圆锥的侧面积为，∴表面积为． 2．由三视图求体积例2：某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（    ）A．4 B． C． D．8【答案】D【解析】由于长方体被平面所截，∴很难直接求出几何体的体积，可以考虑沿着截面再接上一个一模一样的几何体，从而拼成了一个长方体，∵长方体由两个完全一样的几何体拼成， ∴所求体积为长方体体积的一半。从图上可得长方体的底面为正方形，且边长为2，长方体的高为，∴，∴，故选D．  一、单选题1．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为，则俯视图中圆的半径为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个半球，设圆半径为，∴该几何体的表面积，得，故选A．2．正方体中，为棱的中点（如图）用过点的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（    ）A． B． C． D． 【答案】D【解析】由题意可知：过点、、的平面截去该正方体的上半部分，如图直观图，则几何体的左视图为D，故选D． 3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（    ）A． B． C． D．4【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体是如图所示的三棱柱挖去一个三棱锥，故所求几何体的体积为，故选A．4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为（    ） A．  B．C．  D．【答案】C【解析】由三视图可知，其对应的几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径为，圆锥的高，其母线长，则该几何体的表面积为：，本题选择C选项．5．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示， 截去的是一个三棱锥，底面是边长为3，4，5的直角三角形，高为3的棱锥，如图蓝色线条的图像是该棱锥，三棱锥上底面外接圆半径圆心设为半径为， 球心到底面距离为，设球心为，由勾股定理得到，，故选A．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】还原几何体如图所示三棱锥由（如下左图），将此三棱锥补形为直三棱柱（如上右图），在直三棱柱中取的中点，取中点，，，故答案为C．7．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（    ）A． B． C． D． 【答案】B【解析】根据三视图，画出原空间结构图如下图所示：∴表面积为，∴故选B．8．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，，，且，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点，即为三棱锥，且长方体的长、宽、高分别为2，，，∴此三棱锥的外接球即为长方体的外接球，  且球半径为，∴三棱锥外接球表面积为，∴当且仅当，时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为．故选B．9．在四棱锥中，底面，底面为正方形，，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三视图知，剩余部分的几何体是四棱锥被平面截去三棱锥（为中点）后的部分，连接交于，连楼，则，且，设，则，，剩余部分的体积为：，则所求的体积比值为：．本题选择B选项．  10．如图，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（    ）A．15 B．16 C． D．【答案】C【解析】由题得几何体原图是下图中的四棱锥，底面四边形的面积为，∴四棱锥的体积为，故答案为C．11．某几何体的三视图如图（虚线刻画的小正方形边长为1）所示，则这个几何体的体积为（    ）A． B． C．12 D．【答案】D【解析】几何体为如图多面体，∴体积为，故选D．12．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（    ）A． B．7 C． D．【答案】B【解析】如图所示，该几何体为正方体去掉两个倒置的三棱锥，∴该多面体的体积为；故选B． 二、填空题13．网格纸上小正方形的边长为1，粗虚、实线画出的是某个长方体挖去一个几何体得到的几何图形的三视图，则该被挖去的几何体的体积为__________．    【答案】12【解析】根据三视图知长方体挖去部分是一个底面为等腰梯形（上底为2，下底为4，高为2）高为2的直四棱柱，∴．14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为_______与_______．【答案】，【解析】由三视图可知，其对应的几何体是一个组合体，上半部分是一个直径为2的球，下半部分是一个直棱柱，棱柱的底面是边长为2的正方形，高为4，则该几何体的表面积，几何体的体积：．15．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为_________． 【答案】1【解析】根据题中所给的三视图，还原几何体，可知其为有一条侧棱垂直于底面的一个四棱锥，该四棱锥的底面就是其俯视图中的直角梯形，根据图中所给的数据，结合椎体的体积公式，可得其体积，故答案是1．16．已知某几何体的三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的体积为__________．【答案】【解析】由三视图知，该几何体由正方体沿面与面截去两个角所得，其体积为，故答案为．